Граница области притяжения

Потеря устойчивости предельным циклом на торе, происходящая жестким образом при е- Е к устойчивому циклу, лежащему на торе, подтягивается седловой цикл удвоенного периода, либо неустойчивый тор, лежащий на границе области притяжения Те при <е и при е=е передает свою неустойчивость этому предельному циклу. [c.162]

Бифуркация устойчивого цикла на торе, при которой седловой цикл, лежащий в границе области притяжения тора, подтягивается к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает. Мультипликатор в этот момент становится равным (+1). [c.162]

Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Т при е<е. [c.162]

Обычно неустойчивая ветвь резонансной кривой занимает промежуточное положение между двумя устойчивыми ветвями и является границей области притяжения к одному из крайних устойчивых режимов. [c.295]

Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

Искусственная поверхность, полученная в космосе развёртыванием мягкой оболочки, может применяться для отражения и (или) поглощения солнечного света (с целью создания аккумуляторов солнечной энергии) и мобильной направленной транспортировки энергии в заданные районы Земли или для энергообеспечения космических объектов. Поверхность может применяться и в дальнем космосе вблизи границ областей притяжения планет как космический парус, использующий давление солнечной радиации. [c.182]

Выяснилось, что фрактальные понятия применимы не только в описанию структуры динамического аттрактора в ходе исследований хаоса было остановлено, что и другие геометрические объекты, такие, как фаница между хаотическими и периодическими движениями в пространстве начальных условий или параметров, также обладают фрактальными свойствами. Учитывая это, мы посвятили специальный раздел фрактальным границам области притяжения, [c.212]

Прежде чем мы займемся изучением задачи с фрактальной границей области притяжения, полезно рассмотреть случай, когда граница области гладкая, но движение чувствительно к выбору начальных условий. С такой ситуацией мы встречаемся, например, в переходной динамике частицы с затуханием. Этот одномерный пример служит простой моделью поведения упругой балки после выпучивания или частицы в потенциале с двумя ямами. Уравнение движения в этом случае имеет вид [c.250]

ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАНИЦА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ [c.252]

ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ [c.254]

Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают неоднозначностью конечных режимов у них существует несколько состояний равновесия или периодических движений. Например, в задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение может происходить как по часовой стрелке, так и против нее. [c.255]

Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57]). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког- [c.255]

Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до статочно веским соображениям, для многих динамических систем множественность решений и существование гомоклинических траек. торий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа под. ковы, могут служить критерием фрактальности границ областей притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем. [c.258]

РАЗМЕРНОСТЬ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ [c.258]

Б.11. ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЕ КАПЛАНА-ЙОРКЕ [c.285]

В качестве простого численного эксперимента с границами областей притяжения попробуйте рассмотреть случай . = 3, > = 1,5. При этих значениях и существуют два аттрактора = оо. Выберите подходящий масштаб для прямоугольника О дг 1, [c.286]

Макдональд и др. [119] получили также емкостную размерность этой границы= 2 — (1п > /. ) = 1, 63.. . . Граница области притяжения непрерывна, имеет бесконечную длину и нигде не дифференцируема. [c.286]

Сфера притяжения. Продолжим обсуждение движения КА массой тг в гравитационном поле двух небесных тел, массы которых т и m2 т2< т ). Совокупность точек пространства, в котором меньшее небесное тело m2 притягивает КА сильнее, чем большее тело т, называют областью притяжения или сферой притяжения меньшего тела относительно большего. Здесь по поводу понятия сфера справедливо замечание, сделанное для сферы действия. Граница области притяжения определяется условием [c.246]

Следствие. Граница области притяжения = множество Жюлиа. Если С С — область притяжения для некоторой притягивающей периодической орбиты, то топологическая граница [c.66]

Что можно сказать о виде области притяжения, кроме того, что она полностью исчерпывается областью б (j) при t -> — оо В некоторых случаях она довольно проста и могут быть указаны и приближенно вычислены поверхности, из которых составлена ее граница. Но возможны случаи, когда она необычайно сложна. Соответствующие примеры будут приведены ниже в связи с рассмотрением так называемых гомоклинических структур. А сейчас вернемся к рассмотрению особых точек 0 [c.246]

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при Li = О и X = О седловая величина ст < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси j, = О появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > О, J, = О, будем увеличивать ц. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р = О в область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров р, в окрестности точки Л = х = О очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении Я в сторону возрастания вдоль оси j, = О число вращения 7 монотонно убывает от значения ) у = оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображении Гзя, согласно которым между [c.376]

При движении объекта в пределах Солнечной системы по гелиоцентрической орбите главной силой, определяющей это движение, является сила тяготения Солнца, а притяжение планет вызывает возмущения, обусловливающие отклонение реального движения от кеплерова, или невозмущенного, движения. Однако при сближении с какой-либо планетой рассматриваемый объект попадает в область притяжения этой планеты, в каждой точке которой планета притягивает объект сильнее Солнца. Границей области притяжения является сфера радиуса Яс- Значения радиусов сфер — областей притяжения гравитационных сфер) для планет приведены в табл. 23 (по Г. А. Чеботареву и М. Д. Кислику) [58]. [c.188]

