Неустойчивость фазовая

При о < О узел устойчивый при о > О — неустойчивый. Фазовый портрет узла показан на рис. 2, а. [c.35]

Относительно теоремы Лиувилля необходимо сделать одно замечание. Хотя фазовый объем, занимаемый мечеными фазовыми точками, остается постоянным в процессе динамической эволюции, форма этого объема меняется очень сложным образом из-за неустойчивости фазовых траекторий. Близкие точки быстро расходятся на большое расстояние, поэтому с течением времени область АГо с гладкой границей превращается в область АГ весьма причудливой формы, напоминающей мыльную пену. В связи с этим говорят, что статистический ансамбль обладает свойством перемешивания в фазовом пространстве. [c.17]

Таким образом, линейный осциллятор описывает как явление затухания первоначального возмущения, так и явление его нарастания, как колебательный, так и апериодический характер этих затуханий и нарастаний. В первом случае состояние равновесия а = ж = О устойчиво, а во втором — неустойчиво. Фазовые портреты, отвечающие этим двум разным случаям, Рдс 13 при представлены на [c.10]

Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая

Система имеет две особые точки у = г = 1 и у=г = —1. Первой точке соответствует устойчивый фокус, второй — неустойчивый. Фазовый портрет системы изображен на рис. 69. Устойчивому фокусу соответствует точная интегральная кривая в исходных переменных, получаемая из уравнений обратной замены при у = г = 1 в виде [c.256]

Четвертая группа. Состояние закаленного сплава характеризуется неустойчивостью. Даже без всякого температурного воздействия в сплаве могут происходить процессы, приближающие его к равновесному состоянию. Нагрев сплава, увеличивающий подвижность атомов, способствует этим превращениям. При повышении температуры закаленный сплав все больше приближается к равновесному состоянию. Такая обработка, т. е. нагрев закаленного сплава ниже температуры равновесных фазовых превращений, называется отпуском. Отпуск, если он происходит при комнатной температуре или при невысоком нагреве, называют старением. И при отжиге первого рода, как и при отпуске, сплав приближается к структурному равновесию. В обоих случаях начальную стадию характеризует неустойчивое состояние, только для отжига первого рода оно было результатом предварительной обработки, при которой, однако, не было фазовых превращений, а для отпуска — предшествовавшей закалкой. Таким образом, отпуск — вторичная операция, осуществляемая всегда после закалки. [c.226]

Построим график функции V (q) и ниже него изобразим фазовую плоскость q, q системы (рис. VI.9). Точки, соответствующие положениям устойчивого и неустойчивого равновесия, отмечены на фазовой плоскости точкой и крестиком. Зададим поочередно Ш. [c.229]

На рис. 2.2 видно, что в устойчивых состояниях равновесия производная f (Xk) <0, а в неустойчивых состояниях Г > О- Значение f (л ) = О может быть как в точках устойчивого, так и неустойчивого состояния равновесия (см., например, точки х = Х2, х = на рис. 2.2). Поскольку характер движения в системе первого порядка полностью определяется видом функции / (х), представляет интерес рассмотреть случай, когда эта функция зависит от некоторого параметра X, и изучить влияние параметра X на характер фазового портрета рассматриваемой системы. Для этого, [c.22]

Наряду с устойчивыми предельными циклами фазовый портрет автоколебательной системы может содержать также неустойчивые предельные циклы, для которых /г > 0. Двигаясь в окрестности неустойчивого предельного цикла, изображающая точка постепенно удаляется от него. Обычно такой цикл играет роль границы между областями с различным поведением фазовых траекторий. [c.47]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

При у<а<0 состояний равновесия три устойчивое состояние равновесия р = О, неустойчивое состояние равновесия, соответствующее нижней ветви параболы (5.22), и устойчивое состояние равновесия, соответствующее верхней части параболы (5.22). На фазовой плоскости q это [c.131]

