Решения однородные задачи о цилиндре

Решения однородные задачи о цилиндре 353 [c.937]

Однородные решения задачи о цилиндре (оставляющие его поверхность свободной от нагружения) в этих обозначениях представляются рядами [c.361]

Полученное таким образом решение содержит в знаменателе множитель Jp ka), который на некоторых частотах kn обращается в нуль. На этих частотах неоднородная задача (8.1), вообще говоря, т. е. при произвольных источниках, решения не имеет. Физический смысл этого результата очевиден мы пытались решить задачу о возбуждении колебательной системы без потерь на собственной ее частоте. Частоты, для которых неоднородная задача оказалась неразрешимой, являются характеристиками колебательной системы, в нашем примере — внутренней области цилиндра. Одновременно именно на этих частотах имеет решение однородная задача. Использование решений однородной задачи и лежит в основе так называемого метода собственных колебаний. Мы упоминали об этом в п. 4.3. [c.85]

Решения тестовых задач, таких, например, как задачи о цилиндре с постоянными осевыми или радиальными напряжениями, как и следовало ожидать, совпадают с точными. Это очевидное следствие того, что функция перемещений может описывать однородные деформации. [c.100]

В рамках нелинейной теории разработан метод решения стационарных задач о движении контура вблизи границы раздела двух жидкостей. Жидкость в каждом слое идеальная, несжимаемая, тяжелая и однородная, обтекание контура бесциркуляционное. Система интегральных уравнений задачи содержит в качестве неизвестных интенсивности вихревого слоя, моделирующего границу раздела, и слоя источников, расположенных вдоль контура, а также функцию, описывающую форму границы раздела жидкостей. Решение этой системы основано на использовании метода Ньютона и метода панелей высокого порядка. На основании разработанного численного метода проведен эксперимент по решению задач о движении кругового цилиндра и вихря заданной интенсивности под свободной поверхностью весомой жидкости. Полученные результаты обсуждаются на фоне линейной теории волн малой амплитуды, примененной для решения этих же задач. Сделан вывод о существенном влиянии нелинейности на форму свободной поверхности. Обнаружено, что решение нелинейных стационарных задач существует только в определенной области базовых параметров. [c.126]

Такой же критерий (соотношение между размером неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макроскопически неоднородно, например, упругий стержень составлен из сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных и алюминиевых цилиндров ), то для нормальных колебаний, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный, обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами. [c.697]

Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра. В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические функции двух видов — осесимметричные (зависящие от х, и произведения функций от х, на В этом пункте дается построение этих решений в форме однородных полиномов от х, Z, для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надлежащие особенности на оси z (при л = 0), в случае полого цилиндра. [c.339]

Однородные решения. Уточнение базирующихся на применении принципа Сен-Венана решений задач о прямоугольной полосе и круговом брусе может быть достигнуто наложением на них однородных решений — решений, оставляющих продольные края полосы у = Ь (боковые поверхности г = Го, г = Г бруса) свободными от нагружения. В задаче о круговом цилиндре (п. 7.8 гл. V) они были использованы с целью уточнить выполнение краевых условий на торцах. Здесь подобное построение проводится в применении к прямоугольной полосе, его можно повторить и в случае кругового бруса. [c.511]

Формула (6.7), хотя и представляет собой точное решение поставленной задачи, неудобна для практических расчетов. Поэтому изложим упрощенный метод расчета, который назовем "методом трансформатора . Он заключается в том. что соленоид рассматривается как первичная обмотка трансформатора, а металлический полый цилиндр -как вторичная короткозамкнутая обмотка (один виток). При этом дифференциальные уравнения Максвелла заменяются соответствующими интегральными уравнениями. При расчете делается предположение о том. что внутри полости цилиндра напряженность поля однородна по радиусу и длине, т.е. отношение длины цилиндра к его диаметру достаточно велико и краевые эффекты можно не учитывать. В этом случае полем вне соленоида можно пренебречь. Тогда на основании закона полного тока [c.173]

Метод однородных решений. Здесь на примере смешанной осесимметричной задачи Су теории упругости о кручении штампом кругового цилиндра конечных размеров, поставленной в этом параграфе, излагается метод однородных решений для исследования контактных задач для тел конечных размеров, границы которых совпадают с координатными поверхностями ортогональных систем координат [317]. Этот метод позволяет получить решения подобных задач практически для любых значений параметров. Такая эффективность метода определяется тем, что решение задачи сводится к решению бесконечной алгебраической системы второго рода высокого качества типа нормальных систем Пуанкаре-Коха. Решение рассматриваемой здесь задачи для случая большого значения отношения R — a)/h и малых значениях отношения X = h/а получено в этом пункте выше. [c.58]

