Неособая траектория

Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42]

Рассмотрение частных примеров разбиений на траектории (например, разбиений в случае систем (9) и (11) 1, п. 14) приводит к заключению, что не все траектории равноправны, что во всяком разбиении есть такие траектории, которые естественно назвать особыми , в отличие от остальных неособых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, предельные циклы и сепаратрисы седел. Непосредственно представляется очевидным, что при установлении топологической структуры разбиения на траектории знание числа и расположения таких особых траекторий играет фундаментальную роль. [c.256]

Первые два вопроса рассматриваются в 15. В этом параграфе дается общее определение особой и неособой траектории, справедливое в случае траектории любого типа. По смыслу этого определения траектория является особой или неособой не в зависимости от того, каковы ее свойства самой по себе, а в зависимости от ее поведения по отношению к близким траекториям. Кроме того, в 15 устанавливаются все возможные типы особых траекторий. [c.256]

В ЭТОМ случае особые траектории разбивают всю совокупность траекторий на конечное число областей — ячеек . Каждая ячейка заполнена неособыми траекториями, поведение которых одинаково — в определенном смысле, уточняющемся в дальнейшем. Устанавливается, что ячейки могут быть либо односвязными, либо двусвязными. [c.257]

Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, являются траектории, при оо и [c.261]

Возможные типы особых и неособых траекторий в сл чае конечного числа состояний равиовесий. Случай конечного числа особых траекторий. [c.284]

О и являются неособыми траекториями. [c.291]

Доказательство. Пусть Ь — рассматриваемая неособая замкнутая траектория. В силу того, что особых элементов — конечное число, все точки траектории Ь являются точками некоторой ячейки. Нетрудно видеть, что существует е > О такое, что 17 , Ь) также принадлежит этой ячейке, т. е. все траектории, проходящие через точки и Ь), являются неособыми траекториями. [c.295]

Лемма 14. Если через какую-нибудь точку Р незамкнутой неособой траектории проведена дуга без контакта I, содержащая точку Р внутри, то всегда можно выделить такую часть V дуги I, также содержащую точку Р внутри, что все траектории, пересекающие Г, имеют с V только одну общую точку. [c.296]

Теорема 45. Все предельные точки особой траектории Ьо [полутраектории Ь1), отличные от состояний равновесия, являются предельными точками также и для неособых траекторий всякой ячейки, в границу которой входит эта траектория. Ьо. [c.299]

В настоящей главе всегда рассматривается только такая окрестность, состояния равновесия О, которая кроме О не содержит целиком ни одной особой траектории. Поэтому все рассматриваемые в этой главе эллиптические области таковы, что образующие их траектории Ь являются неособыми траекториями. [c.328]

Всюду в дальнейшем, как сказано выше, все седловые области выбраны так, что дуги траекторий, входящие в границы, являются дугами неособых траекторий. У каждой седловой дуги без контакта, входящей в, границу выбранных таким образом седловых областей, только один конец принадлежит особой траектории или полутраектории. Очевидно, этот конец является концом одной из полутраекторий (сепаратрис), входящих в границу седловой области. Однако отличные от концов точки седловых дуг без контакта могут быть точками особых полутраекторий. [c.458]

Так как рассматриваемая система канонических областей правильная, то нетрудно видеть, что во всяком случае все точки траектории Ь, соответствующие достаточно близким к 1о. значениям С о (илн I > о), лежат вне всех областей и gl. Следовательно, у траектории Ь, удовлетворяющей условиям леммы, непременно существуют точки, не принадлежащие областям у1 и gi. Пусть М — такая точка и т — соответствующее ей при выбранном движении значение 1. При возрастании 1 (т. е. при некотором < > т) траектория Ь либо пересекает границу области С, либо стремится к какому-нибудь состоянию равновесия, либо стремится к континууму Ка, не являющемуся состояние.м равновесия. При этом всякая неособая траектория, стремящаяся при I — оо к состоянию равновесия, непременно должна войти в параболический сектор этого состояния равновесия или в параболическую область, если состояние равновесия — узел. [c.460]

