Подкова Смейла

В качестве примера, к которому может быть применена сформулированная и доказанная теорема, можно взять отображение рис, 7.54, Отображение, соответствующее этому рис. 7.54, получило название подковы Смейла [27]. Смейл [521 обратил внимание на наличие у такого отображения бесконечного множества различных седловых неподвижных точек, а также на то, что эти неподвижные точки [c.311]

Ph . 52. Подкова Смейла для отображения Ре + (сверху). Окрестность точки Р и ее прообраз при е=0 и е<0 (снизу) [c.144]

Подкова Смейла и ее аналоги, с одной стороны, н введенное Я- Г. Синаем понятие марковского разбиения, с другой, вновь вызвали к жизни методы символической динамики. На сей раз обнаружилось, что эти методы являются эффективным средством анализа таких классических систем, как алгебраические автоморфизмы тора, нелинейные колебания и небесная механика. Можно надеяться, что в скором времени такие понятия, как символическая модель , топологическая марковская цепь и т. п., станут для изучающих конкретные системы столь же привычными, как инвариантный тор , разложение в ряд Фурье , показатели Ляпунова . [c.6]

To есть локальный диффеоморфизм ка плоскости, аналогичный подкове Смейла из [2]. —Прим. ред. [c.178]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Развитием идей, заложенных в подкове Смейла , является метод маршрутных схем [1]. Здесь также основную роль играет такой выбор множеств , который обеспечивал бы включение s S (т. е. нз допустимости прн всех п переходов S смысле (7.3) должна вытекать допустимость всей последовательности о) в смысле (7.1)). Множество оказывается при этом гиперболическим. [c.219]

В этом параграфе мы продолжим изучение подковы Смейла (см. п. 2.5 в). Эта динамическая система содержит нетривиальное гиперболическое множество с естественной и очень удобной для кодирования динамикой. Оказывается, что поведение, которое демонстрирует этот пример, может быть обнаружено в широком классе динамических систем. [c.279]

Как мы уже упоминали, подкова Смейла была первым примером структурно устойчивой системы со сложной структурой орбит [308] (см. предложение 6.5.3). [c.724]

Напомним, что в подкове Смейла пересечение квадрата О с его образом f Q) состоит из двух компонент /о, и (рис. 9) 0П/(0) = /ои/ь [c.56]

Теперь уже можно начинать проводить рассуждения, сходные с теми, которые употребляются в связи с подковой Смейла и ее обобщениями, рассматривавшимися в предыдущей части. Правда, отображение S I SI теперь нелинейно, но ключевым свойством, а именно сильным растяжением по одним направлениям (близким к вертикали) и сильным сжатием по другим (близким к горизонтали), оно все же обладает. Подробное обоснование дальнейших рассуждений можно найти в [59, 1]. [c.93]

Примером гиперболического множества может служить подкова Смейла. Наглядное представление о ней можно получить, рассмотрев отображение 5 квадрата АГ=[0, 1]х[0, 1] в плоскость при котором квадрат сначала сильно растягивается в горизонтальном направлении, потом изгибается, приобретая форму подковы, и, наконец, накладывается на исходный квадрат так, чтобы пересечение КГ 3 К) состояло из двух полос Яг = [c.131]

В малых окрестностях гиперболических множеств (в том числе гиперболических аттракторов) динамическая система обнаруживает стохастические свойства в наиболее яркой форме. Во многих известных случаях, где обнаружено стохастическое поведение (наряду с той либо иной степенью неустойчивости траекторий), причиной стохастичности служит наличие в фазовом пространстве динамической системы инвариантных множеств, которые в первом приближении моделируются подковой Смейла или соленоидом Смейла—Вильямса (или их модификациями). [c.137]

Ho ни тогда, ни позже вопросы гиперболической теории не привлекли широкого внимания. Ситуация изменилась лишь после 1961 г., когда С. Смейл построил подкову Смейла , см. [c.293]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

Подкова Смейла является нростеСиним примером такого рода, аналогичные ей примеры точечных отображений представлены на рис. 7,60 и могут быть легко продолжены. [c.312]

Поясним механизм возникновения счетного числа периодических. траекторий при п = 3. В этом случае отображение последования, соответствующее гомоклинической траектории при нулевом значении параметра, уже изучено в п. 5.4 его образ и. прообраз изображены на рис. 48 е. Ограничение отображения последования на криволинейный четырехугольник при достаточно большом k представляет собой подкову Смейла число таких подков счетно. Для любого натурального N при достаточно близком к нулевому значении параметра отображение по- [c.137]

Покажем, что существует такое значение параметра, что все области сгг отображаются, как подковы Смейла. Действительно, поскольку щель, т. е. расстояние (по у) между о, и Oj+i — величина порядка onst/ Y , а величина (по х) окрестности, в которой содержатся все области fjou j i — порядка onst-Л , то, в силу диссипативности седла, искомые значения параметра существуют (см рис. 53). Отсюда вытекает, что все траектории в окрестности гомологической траектории гиперболичны, а только они и являются вновь появившимися неблуждающими траекториями. [c.145]

Значительную известность получило гиперболическое точечное отображение, названное впоследствии подковой Смейла , которое является структурно устойчивым (грубьш) и одновременно имеет бесконечное множество различных седловых (не-устЬйчивых) неподвижных точек. [c.85]