Балабанов Л. М, Однородные решения и выполнение граничных условий на торцах в задаче о равновесии полого толстостенного изотропного цилиндра. — Изв. АН СССР, МТТ, 1968, № 1, с. 95—101. [c.171]

К задаче 1 близко примыкают задачи о взаимодействии штампа с цилиндром, когда его боковая поверхность свободна от напряжений или защемлена, а также задачи о взаимодействии штампа с конечным телом вращения с боковой поверхностью достаточно произвольной формы и свободной от напряжений (задача 3, рис. 3). Здесь используются однородные решения для слоя, с помощью которых граничные условия на боковой поверхности удовлетворяются приближенно методом граничной коллокации или методом наименьших квадратов. В итоге задачи сводятся к исследованию конечных систем линейных алгебраических уравнений и хорошо изученных интегральных уравнений вида (24) контактных задач для слоя. [c.164]

Осесимметричная задача разработана наиболее полно по сравнению с другими задачами пространственной термоупругости. Характерные математические трудности, связанные с решением этой задачи, можно установить при исследовании тепловых напряжений в толстостенной сферической оболочке и в коротком сплошном цилиндре. Задача о тепловых напряжениях в толстостенной сферической оболочке является типичной задачей, решаемой с помощью классических методов разложения переменных и представления величин, входящих в граничные условия, в виде рядов по полной ортогональной системе функций. Задача о тепловых напряжениях в коротком цилиндре вводит читателя в круг идей, реализуемых при исследовании тела вращения, для которого невозможно представить граничные значения искомых величин в рядах по полной ортогональной системе функций на всей его поверхности. Применяются в основном два метода решения такой задачи метод однородных решений, разработанный А. И. Лурье (1947) и В. К. Прокоповым, и метод суперпозиции решений для более простых граничных задач, истоки которого содержатся в работах Л яме (1861) и Матье (1890). Использование второго метода в нашей книге позволило изучить термоупругое напряженное состояние тела вращения конечных размеров во всей его области, включая и особые точки. [c.9]

Заметим, что можно исходить из класса однородных решений, оставляющих свободными от напряжений торцы цилиндра, а не его боковую поверхность. Этот класс решений следует применять при рассмотрении задачи о толстой круглой плите. [c.382]

В работах С. Г. Лехницкого (1959, 1962) символический метод используется при рассмотрении равновесия трансверсально-изотропного слоя и толстой плиты им получены также соответствующие однородные решения. П. Ф. Недорезов (1964) решил символическим методом задачу о кручении многослойного полого цилиндра. [c.18]

Упругое равновесие бесконечного цилиндра изучалось многими авторами, Осесимметричная задача о действии на полый цилиндр нормального давления, приложенного на участке боковой поверхности, была рассмотрена в 1943 г. Г, С. Шапиро им было получено решение этой задачи при помощи интегралов Фурье — Бесселя (это решение было позднее повторено В. Н, Поповым, 1956). Однородные решения для сплошного и полога цилиндров при осесимметричной их деформации рассматривались В. К. Прокоповым (1949, 1950). Осесимметричная задача для бесконечного сплошного цилиндра, нагруженного нормальными усилиями по боковой поверхности, была изучена в 1953 г, А. И, Лурье решение этой задачи, [c.19]

Подставив это в (5.1) и граничное условие т = О на боковой цилиндрической поверхности, получим для I7 однородную задачу в сечении. Нетривиальное решение существует лишь при определенной зависимости / f , o) = 0 — это и есть дисперсионное соотношение. Такой подход реализован для плоской деформации слоя [68], а также для кругового цилиндра. Дисперсионных ветвей оказалось бесконечно много, при к стремится к скорости волн Рэлея, и лишь при [c.250]

Рассмотренные в главе 6 задачи о кручении стержней все были решены приближенно на боковой поверхности граничные условия удовлетворялись точно, а на торцах — приближенно. На торцевых поверхностях усилия не задавались, а задавались скручивающие моменты, к которым и должны были приводиться касательные усилия. Но для кругового цилиндра конечной длины, полого или сплошного, однородного или неоднородного, можно получить и точное решение (по крайней мере, для частных случаев анизотропии и неоднородности), т. е. найти напряжения, соответствующие касательным скручивающим усилиям, распределенным по торцам по заданному закону, при незагруженной или закрепленной боковой поверхности и поверхности полости (если она имеется). [c.362]

