Фазовые портреты динамической системы

Фазовый портрет динамической системы. [c.12]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

В настоящей главе рассказывается о простейших установившихся движениях — состояниях равновесия и периодических движениях. Излагается классификация состояний равновесия и периодических движений, устанавливаются и исследуются основные типы их бифуркации. Рассматриваются не только устойчивые состояния равновесия и периодические движения, но и неустойчивые седловые состояний равновесия и периодические движения. Если первые играют роль основных простейших установившихся движений, то вторые играют определяющую роль в формировании границ их областей притяжения и в формировании хаотических и стохастических движений, а также всего фазового портрета динамической системы. [c.93]

В первом режиме средствами быстрой машинной графики в процессе интегрирования непрерывно строится фазовый портрет динамической системы. Этот режим служит для обнаружения и анализа характерных типов движений на фазовой плоскости положений равновесия, замкнутых траекторий и т.п. [c.186]

В настоящей главе мы рассмотрим несколько физических систем, поведение которых следует отображать на фазовом круговом цилиндре, а также покажем, как нужно применять в этом случае общие методы построения и исследования фазового портрета динамической системы. [c.481]

Однако качественная теория дифференциальных уравнений имеет уже богатый опыт классификации свойств реш ний. Например, обсуждая фазовый портрет динамической системы, можно с уверенностью указывать области, в которых даже весьма "немалые" возмущения не могут изменить характера фазовых траекторий. [c.17]

Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый портрет динамической системы, она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. [c.55]

Итак, чтобы построить портрет динамической системы на фазовой плоскости, надо знать состояния равновесия, сепаратрисы седел и предельные циклы. Если варьировать параметры, то всегда можно понять, как будет меняться картинка на фазовой плоскости. Зная, какие бифуркации возможны, мы определим и качественные изменения фазового портрета. А нарисовав фазовую плоскость, увидим, какие возможны движения — финитные, уходящие в бесконечность, приводящие к устойчивому равновесию и т. д. [c.313]

Допустим теперь, что нам не известен характер движений в системе, но каким-либо образом стал известен характер фазовых траекторий и величины фазовых скоростей. Можем ли мы, пользуясь этим знанием, делать высказывания, касающиеся отображаемых этими кривыми движений Как мы увидим дальше, общий характер движения, качественные его черты, выявляются уже в характере фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый портрет динамической системы она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. [c.40]

Прежде чем переходить к рассмотрению задач о движении конкретных динамических систем второго порядка, нам придется изложить некоторые общие теоремы о свойствах фазовых траекторий, а также некоторые способы качественного исследования фазовых портретов динамических систем, которые позволяют получить некоторые, часто весьма неполные сведения о характере фазовых траекторий и, следовательно, о характере движений той или иной динамической системы. [c.338]

Как уже было отмечено выше, исследование поведения динамической системы сводится к изучению поведения траекторий в фазовом пространстве Ф. Структура разбиения пространства Ф на фазовые траектории называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы. С геометрической точки зрения под структурой разбиения фазового пространства на траектории понимается геометрическая картина взаиморасположения фазовых траекторий в пространстве Ф. Следует отметить, что полное описание фазового портрета для произвольной динамической системы представляет собою очень сложную и до сих пор нерешенную проблему. Однако ряд основных особенностей этой структуры изучен, а для некоторых классов динамических систем в настоящее время получено полное описание фазового портрета. [c.12]

Совокупность семейства фазовых траекторий и особых точек на фазовой плоскости принято называть фазовым портретом системы — он графически изображает ее динамические свойства. [c.21]

Слово бифуркация означает раздвоение и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе динамической, экологической и т. д. Наш обзор посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных уравнений — не только бифуркациям положений равновесия и предельных циклов, но перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов. Такая постановка проблемы восходит к А. А. Андронову. [c.9]

Математическим образом всех движений динамической системы является ее фазовый портрет. Фазовый портрет дает пе только геометрическое изо-Рис. 1.5 бражение отдельных движений, [c.12]

