Устойчивость орбитная

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости различаются. Периодическое движение х = х (t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого е> О можно [c.16]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

В данном случае сходство с консервативной системой распространяется даже дальше можно показать, что исследуемое периодическое движение обладает орбитной устойчивостью. Область орбитной устойчивости в пространстве параметров имеет вид [c.38]

Полностью аналогично определяется а-орбитно-устойчивая (или орбитно-устойчивая при I — оо) траектория. [c.257]

Лемма 1. Если траектория Ь со-орбитно-устойчива хотя бы в одной своей точке, то она со-орбитно-устойчива в любой другой своей точке, т. е. она (о-орбитно-устойчива. [c.257]

Предположим противное, т. е. предположим, что траектория Ь но является (о-орбитно-устойчивой в точке Мг- Тогда существует бо > О такое, что сколь бы малую окрестность 11 с, (М,) мы ни взяли, найдется траектория, проходящая при I = через точку этой окрестности, которая при I > Хп выйдет из бо-окрестности полутраектории Ь 1 . [c.258]

ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ 2Г)Я [c.259]

Очевидно, U (а)-орбитно-неустойчивая траектория L ие является орбитно-устойчивой ни в одной своей точке, т. е. если М — какая-нибудь се точка, то существует ео > О такое, что при любом сколь угодно малом O > О найдется траектория L, проходящая через точку f/g М), и при i > т, выходящая пз Ео-окрестности Lti- [c.259]

Положительная (отрицательная) полутраектория называется орбитно-устойчивой, если она является полутраекторией ш (а)-орбитно-устойчивой траектории. [c.259]

Орбитно-устойчивыми, т. е. неособыми траекториями, являются траектории, при оо и [c.261]

Из этих примеров нетрудно видеть, что в случае, когда траектория неособая (орбитно-устойчивая), все близкие к ней траектории ведут себя весьма похожим образом (в дальнейшем смысл этих слов уточняется). Но это совершенно не имеет места для тех траекторий, которые мы выше [c.261]

ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ H. ПОЛУТРАЕКТОРИИ [c.273]

УСТОЙЧИВОСТЬ ОРБИТНАЯ. Обозначим через у замкнутую фазовую траееторию, отвечающую периодическому движению X = х ( ), устойчивйсть которого исследуется, а х = х(г) [c.75]

Пример. Геометрически очевидно, что всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия типа узла или фокуса, орбитно-устойчива. Орбитно-устойчивыми будут и все полутраектории, стремящиеся к предельным циклам. Орбитноустойчивыми, т. е. неособыми, траекториями очевидно будут траектории, стремящиеся при t - + оо и i->- — оо к узлам или фокусам или при t - + оо — оо) стремящиеся к узлу, а при t — оо ( ->-роо)—к предельному циклу, а также траектории, стремящиеся к предельным циклам и при i -Н оо, и при [c.52]

Понятия орбитно-неустойчивых (особых) и орбитно-устойчивых (иеособых) траекторий введены в заметке [46] и являются обобщенпем на случай произвольных динамических систем вида (I) аналогичных понятий, введенных ранее А. Андроновым и Л. Понтрягиным [6]. [c.256]

Очевидно, если траектория Ь не является ш-орбитно-устойчнвой в точке М, то существует бо > О такое, что сколь бы малое б > О мы ни взяли, найдется траектория Ь, проходящая при I = г через точку (М) и имеющая при згшчениях 1 > т точки, лежащие вне бо-окрестпости полутраектории Ь . Полностью аналогично дается также определение траектории а-орбитио-устойчивой в точке М. [c.257]

Определение XV. Траектория Ь с ограниченной положительной полутраекторией) называется (о-орбитно-устойчивой или орбитноустойчивой при оо, если она (о-орбитноч/стойчива в любой своей точке. [c.257]

Т2<Т1. Так как в этом случае по.яутраектория является частью полутраекторип дг2 (рис. 14()), то, воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости от начальных условий, нетрудно видеть, что траектория Ь ю-орбитно-устойчива также и в точке М - [c.258]

Определение XVI. Траектория, не являющаяся со (а) орбитно-устойчивой, называется ш а)-орбитно-неустойчиеой траекторией ). [c.259]

Полутраектория (положительная или отрииательная), не являющаяся орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой полутраекторией. [c.259]

Доказательство. В случае динамических систем на сфере справедливость теоремы непосредственно вытекает из того, что на сфере (в силу ее компактности) отображение Т — равномерно непрерывно (и при этом все точки сферы являются внутренними точками), а также из самого определения орбитной устойчивости и неустойчивости полутраекторип. [c.260]

Возьмем какую-нибудь область Сг целиком вместе с границей, содержащейся в б и содержащей область G вместе с границей (т. е. С гз Сг 13 б 2 Отображение Т равномерно непрерывно в области Сг, и при этом точки полутраектории />+ заведомо отличны от точек границы Сг. А тогда справедливость теоремы, как нетрудно видеть, неиосредственио вытекает из самого определения орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории. [c.260]

Простейшие примеры орбитно-устойчивых и орбитио-иеусто11чи-вых траекторий. Поясним введенные понятия на примерах траекторий, встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах. [c.260]

Устойчивые и неустойчивые предельные циклы в отношении орбитной устойчивости ведут себя так же, как узлы и фокусы, т. е. могут быть орбитно-устойчивыми, либо только при 4- оо, либо только при — оо, а соответственно при i — оо и 1 оо они орбитно-пеустойчпвы, [c.262]

Во.змоишые типы орбитно-неустойчивых полутраекто )И11 и траекторий. Перейдем теперь к выяснению того, какие пз траекторий рассматриваемых нами /цшамических систем второго порядка являются орбитно-устойчивыми, а какие орбитно-неустойчивыми. [c.262]

Мы рассмотрим все возможные типы полутраекторип и установим, какие из этих полутраекторий могут быть орбитно-устойчивыми и какие [c.263]

В первом случае состояние равновеспя О, очевидно, и О)- и а-орбитно-устойчиво. Во втором случае в силу теоремы 37 состояние равповесия О орбитно-неустойчиво. Этим вопрос об орбитной устоГ1ЧЦвости и неустойчивости состояния равновеспя решается полностью. Мы перейдем теперь к рассмотрению орбитно-неустойчпвых полутраектори , стремящихся к изолированному состоянию равновесия. Докажем сначала некоторые вспомогательные предложения. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...