Значительно более сложным является решение задачи о колебаниях тела, частично или полностью расположенного в слое переменной плотности. В настоящее время имеется большое количество теоретических и экспериментальных исследований волновых картин, возникающих при колебаниях тел в стратифицированной жидкости (см., например, [2-4] и библиографию в них), однако теоретические решения, учитывающие условие непротекания на поверхности тела, очень немногочисленны [5-7]. Все они получены для безграничной однородно стратифицированной жидкости. Наиболее полным является решение [7] для колебаний эллиптического цилиндра под произвольным углом. Определены гидродинамические нагрузки, действующие на цилиндр. Экспериментальное подтверждение этих результатов для горизонтальных колебаний кругового цилиндра представлено в [8]. [c.155]

Рассмотрим теперь решение задачи, поставленной в 28, без использования допущения об однородности напряженного и деформированного состояний по высоте цилиндра и гипотезы плоских сечений, т. е. рассматривая задачу как двумерную [72, 111]. Для решения ее применим метод конечных элементов в форме метода перемещений. Так же, как и в 27, примем условие прилипания , т. е. предположим, что в точках этой поверхности скорость радиального перемещения равна нулю (скорость окружного перемещения равна нулю по условию осевой симметрии задачи). Тогда кинематические граничные условия при расположении начала координат на оси цилиндра на половине высоты его при г = О = О, при z = h Vz — —v 2, = 0. [c.112]

Используя однородные решения задачи (6.38), (6.40) и условие их ортогональности, нетрудно найти напряжения и перемещения в цилиндре при 2 о 2 i. По аналогии с предыдущим разделом, это можно записать в операторной форме. Теперь, зная напряжения и перемещения на поверхности z = z, получим задачу, аналогичную (6.38)-(6.40), в которой условие (6.39) следует заменить на условие [c.238]

По используемым методам решения и геометрии упругих тел к изложенным выше задачам близко примыкает задача, рассмотренная в работе [48] о внедрении симметрично расположенных штампов в торцы кругового цилиндра при наличии в цилиндре однородного поля начальных напряжений (задача 6, рис. 5). [c.167]

В данном параграфе в основном пойдет речь о решении ряда сложных собственно смешанных задач теории упругости методом кусочно-однородных решений [193]. Он основан, как и метод однородных решений, на построении функций, точно удовлетворяющих уравнениям теории упругости и граничным условиям в полосе, клине, цилиндре и конусе, причем в данном случае рассматриваются собственно смешанные условия. При помощи системы указанных функций можно удовлетворять граничным условиям на торцах перечисленных бесконечных областей, не внося изменений в смешанные условия иа боковых поверхностях, и решать задачи для полуполосы и прямоугольника, для клина и круговой арки, для полубесконечного и конечного цилиндра, усеченного конуса и сферического кольца. Эти задачи имеют важные приложения в технике и являются элементами, на которые благодаря симметрии расчленяются различные более сложные смешанные задачи для конечных и бесконечных упругих областей с несколькими или периодически расположенными линиями раздела граничных условий. [c.238]

В 4 этой главы был введён в рассмотрение класс однородных решений задачи о цилиндре. Так были названы решения, оставляющие боковую поверхность цилиндра свободной от нагружения. Однородные решения могут быть использованы для приближённого выполнения краевых условий на торцах цилиндра, так как наложение их не вносит никаких изменений в условия нагружения боковой поверхности цилиндра. [c.429]

Повидимому, еще не делалось попыток рассмотреть вопрос о возникновении пластических областей вокруг небольшой эллипсоидальной полости в упругом теле, находящемся под действием однородного поля напряжений, когда эти напряжения приложены на большом расстоянии от полости и дей-ствуют по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Тем не менее в связи с этой темой следует обратить внимание на замечательную статью М. Садовского и Е. Стернберга ), в которой дано точное решение упругой задачи о распределении напряжений вокруг эллипсоидальной полости для случая, когда тело на бесконечности находится в равномерном всестороннем напряженном состоянии, главные оси которого параллельны осям эллипсоидальной каверны. Полученное ими решение выражено в замкнутом виде через эллиптические функции Якоби, причем приведены формулы для определения концентрации напряжений, вызванных наличием эллипсоидальной полости ). Из этого общего решения в частном случае получается задача о полости в поле чистого сдвига 0i=0, 03=—о, од=0, когда две из трех главных осей эллипсоидальной полости параллельны главным напряжениям и Og. Другие частные случаи относятся к полостям в форме эллиптического цилиндра и сферы. [c.589]