Ниже исследуется зависимость фазового портрета в окрестности состояния равновесия от параметров динамической системы, т. е. от параметров ц, входящих в правые части описывающей ее системы дифференциальных уравнений [c.99]

Основным элементом такого исследования является прослеживание фазового портрета и его изменений при непрерывном изменении параметра р. вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. Оказывается, что при прохождении некоторых точек на этой кривой происходит качественная перестройка фазового портрета. Такие точки получили название точек бифуркации фазового портрета, а отвечающие им значения параметров — бифуркационных значений параметров. Через одну и ту же точку пространства параметров может проходить много различных кривых и заранее ниоткуда не следует, что изменение фазового портрета не зависит от кривой, по которой меняются параметры. Значит, понятие бифуркации зависит еще и от пространства параметров, т. е. можно обнаружить, расширяя его, новые бифуркации, сужая — какие-то бифуркации потерять. Выяснение того, с каким именно случаем мы имеем дело при исследовании той или иной динамической системы, требует уточнений. [c.99]

Точка пространства динамических систем или пространства ее параметров называется точкой бифуркации, если в ее сколь угодно малой окрестности найдутся точки, отвечающие динамическим системам с качественно различными фазовыми портретами. Это определение достаточно исчерпывающее, но остается пока неясным, что такое качественно различные фазовые портреты. Обычно под качественно различными понимаются топологически неэквивалентные фазовые портреты. Однако в некоторых случаях такое определение качественного различия фазовых портретов может оказаться излишне детальным, это может, например, иметь место в случае, когда бифуркационные [c.99]

Рассматриваемое точечное отображение Т можно интерпретировать как точечное отображение на секущей, порождаемое фазовыми траекториями трехмерной динамической системы с фазовым портретом, показанным на рис. 6.10. На нем Г — седловое периодическое движение, ему на секущей плоскости отвечает неподвижная товка О, у — двоякоасимптотическая фазовая кривая, приближающаяся к Г при t +0О и i —оо. [c.139]

Что такое динамическая система Понятие фазового пространства. Фазовый портрет линейного осцил ятора [c.81]

При помощи первого метода Ляпунова можно построить частное решение или семейство частных решений системы дифференциальных уравнений (1), стремящихся к положению равновесия х = О ири +ОС или — ос в виде некоторых рядов. Поведение указанных траекторий динамических систем содержит много полезной информации о структуре фазового портрета в малой окрестности начала ж = 0. В частности, существование траектории, стремящейся к некоторому положению равновесия ири — ос влечет неустойчивость этого положения равновесия. [c.89]

Рассмотрим динамические системы, возникающие в плоской (в дальнейшем и пространственной) динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. В силу цикличности некоторых фазовых переменных, общая система шестого порядка (для случая плоскопараллельного движения) допускает отделение независимой подсистемы третьего порядка (0.1)—(0.3). В последней, в свою очередь, известным приемом выделена динамическая система второго порядка, для которой проведен обстоятельный анализ различных типов допускаемых ею фазовых портретов. [c.149]

Фазовый портрет уравнения (4.4) изображен на ил. 1, при этом вместо О следует принять а. Динамическая система, заданная уравнением (4.4), относительно структурно устойчива (относительно груба) ио отношению к классу функций Ф (см. главу 3). [c.165]

В данном параграфе проведем глобальный качественный анализ динамической системы (1.17) при условии (0.8) на всей фазовой плоскости 72 а,О . Для любой функции FeФ фазовый портрет системы (1.17) имеет один и тот же топологический тип. [c.165]

Проводится исследование самого интересного в прикладном отношении класса движений твердого тела - свободного торможения в сопротивляющейся среде. Данный материал фактически представляет собой введение в нелинейную задачу о свободном торможении, В ней получены некоторые частные решения полной системы, подготовлен материал для проведения качественного интегрирования динамических уравнений в пространстве квазискоростей. Получено новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов на двумерном цилиндре. Показано, что полученное семейство состоит из бесчисленного множества фазовых портретов с различными качественными свойствами. [c.209]