В заключение рассмотрим случай, когда конец элементарной дуги принадлежит неособой траектории. [c.478]

К вопросу о понятии качественной структуры разбиения на траектории и о понятии особых и неособых траекторий [c.554]

О ПОНЯТИИ ОСОБЫХ И НЕОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 555 [c.555]

О ПОНЯТИИ ОСОБЫХ и НЕОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ [c.557]

Отметим, что орбитная устойчивость отличается от устойчивости по Ляпунову (см. [92, 99, 135]). Именно, траектория орбитно-устойчивая может не быть устойчивой по Ляпунову. В приводимой дальше теории особых и неособых траекторий имеет значение лишь орбитная устойчивость. [c.51]

Особые траектории разделяют область G на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбитно-устой-чивых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек особых траекторий и точек, граничных для области G. Мы ограничимся здесь рассмотрением таких областей, в границу которых не входят граничные точки G. Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Нетрудно видеть на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий. Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области G конечно. [c.54]

Более детальное изучение поведения неособых траекторий одной и той же ячейки опирается на следующие вспомогательные предложения, вытекающие из определения орбитной устойчивости и предложения о конечном числе особых траекторий. [c.54]

Установленные в теоремах факты можно наглядно охарактеризовать словами внутри каждой ячейки неособые траектории ведут себя одинаковым образом. [c.55]

Устойчивость по Ляпунову. В приведенной теории особых и неособых траекторий ( 6) и определении схемы было использовано понятие орбитной устойчивости, и именно это понятие имело нри этом значение. [c.63]

Таким образом, решение фо(0, Фо(0 неустойчиво по Ляпунову. В приведенной же выше теории особых и неособых траекторий имеет значение лишь обратная устойчивость. [c.64]

Особые траектории разделяют область С на подобласти — ячейки, заполненные неособыми траекториями. [c.151]

Перейдем от рассмотрения одной отдельной траектории к рассмотрению всей совокупности траекторий в целом. Основываясь на примерах предыдущих глав, можно ожидать, что для знания качественной картины необходимо знать взаимное расположение не всех траекторий, а лишь некоторого конечного числа так называемых особых траекторий. В простейших случаях такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, замкнутые траектории и сепаратрисы. Исчерпываются ли этими типами все возможные типы особых траекторий, взаимное расположение которых определяет качественную структуру И какова общая характеристика таких траекторий Этим вопросам посвящен 3 настоящей главы. В нем дается точное определение особых и неособых траекторий и показывается, что особые траектории разделяют всю совокупность траекторий на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями с одинаковым поведением [17, 80, 145]. [c.396]

Возможные типы особых и неособых траекторий. Дадим теперь доказательство основных общих теорем об особых траекториях и о качественной картине разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.415]

Элементарные ячейки — области, заполненные неособыми траекториями одинакового поведения. Рассмотрим теперь совокупность всех особых траекторий данной системы (6.1), которую, как и всюду в настоящем параграфе, будем предполагать заданной в ограниченной области плоскости. Можно показать, что при сделанном нами предположении об аналитичности правых частей системы (6.1) число особых траекторий конечно. Для простейшего случая грубых [c.420]

Рассмотрим теперь более подробно, как ведут себя неособые траектории одной и той же ячейки. Для этого приведем сначала несколько простых, но очень важных для дальнейшего вспомогательных предложений. [c.421]

Приведенные теоремы в общем виде устанавливают тот факт, который мы охарактеризовали словами неособые траектории внутри [c.423]

Можно показать, что в грубых системах все неособые траектории не только орбитно-устойчивы, но устойчивы по Ляпунову и при < —- -оо и при — оо. Для траекторий, стремящихся при — 4-ос (г — — оо)к состоянию равновесия, это устанавливается рассуждением, проведенным в 3, п. 2, в сноске на стр. 414. Относительно траекторий, стремящихся при —>-[-оо [c.455]