Задачи генерации движений периодически колеблющимся телом в однородной и стратифицированной жидкости интенсивно изучаются уже в течение длительного времени. Достаточно полно рассмотрен случай однородной жидкости со свободной поверхностью. Методы рещения этих задач в значительной степени используют потенциальный характер движения жидкости и могут быть распространены на случай стратифицированной жидкости лишь при наличии слоя постоянной плотности и погружения тела полностью в этом слое. Так, например, решение плоской задачи о колебаниях кругового цилиндра, расположенного под пикноклином, дано в [1]. При этом резкий пикноклин моделируется двухслойной жидкостью, а плавный - трехслойной жидкостью с линейно стратифицированным слоем и однородными верхним и нижним слоями. [c.155]

Xi всегда можно выбрать совпадающим с направлением вектора Ь. Образование краевой дислокации можно представить себе так. В бесконечной упругой среде вырезан цилиндр, ось которого есть ось х . Рассечем среду полуплоскостью, параллельной оси х и пересекающей поверхность цилиндра, как показано на рис. 10.3.1, раздвинем края разреза на расстояние Ь вдоль оси Xi и заполним образовавшуюся щель материалом. После того как дислокация создана, никаких следов от разреза не оказалось, материал снова стал сплошным и однородным. Чтобы найти точцое решение поставленной задачи, мы должны еще удовлетворить граничным условиям на поверхности цилиндрической полости. Вместо этого мы поступим следующим образом. Будем стягивать контур основания цилиндра в точку Ха = 0. В пределе мы получим уже сплошное упругое пространство, в котором осуществлено некоторое напряженное состояние. Сле- [c.331]

Настоящая задача была рассмотрена впервые автором в статье [200]. Однако в процессе решения были допущены вычислительные ошибки, на которые обратил внимание Эшелби [201]. Эшелби предложил собственное приближенное решение этой задачи при б ->0, основанное на методе Ландау и Лифшица решения задачи теории поля о проводящем цилиндре, находящемся в однородном элвктрбстатическом поле диэлектрика. Вычисления Эшелби привели, в частности, к следующему значению для максимального напряжения в стержне (в наших обозначениях) а ах - otpk 1(2е). Сравнение с полученным решением (7.34) и (7.37) показывает, что при любых, сколь угодно малых, результаты Эшелби дают весьма большую погрешность (например, в десять раз при соответствующих X). Эшелби указал, что его результаты по- лучаются также методами Ван- с Дайка и Халлена. [c.201]

В работе А. И. Златина [12], посвященной периодической задаче о дискообразных трещинах в цилиндре, рассмотрены сумматорные уравнения по однородным решениям, оставляющим цилиндрическую поверхность свободной от напряжений. Особенность проблемы заключается в том, что к парным уравнениям, отвечающим за смешанные граничные условия на торце, добавляется еще дополнительное сумматорное уравнение, выражающее условие отсутствия на торце цилиндра касательных напряжений кроме того, сами однородные решения не являются ортогональными. С помощью схемы доопределения и при использовании соотношения обобщенной ортогональности однородных решений сумматорные уравнения удалось свести к одному регулярному интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Формальные выкладки, характерные для метода парных уравнений, обосновываются, опираясь на соответствующие теоремы разложения по однородным решениям для цилиндра (см. работу автора [13]). [c.117]

Отметим, что в работах [13, 57] и др. также рассматривалась осесимметричная задача о кручении штампом кругового цилиндра конечных размеров (задача 4). Штамп жестко сцеплен с одной плоской гранью цилиндра, другая его плоская грань неподвижна, а на цилиндрической поверхности заданы условия отсутствия перемещ,ений или напряжений. Для исследования были использованы изложенные выше методы метод сведения парного ряда к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов и метод однородных решений. Эти задачи имеют самостоятельный интерес и в то же время их можно рассматривать как модельные для проверки эффективности предложенных методов. Расчеты показали высокую эффективность предложенных методов и в совокупности позволили полностью их исследовать при всех значениях параметров. [c.167]