Полная классификация фазовых портретов для первой области параметров динамической системы на двумерном цилиндре. В силу теоремы 5.1, можно провести полную классификацию фазовых портретов системы (2.4), когда ее параметры пробегают область I. Как показано выше, таких портретов - бесконечно много. [c.228]

Следующий материал фактически продолжает глобальный качественный анализ динамической системы в пространстве квазискоростей. При этом исследуется другая область ненулевой меры в пространстве параметров системы и получено новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов с предельными циклами. Таким образом, в системе при некоторых условиях могут возникнуть автоколебания. [c.229]

Остановимся теперь на вопросе о связи точечного отображения Т, порождаемого фазовыми траекториями на секу-ш,ей поверхности, с отображением сдвига 7 . Отображение Т секушей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. В отличие от Т, точечное отображение сдвига определено в пространстве той же размерности, что и фазовое пространство. Поэтому характер связи между структурой фазового портрета динамической системы и структурой точечного отображения сдвига Т-с отличается от связи структуры разбиения фазового пространства на траектории со структурой отображения Т секуш,ей поверхности. Вместе с тем отображение сдвига автономной системы или неавтономной системы, правые части дифференциальных уравнений которой являются периодическими функциями времени /, можно интерпретировать как точечное отображение Т, порождаемое решениями дифференциальных уравнений на [c.88]

Попытаемся ответить на этот вопрос, анализируя фазовый портрет динамической системы. Пусть — фазовая траектория и Жо и ж, — ее точки. Предположим, что малая шаровая окрестность бо точки Жо через время i > О переходит к окрестность б< точки XI. В общем случае то, как будет меняться окрестность 5 , пока она мала, определяется линеаризованными дифференцйаль-ными уравнениями относительно отклонений от фазовой траектории у [c.74]

Теперь можно определить представимость бифуркаций не только в окрестности трчки бифуркации, но и в некоторой области М пространства М. Бифуркации в области М представимы с помощью параметров Hi, Цг,. .Цг, если существует конечное или бесконечное множество кусочно-гладких функций /i(ni, Цг, Цг), /2( 1,. .., fir),. .. такое, что в любых двух точках области М, отвечающих разным типам динамических систем (их фазовых портретов), по крайней мере у одной из функций /i, /2,. .. разные знаки. Подчеркнем, что фазовый портрет динамической системы и его разные типы могут рассматриваться глобально во всем фазовом пространстве или локально только в некоторой его части, например в малой окрестности состояния равновесия. [c.101]

II даже точки, где он равен нулю. Рис. 2.9, а—г отвечают ряду значений параметра V = 0 0,7 0,9 1,32 и 2,2. Как можнО впдеть из этих рисунков (например, если построить но ним последовательные отображения при значениях Os vs 2,2), возможны как однократные, так и многократные устойчивые неподвижные точки II хаотические последовательности. Первым отвечают движепия ротора, синхронные с частотой параметрического воздействия, второму — хаотические движения. С ростом параметра V, как видно из рисунков 2.9, а — г, эти типы движений чередуются, причем зоны синхронизации по параметру V с его ростом уменьшаются, а зоны хаотических движений расширяются. Более полное рассмотрение фазового портрета и его изменений (бифуркаций) этой динамической системы содержится в 5 гл. 7. [c.49]