При р п все траектории при /->- + оо стремятся к точке О" °, что соответствует устойчивой особой точке. Окрестность точки О подобна окрестности точки О " с заменой времени t на —t. При t ->— оо все фазовые траектории входят в точку Точка " — это неустойчивая особая точка. [c.244]

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Полный фазовый портрет получается периодическим продолжением найденных фрагментов фазовых кривых на всю ось Видим, что возможные движения рассматриваемой системы существенно зависят от значения параметра р. Если р > 1 (угловая скорость О вращения кольца невелика сравнительно с циклической частотой и> маятника), то фазовый портрет системы аналогичен фазовому портрету математического маятника. Если р < 1 (угловая скорость вращения кольца больше циклической частоты маятника), то фазовый портрет системы приобретает существенные отличия от фазового портрета математического маятника прежние устойчивые положения равновесия становятся неустойчивыми, появляются новые устойчивые положения равновесия с соответствующей перестройкой фазового портрета и добавлением новых сепаратрис Такое явление можно интерпретировать как катастрофу качественной картины поведения системы при прохождении параметра р через значение 7 = 1. О [c.280]

Несмотря на ясность физ. основ С. ф., стремление дать ей строгое матем. обоснование поставило ряд важных и трудных матем. проблем. Напр., обоснование распределения (4) требует доказательства зргодической гипотезы. Методически интересен вопрос об устойчивости оси. состояния системы из большого числа частиц (электронов и ядер), взаимодействующих по закону Кулона. Процессы релаксации неравновесных состояний связаны с неустойчивостью фазовых траекторий механич. систем, состоящей в том, что проходящие [c.668]

При исследовании образования продольных транскристаллит-ных трещин в обогреваемых гибах труб, выполненных из перлитной стали, переходной зоны прямоточного котла было установлено [4], что трещины появляются в результате действия переменных температурных и компенсационных напряжений при неустойчивом фазовом состоянии пароводяной смеси и колебании температуры при пульсации потока. На рис. 9, б показан характер трещин, обнаруженных в нижней части гибов из стали 20 переходной зоны около нейтральной образующей после 15—-18 тыс. ч работы котла. [c.17]

Рис. 61. Замкнутые и неза.мкнутые фазовые траектории, соответствующие устойчивым и неустойчивым фазовым колебаниям. СЕП — сепаратриса.

Любопытно, что именно представление Хилла для трофических функций дало нам целый класс структурно неустойчивых фазовых картин. В принципе, вероятность попасть в негрубую ситуацию весьма мала (будь это значение параметра, или, как в данном случае, целый класс функций), но мы в нее попали, так как именно такое представление трофических функций очень популярно в 230 [c.230]

Отметим, что периодическим колебаниям на фазовой плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории, и наоборот, Вид фазовых 1раекторий характеризует усюйчивосзь или неустойчивость положения равновесия, достаточную малость колебаний и т. д. [c.433]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Притягивающие гомоклинические структуры и стохастические колебания. Перейдем теперь к описанию возможных общих механизмов самогенерирования стохастичности динамической системой. Они связаны с появлением в фазовом пространстве динамической системы гомоклини-ческих структур, появление которых так же, как и возникновение автоколебаний и многопериодических колебаний, вызвано возникновением в системе неустойчивости [24, 25, 42]. [c.331]

АТТРАКТОР. Замкнутое притягивающее множество неустойчивых траекторий называют странным аттрактором. АТТРАКТОР имеет нулевой фазовый объем и может характеризоваться величиной - хаусдорфовой размерностью d, а также размерностью вложения, равной числу т независимых фазовых переменных, однозначно определяющих состояние системы. [c.6]

Смотреть страницы где упоминается термин Неустойчивость фазовая : [c.58] [c.112] [c.189] [c.5] [c.257] [c.397] [c.293] [c.230] [c.13] [c.17] [c.21] [c.22] [c.49] [c.50] [c.60] [c.82] [c.84] [c.85] [c.100] [c.130] [c.165] [c.166] [c.223] [c.238] [c.278] [c.231]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...