Краевые задачи, которые здесь возникают, весьма сложны, и если не говорить о некоторых тривиальных случаях, то неизвестно ни одного решения, которое полностью и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям Набоковой поверхности и на торцах цилиндра ). Подойти к решению этой задачи с той или иной степенью приближения можно, используя класс однородных решений уравнений теории упругости. В случае цилиндра мы так называем решения, оставляющие боковую поверхность цилиндра свободной от нагрузок. Очевидно, что наложение решений этого класса на решение задачи, удовлетворяющее уже краевым условиям для напряжений на боковой поверхности цилиндра, ни в какой мере не повлияет на выполнение этих условий. Поэтому однородные решения могут быть использованы, чтобы удовлетворить условиям на торцах. К сожалению, строгое решение этой последней задачи встречает, как будет видно из дальнейшего, повидимому, непреодолимые трудности. Приближённое же решение может быть получено и не одним способом оно требует большого вычислительного труда, который, впрочем, должен быть затрачен один раз и навсегда. [c.382]

Задачи, относящиеся к полому цилиндру, представляют большой практический интерес. Однако получение эффективных решений, которые можно было бы довести до числовых результатов при практически приемлемой затрате труда, сопряжено с большими затруднениями. Некоторые численные результаты, с которыми сравнивают данные приближённых расчётов, опубликованы Г. С. Шапиро в аметке О сжатии бесконечного полого цилиндра давлением, приложенным на участке боковой поверхности (Прикл. матем. и мех. 7, № 5, 1943, стр. 379). Решение задач о равновесии полого цилиндра в форме рядов опубликовано Б. Г. Галеркиным в статье Упругое равновесие полого кругового цилиндра и части цилиндра (Собрание сочинений, т. 1, 1952, стр. 342 впервые опубликовано в 1933 г.). Весьма обстоятельное рассмотрение задачи об осесимметрично нагружённом по боковой поверхности полом цилиндре приведено В. К. Прокоповым в работе Равновесие упругого толстостенного осесимметричного цилиндра (Прикл. матем. и мех. 12, № 2, 1949, стр. 135—144). В этой работе получено трансцендентное уравнение, определяющее однородные решения в случае полого цилиндра, и составлены сами эти решения. Они использованы для получения в случае, когда отношение толщины стенки цилиндра к его радиусу мало, уточнённой теории цилиндрической оболочки. [c.440]

Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения задачи так, С. И. Тренин (1952) представлял напряженное состояние двумя тензорами основным и корректирующим, причем последний не дает напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом В. И. Ионовым (1957) Я, С, Шаин (1962) дал построение корректирующего тензора в первом приближении. [c.20]

Общая задача о магнитной структуре малых ферромагнитных частиц при их перемагничивании решалась методами теории микромагнетизма [1-6], в которой возможный процесс перемагничивания (например, образование доменов или однородное вращение векторов намагниченности) не постулируется заранее. В трактовке этой теории направляющие косинусы векторов намагниченности микрообъемов ферромагнетика рассматриваются как непрерывные функции координат и определяются нри учете всех сил, действующих на векторы намагниченности, исходя из условий равновесия. Такое рассмотрение приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений, точное решение которых получено лишь для частного случая магнитных частиц, имеющих форму эллипсоида и бесконечного кругового цилиндра [1-13, 1-14]. В результате показано, что в малых частицах указанной формы возможен механизм неоднородного поворота векторов намагниченности при значениях внешнего поля, меньших, чем те, которые необходимы для процесса их однородного поворота [см. (1-57)]. В частице, имеющей форму тонкого цилиндра, на начальных стадиях процесса перемагничивания могут иметь место как однородное вращение векторов намагниченности частицы, так и неоднородное их вращение, осуществляющееся вихревым изменением или изгибанием направлений векторов намагниченности 3 35 [c.35]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

Поместим в однородный поток вязкой несжимаемой жидкости с кинематическим коэффициентом v, плотностью р и постоянной скоростью Voo цилиндр диаметра d и поставим задачу об определении сопротивления цилиндра набегающему на него потоку в предположении, что движение стационарно, а объемных сил нет. Тогда среди необходимых условий подобия (40) остаются лишь два Ей = idem и Re = idem. Число Рейнольдса, в данном случае равное Re = V odiv, является критерием подобия, так как содержит заданные наперед масштабы скоростей — Foo, длин — d ж также заданную физическую константу V. Сила сопротивления — обозначим ее величину через W— может быть определена только после решения задачи обтекания, так как она вычисляется суммированием по поверхности цилиндра сил давления потока на поверхность и сил трения жидкости о поверхность цилиндра, которые в свою очередь зависят от решения задачи обтекания. Число Эйлера, содержащее в своем составе масштаб неизвестного наперед давления, не может [c.370]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...