Точки всякой неособой траектории или полутраектории или точки неосоСой целой дуги иринадлегкат какой-нибудь яче] ке. [c.288]

Лемма 11. Вокруг каждой точки незамкнутой неособой полутраектории L+, имеющей среди своих предельных точек отличные от состояний равновесия, можно указать такую окрестность, что все проходящие через тючки этой окрестности траектории или полутраектории не замкнуты, являются неособыми траекториями или полутраекториями и имеют те же iu-пределъные точки, что и L+. [c.294]

Доказательство. Пусть М — какая-нпбудь точка полутраектории В силу леммы 7 3 существует окрестность точки М такая, что все траектории, проходящие через точки этой окрестности, не замкнуты. Далее, так как неособые траектории и полутраектории заполняют области, то существует окрестность точки М такая, что все ироходящие через нее траектории или полутраектории являются неособыми. [c.295]

I — дуга без контакта, проведенная через точку Р. На дуге I лежит стремящаяся к точке Р последовательность точек траектории /уд. Но тогда на этой дуге сколь угодно близко к точке Р лен ат такие точки всякой ячейки, для которой траектория Ьо является граничной. На основании следствия 3 из леммы 9 отсюда следует, что точка Р является хгредель-ной и для неособых траекторий этой ячейки. Теорема доказана. [c.299]

Доказательство. Предположим противное, т. е. что внутри какой-нибудь ячейки, содержащей целую (неособую) траекторию Ь, существует пеособый элемент другого характера, например, неособая полутраекторияпересекающая грапичпую дугу без коптакта. Соединим какую-нибудь точку А траектории Ь и какую-нибудь точку В полутраектории простой дугой %, це.чиком лежащей внутри рассматриваемой ячейки. На дуге Я существуют точки двух типов через точки первого типа проходят целые неособые траектории, через точки второго типа целые траектории пе проходят и, следовательно, проходят неособые полутраектории, пересекающие граничную дугу без контакта (или дуги траектории, пересекающие граничную дугу). [c.300]

Л е м м а 17. Если конец А элементарной а-дуги а принадлежит неособой траектории Ь, то Ь является петлей, входящей в границу э.глипти-ческого сектора некоторого состояния раеновесия. В это.и случае конец сопряженной элементарной дуги Ь принадлежит той же пет.ге Ь, и обе дуги являются нециклическими и расположены по одну и ту же сторону от траектории Ь. [c.478]

Впервые понятия особых и неособых траекторий были введены А. Андро-новы-м и Л. Понтрягиным для одного класса динамических систем, именно, для так называемых грубых систем . Понятие орбитио-устойчивы.х и неустойчивых траекторий, данное в [46] и изложенное в главе VII настоящей книги, является естественным обобщением этих понятий. [c.555]

Пример. Геометрически очевидно, что всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узла или фокуса, орбитно-устойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитноустойчивыми, т. е. неособыми, траекториями очевидно будут траектории, стремящиеся при t - + оо и i->- — оо к узлам или фокусам или при t - + оо — оо) стремящиеся к узлу, а при t — оо ( ->-роо)—к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при i -Н оо, и при [c.52]

Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчизые (особые) траектории. Перейдем теперь к рассмотрению особых и неособых траекторий и наряду с наглядными геометрическими фактами дадим [c.412]

Введенное таким образом понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории и траектории характеризует поведение этой полутраектории или траектории не самой по себе, а по отношению к близким полутраекториям и траекториям. Поясним эти понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узел или фокус, орбитноустойчива ). Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, очевидно, будут траектории, стремящиеся при >-- -со п —-оо к узлам или фокусам или при / —со ( - — оо) стремящиеся к узлу, а при — оо ( - - - схэ) — к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при - -оо, и при — со (все такие траектории орбитно-устойчивы и при при — оо). [c.414]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...