Полутраектория орбитно-неустойчивая особая)

Полутраектория орбитно-неустойчивая (особая) 413 [c.914]

Приведенные теоремы позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а следовательно, и какие траектории орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов [c.53]

Если все полутраектории параболической области стремятся к состоянию равновесия при г +оо (1- — оо), то они, очевидно, являются (О-(а)-орбитно-устойчивыми. Однако среди них могут быть полутраектории особых траекторий, являющихся а-((о)-орбитно-неустойчивыми. [c.60]

Б этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих в замкнутой области G (т. е. к множеству лежащих в G орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устойчивых состояний равновесия), присоеднпяется еще конечное число дуг без к01ггакта, дуг траекторий и некоторых полутраекторий, характеризующих нормальную границу той области G, в которой рассматривается динамическая система. [c.285]

Лемма 4. Если какая-нибудь отличная от угловой точка особой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта т. е. точка угловой полутраектории или орбитно-неустойчивой тыутраек-тории, пересекающей граничную дугу без контакта), является граничной точкой для какой-нибудь ячейки, то и все точки зтой дуги или этой полутраектории являются граничными для той же ячейки. [c.288]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

Состояния равновееия типа центр. Предположим теперь, что рассматриваемое состояние равновесия О таково, что к нему не стремится ни одна полутраектория. Тогда в силу теоремы 18 4 в любой сколь угодно малой окрестности точки О есть залшнутая траектория, содержащая точку О внутри. В силу предположения о конечности числа орбитно-неустойчивых траекторий существует во > О такое, что в окрестности О) не лежит целиком ни одной особой траектории кроме точки О. Пусть L — замкнутая траектория, целиком лежащая в (( ) и содержащая точку О внутри (такая траектория, очевидно, всегда существует), а gj, — область. [c.360]

Свободные и песвободпые коитипуу.мы. Пусть К — ш (или а)-нре-дельный континуум. Среди траекторий, для кото])ых он является предельным континуумом, могут встретиться особые полутраектории (т. е. орбитно-неустойчивые полутраектории, сопаратрисгл п.дп угловые полутраектории). [c.441]

Оиределение XXVHI. Мы будем говорить, что задана полная хема предельного континуума Ю если. 1) указано, с какой стороны этот континуум яеляется предельным, с положительной или отрицательной т. е. указывается, какой знак, или —, таходится в скобке в обозначении Ю 2) задана локальная схема этого континуума, т. е. указано, яеляется ли он со-, а- или О-предельным, и задается (о-перечисление входящих в него траекторий, 3) указано, на каких из простых замкнутых кривых Si, входящих в состав континуума положительное направление обхода совпадает с направлением по t, а на каких противоположно этому направлению (кривые Si определены в силу задания локальной схемы, см. замечание к лемме 1 25) 4) в случае, когда есть со- или а-предельный континуум, указаны все стремящиеся к нему особые полутраектории и их циклический порядок, причем отмечено, какие из этих полутраекторий являются угловыми и какие принадлежат орбитно неустойчивым траекториям. [c.443]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Доказательство. Пусть Р — точка рассматриваемого особого элемента, не лежащая ни в какой из канонических окрестностей или на ее грашще (т. е. не лежащая и на канонической кривой). Если у этого особого элемента (т. е. у орбитно-неустойчивой траектории, иолу-траектории, угловой полутраектории или угловой дуги) существует точка, являющаяся концом а- или ш-дуги (в частности, граничной), то в С1глу непрерывной зависимости решения от начальных условии нетрудно убедиться в справедливости утверждения леммы. В частност1г, утверждение леммы всегда справедливо в случае, когда точка Р лс/югт на угловой дуге, угловой полутраекторпи или орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой принадлежит границе области G. (Во всех этих случаях на особом элементе есть точка, принадлежащая границе области G, являющаяся концом граничной элементарной дуги.) [c.480]

Полностью аналогичное утверждение справедливо также и относительно других соответствующих друг другу по схеме особых элементов, точки которых являются концами элементарных и седловых дуг, т. е. относительно орбитно-неустойчивых полутраекторий 1 и = 0 (W), с концом на границе областей G и G . угловых иолутраек-торий W и — 0 (L - ), граничных и угловых дуг траекторий / и Z = 0 (I), I и = в (2), а также относительно соответствующих друг другу по схеме эллиптических дуг. В сплу леммы 17 28 один конец всякой эллиптической дуги всегда является концом а-дуги, а другой концом м-дуги. [c.488]

Докажем это утверждение. Для этого заметим прежде всего, что вокруг каждой точки очевидно, всегда можно взять столь малую окрестность, чтобы все точки этой окрестности принадлежали той же ячейке, что и ), и, следовательно, являлись бы точками орбитноустойчивых траекторий. Кроме того, всегда можно взять столь малым s O, чтобы Е-окрестность полутраектории кроме состояния равновесия О, к которому стремится полутраектория не содержала бы целиком ни одной орбитно-неустойчивой траектории. Но тогда все полутраектории, проходящие через достаточно малую окрестность любой точки в силу орбитной устойчивости Z.+ при i 4 выходят из Ё-окрестности L , а следовательно, предельное множество этих полутраекторий также лежит целиком в Е-окрестности L . Но это предельное множество должно состоять из целых особых траекторий, а так как в Е-окрестности лежит целиком только одна особая целая траектория — состояние равновесия О, то, значит, это предельное множество состоит из одного только состояния равновесия О, что и доказывает утверждение I. [c.422]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...