Приведенные примеры соответствуют особым и граничным случаям. Появление малейшей зоны нечувствительности у порогового элемента коренным образом изменяет сказанное величина I должна быть достаточно большой, превышающей порог. Фазовые портреты в виде центра и периодических или квазиперио-дических обмоток двумерного тора вообще разрушаются при сколь угодно малых неконсервативных добавках и являются негрубыми по терминологии Андронова — Понтрягина. В этом смысле сами по себе приведенные примеры могут казаться надуманными, отвечающими только некоторым идеальным моделям и негрубым системам. То же самое можно было бы сказать и о следующем примере с фазовым портретом на рис. 3.4, поскольку при малейших возмущениях динамической системы сепаратрисы а, р, У1 и Уг уже не будут идти из одного седлового равновесия в другое и фазовый портрет может принять, например, вид, показанный на рис. 3.5. Теперь для аналогичных перескоков случайные воздействия должны быть не очень малы. [c.63]

Что можно добавить ко всему этому Прежде всего то, что все приведенные выше высказывания исходят только от временной трактовки движений динамической системы, от ее фазового портрета, а жидкость — это распределенная в пространстве среда, и описание ее движения, помимо временной составляющей, вкл о-чает еще и пространственную. Турбулентность — не только временной хаос, -это еще и хаос пространственный. Конечно, временной и пространственный хаосы взаимосвязаны, но не сводятся один к другому вообще говоря, может быть временной хаос и пространственный порядок, может быть временной порядок и пространственный хаос. Турбулентность — это, вообще говоря, и временной и простралственный хаос. На эту двоякую природу хаоса при турбулентности обратил внимание в своем обзоре в УФН А. С. Монин [257]. [c.92]

Обычно динамическая система зависит от параметров, с их изменением ранее устойчивое равновесное состояние становится неустойчивым, и лишь затем наступает хаотизация движений. Последующее поясняет то, как это может происходить. Здесь возможна как физическая трактовка, так и более опосредство-ваппый подход, основанный на геометризации динамики системы в виде ее фазового портрета. Каждая из трактовок имеет право на существование. Они не исключают, а дополняют друг друга. [c.162]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

Примеры различных Маятников (осцилляторов) от механического до химического, экологического, экономического. Линейный осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Свойства линейных систем. Квантовый осциллятор Что такое динамическая система Понятие о фазовам пространстве. Фазовый портрет линейного осщилятора. [c.54]

Используемая в дальнейшем математическая модель движения твердого тела частично уже анализировалась ранее. Так в [112, 113, 158, 159] (Б. Я. Локшин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов) построен фазовый портрет физического маятника, помещенного в поток среды. Динамическая система, описывающая движение маятника, обладает интересными нелинейными свойствами, что определяет необходимость дальнейшего полного нелинейного анализа и возможного создания методики исследования. В [71, 73] (В. А. Ерошин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов и др.) разобран вопрос об устойчивости пря- [c.17]

В главе 7 получено семейство фазовых портретов в задаче о пространственном свободном торможении тела в сопротивляющейся среде. Основной прикладной результат— неустойчивость прямолинейного поступательного торможения (т.е. движения с нулевыми углом атаки и угловой скоростью). В данной главе развивается техника исследования окрестности сингулярного положения равновесия, т.е. такого, в котором правые части динамических систем доопрелеляются лишь по непрерывности. К примеру, при малых углах атаки и угловых скоростях (т.е. в окрестности пространственного прямолинейного поступательного торможения) у правой части системы имеется особенность 1/а (здесь а — угол атаки при движении твердого тела в сопротивляющейся среде). Эта трудность преодолевается особенным построением функции Ляпунова [228]. [c.37]

В задаче о движении тела в среде при наличии некоторой связи проводится полный нелинейный анализ динамических систем с переменной диссипацией с ненулевым средним в пространстве квазискоростей [188]. Такие системы также обладают свойством (абсолютной) фуббсти. Приведен список типичных глобальных фазовых портретов на фазовом цилиндре после перестроек фазовых портретов аналогичных задач, которые исследовались в предьщущих главах книги. Интересно, что в данном случае возможно возникновение стационарных режимов, при которых угол атаки лежит в интервале (О, тс/2), т.е. данные стационарные режимы могли бы реализоваться до наступления так называемого бокового замыва. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...