Существует притягивающая периодическая точка, отличная от бесконечности, которая по предложению 7.8.2 притягивает нуль. В этом случае множество Жулиа является общей границей областей притяжения двух точек. Область притяжения бесконечности всегда связна. Вторая область притяжения может быть как связной, так и не связной. [c.563]

Рис. 6.23. Гладкая граница области притяжения для частицы, совершающей колебания в потенциале с двумя ямами под действием вынуждающей силы малой амплитуды. Аттракторами служат периодические орбиты вокруг правого и левого положения равновесия [144] (The Ameri an Physi al So iety, 1985).

В предыдущих разделах мы описали, каким образом развитие фрактальной границы области притяжения приводит к нeoпpeд [c.258]

В других работах Янсити и др. [86] и Гуинн и Вестерфельт [58] использовали уравнение маятника с периодической вынуждающей силой для моделирования электронного устройства, основанного на одном явлении, известном под названием джозефсоновского перехода. Эти авторы также получили при различных начальных условиях границу области притяжения, выглядящую как фрактальная. [c.260]

Множество Мандельброта. Еслиг — комплексное переменное, то квадратичное отображение г — -I- с имеет более чем один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под названием множества Мандельброта в честь математика, работающего ныие в фирме 1ВМ. [c.270]

Пример двумерного отображения с фрактальной границей области притяжения был исследован Капланом и Йорке [90] и Макдо- [c.285]

Замкнутую кривую АБ,ВГА на рис. 379, являющуюся границей области притяжения устойчивого фокуса (О, 0), также можно считать неустойчивым предельным циклом, если сделать следующее доопределение закона движения изображающей точки на отрезке отталкивания АБ изображающая точка двигается вдоль этого отрезка вправо во всех точках, кроме Б,, где она переходит на траекторию Б,ВГА. В пользу такого доопределения говорит следующее обстоятельство на фазовой плоскости генератора с характеристикой лампы, аппроксимируемой гладкой непрерывной кривой, сколь угодно близкой к /-характеристике, изоклиной горизонтальных касательных будет непрерывная кривая, близкая к ломаной А АББ, а неустойчивый предельный цикл будет близок к замкнутой кривой АБ1ВГА. [c.538]

Прежде всего отметим, что начало координат на фазовой плоскости — неустойчивый фокус. Главная отличительная особенность фазовой диаграммы — упомянутая кольцевая зона, которая и является странным аттрактором. Наконец, существенным элементом фазовой диаграммы является неустойчивый предельный цикл — замкнутая линия, окружающая в некотором поколении зону странного аттрактора (см. кривую А2 на рис. 13.4, а) и служащая границей области притяжения к странному аттрактору. Фазовые траектории, начинающиеся внутри этой области, не только притягиваются к странному аттрактору, но, можно сказать, втягиваются в него. Оказавшись внутри зоны странного аттрактора, изобран аю-щая точка не выходит из нее и далее совершает здесь хаотическое движение. Если после достаточно большого возмущения начальная изобранчающая точка оказалась за 16 я. I. Пановко [c.241]

В гл. I мы рассмотрели пример популяции, в которой возникает еще одно нетривиальное равновесие (популяция с нижним критическим порогом численности или популяции типа Олли). Вообще эффект Олли , т.е. увеличение скорости роста популяции при объединении отдельных особей во взаимодействующие группы (самым простым примером такого объединения служит возникновение репродуктивных пар) может приводить к возникновению нескольких нетривиальных положений равновесия. Переход популяции из одного состояния в другое может происходить как вследствие естественной эволюции системы, так и под действием случайных возмущений. Иногда с такими переходами связывают понятие эластичности сообщества. Точнее, система считается эластичной , если случайные воздействия не разрушают ее, а приводят в другое стационарное состояние. Среди равновесных точек системы могут встречаться как устойчивые, в окрестности которых система будет проводить большую часть времени, так и неустойчивые, которые связаны с границами областей притяжения устойчивых состояний. [c.324]

Способ разделения потоков, особенно внутри петли, как видно, необычайно сложный и тонкий, в соответствии со сложностью разделяющей границы. Вместе с тем, несмотря на эту сложность, общая структура фазового пространства Проста И СВОДЯТСЯ к разбиению eio иа дне области притяжения область притяжения периодического Л1 п)кен[1я I , и область притяжения периодического движешш Г. . Эти области притяжения довольно сложного вида. До некоторой [c.272]

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения arrpai ropa Т = О, а высокие - в области притяженм аттрактора Т = со. Точки Кюри Тс - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке Rb(TJ = просто потому, что он не может решить , к какому аттрактору ему следует направиться. На языке динамических систем мы говорим, что Тс - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Тс, то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т = 0) или к полному беспорядку (Т= ао). [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...