Ситуация 3. Подкова Смейла. Подковой Смейла называется отображение Т, преобразующее прямоугольную полосу аЪсд, в подковообразно изогнутую полосу Отображение прямоугольной полосы аЪсй в подкову аЪЫ получается сжатием пря- [c.142]

Как уже говорилось, дифференциальные уравпепия Лоренца возникли как трехмодовое дискретное приближение в задаче о тепловой конвекции между горизонтальными плоскостями. В гл. 1 было показано, что уравнения Лорбпца с параметром Ъ — 1 являются основными в описании конвективной циркуляции жидкости в замкнутом круговом контуре. Наличие в них непериодических установившихся движений было установлено в 1963 г., но достаточно полное исследование было выполнено только в 1976—78 гг. сразу в нескольких работах [46, 68, 69, 276—278, 280, 539, 551, 552, 679], среди которых можно выделить два направления одно, идущее от подковы Смейла , и второе — от гомоклинических структур А. Пуанкаре. [c.184]

С. Смейл продемонстрировал пример, существенной деталью которого была знаменитая подкова Смейла . Вскоре появились У-снстемы Д. В. Аносова и аксиома А Смейла, н тем самым был выделен интересный и важный класс динамических систем, обладающих свойством экспонеицнальной неустойчивости траекторий. [c.6]

Общая теория динамических систем традиционно делится на две большие ветви — топологическую динамику и эргодическую теорию. Методы символической динамики работают и там, н там, ио в настоящем сборнике эргодическая часть все-таки преобладает. В первой статье читатель найдет построение марковского разбиения для ограничения диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, на множество не-блуждаюших точек и эргодическую теорию таких диффеоморфизмов. Существенное место здесь занимают термодинамический формализм , гиббсовские меры н вариационный принцип . Введенные Д. Рюэлем и Я- Г. Синаем по аналогии со статистической физикой эти понятия удачно вписались в традиционный для динамических систем круг. Это оживило эргодическую теорию гладких систем и уже принесло интересные результаты. Оказалось, например, что базисные множества диффеоморфизмов класса С , удовлетворяющих аксиоме А, имеют лебеговскую меру нуль. Замечательно, чю класс гладкости здесь нельзя понизить в пятой статье сборника описано построение толстой подковы Смейла , базисное множество которой имеет положительную лебеговскую меру. [c.6]

Эта статья в той или иной степени является непосредственным развитием упомянутых более ранних работ по диффеоморфизмам. Этим работам в свою очередь предшествовали подкова Смейла [23], [24], работа Адлера и Вейса [I] про автоморфизмы двумерного тора, марковские разбиения Сииая для У-днффеоморфнзмов [21], [22]. Для настоящей статьи были также полезны заметки Морса [15], Наконец, упомяием о статье [19], в которой было построено марковское разбиение для трехмерного У-потока. [c.108]

Другая версия полулокального анализа включает изучение орбит, которые остаются внутри определенного, обычно открытого, неинвариантного множества. Конечно, может оказаться, что таких орбит вообще не существует, но при определенных условиях их существование может быть гарантировано. Конструкции инвариантного канторова множества в квадратичном семействе и подковы Смейла, обсуждаемые в 2.5, представляют собой простые, но нетривиальные примеры такого анализа. [c.30]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Перед тем как перейти к общей теории, мы хотели бы подчеркнуть, что простой пример, показывающий инвариантность класса гёльдеровых функций, уже был приведен ранее. Гиперболическое множество подковы Смейла (см. п. 2.5 в) топологически сопряжено с топологическим 2-сдвигом Бернулли. При правильном выборе скоростей сжатия и растяжения легко видеть, что это множество изометрично пространству 2-сдвига с метрикой с1) , как показано в п. 1.9 а. Следовательно, класс гёльдеровых функций этой символической динамической системы в точности совпадает с классом гёльдеровых функций на инвариантном множестве подковы относительно евклидовой метрики. [c.600]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Разумеется, эту конструкцию можно обобщить, потребовав, чтобы на первом месте вместо двух образовалось бы любое конечное число полос, скажем, тогда на втором шаге образуется полос и т. д. (при этом число полос, образующихся при отображении будет, вообше говоря, не равно /). Наконец, это построение можно обобщить на многомерный случай (см. [45]). Имеются и другие видоизменения приведенной конструкции. Укажем еще на гладкую реализацию подковы Смейла, построенную в [86], а именно существует диффеоморфизм 5 класса двумерной сферы в себя, продолжающий построенное выше отображение1>5, для которого 3(5)=Лири , где р и [c.132]

В заключение отметим, что подход Боуэна к построению равновесных состояний обобщается на произвольные ЛМГМ. Хотя в этом случае понятие и-гиббсовской меры не имеет смысла, равновесное состояние, отвечающее функции ф , представляет известный интерес (см. [13]). Аналог и-гиббсовской меры для подковы Смейла построен в [45]. [c.150]

Чениова Н И., Естественная инвариантная мера иа подкове Смейла., [c.229]

Переход предельный Больцмана—Грэда 2 70 Подкова Смейла 131 Показатель характеристический 01 [c.309]

Стивен Смейл — математик, который в 1962—1963 гг. продолжил работу, на-итую Пуанкаре и Биркгофом, и доказал теоремы, связывающие отображения типа подковы с гомоклиническими траекториями и хаосом (более подробно о работе Смейла см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]). [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...