Метод решения матричного уравнения

Существуют и другие методы решения матричного уравнения [c.163]

МЕТОД РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ [c.470]

Эффективным методом решения системы алгебраических уравнений (12) является метод матричной факторизации [2]. Решение матричного уравнения [c.151]

Все эти методы основаны на математическом моделировании схемы на цифровой вычислительной машине с целью определения поведения схемы при изменении параметров ее элементов за время функционирования. Анализ осуществляется путем решения уравнений схемы на вычислительной машине при методическом изменении величин параметров элементов схемы. При этом не требуется значительных объемов данных, получаемых обычно в результате испытаний больших партий электронных элементов вполне достаточно информации, получаемой при ускоренных испытаниях небольших партий элементов. Этот аналитический прием запрограммирован в общем виде так, что он может быть применен ко многим схемам с незначительными модификациями программы. Уравнения схемы выражаются в матричной форме и используются общие подпрограммы решения матричных уравнений. [c.42]

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки [30, 95]. В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95]. [c.187]

Решение матричного уравнения (2.3.24) сводится, по существу, к решению системы нелинейных алгебраических уравнений со многими неизвестными. Для этого используют рассмотренные в п. 2.3.2 итерационные методы решения задач теории пластичности в виде последовательности линейных упругих решений. [c.100]

С появлением ЭВМ громоздкие графические и табличные расчеты уступили место различным численным методам решения дифференциальных уравнений — методу конечных разностей [16], численному интегрированию с помош,ью стандартных процедур. Методы дискретизации, которые также используются наряду с предыдуш,ими, переводятся на язык программ с использованием матричных схем, как это было показано в 3. [c.24]

Здесь Ф (г), F (г) — матрицы фундаментальных функций — решени однородного уравнения, соответствующего уравнению (3.116) Z (г) — столбец частных рвений, отвечающих нулевым начальным условиям V (а) = О и V (а) = 0. Решения уравнения— столбцы матриц Ф, F и Z — могут быть найдены известными методами, в частности методом последовательных приближений. Ниже кратко изложен алгоритм процесса последовательных приближений для решения матричного уравнения. [c.95]

При выводе условий идентифицируемости в гл. 24 были рассмотрены регуляторы с управлением по входу/выходу. Эти результаты применимы при рассмотрении регуляторов, использующих для управления переменные состояния, с наблюдателями или оцениванием вектора состояния, если алгоритмы управления могут быть представлены в виде связи входных и выходных сигналов (см. разд. 8.7). В соответствии с (8.7-19) характеристическое уравнение имеет порядок / 2т. Поэтому второе условие идентифицируемости выполняется при отсутствии в уравнении 0(2 )=0 общих корней со знаменателем модели объекта. Регулятор с управлением по состоянию может быть рассчитан с помощью методов, обеспечивающих желаемое расположение полюсов или на основе рекуррентного решения матричного уравнения Риккати, достигаемого за несколько итераций (см. разд. 8.1). [c.399]

Для решения матричного уравнения (21) использовался метод итерации обратной матрицы [4]. Процесс итерации заканчивался, если выполнялось неравенство [c.218]

Решение этого дифференциального уравнения для непрерывной функции (г) представляет собой несравненно более сложную математическую задачу, нежели решение матричных уравнений (8.11) или (9.1) для амплитуд в узлах П1. Даже в случае упорядоченного кристалла, когда применение теоремы Блоха ( 1.1) чрезвычайно сильно упрощает рассмотрение, проблема зонной структуры породила обширную литературу, посвященную разработке специфических математических методов, исследованию физических аспектов проблемы и сложным расчетам. Но хотя трудность обобщения этих методов применительно к системам без трансляционной симметрии очевидна, это не должно останавливать нас, ибо неупорядоченные металлы — в виде сплавов или в жидком состоянии — представляют собой слишком важный объект современного мира, чтобы теоретическая физика могла позволить себе их игнорировать [c.453]

Если для решения матричного уравнения системы используется прямой метод ленточного типа (см. разд. 6.1 и 10.2), то уменьшение ширины леиты позволяет получить более быстрое и дешевое решение. В результате может оказаться приемлемой программа решения уравнения, ориентированная лишь иа использование оперативной памяти ), вместо программы, использующей также и внешнюю память. Еслн программа основана м технике для разреженных матриц, то обычно, за исключением некоторых специальных случаев, уменьшение ширины ленты ие имеет значения. [c.250]

Третий способ ускорения сходимости состоит в использовании своего рода верхней релаксации. Этот способ следует применять только при однократном решении уравнения Пуассона на каждой итерации, как было описано выше. Этот способ был разработан в ходе детального изучения процесса сходимости при использовании двух предьщущих способов ускорения. На рис. 14.13 показана сходимость потенциала и квазиуровня Ферми в некотором узле, расположенном в области канала МОП-транзистора в режиме насыщения. Изображен график зависимости ошибки от числа внешних итераций, так что каждая итерация на рисунке представляет собой два матричных решения. Поскольку приращения потенциала почти постоянны на каждой итерации, оказывается, что быструю сходимость можно получить простым увеличением приращений. Это в какой-то степени аналогично верхней релаксации в методах итерационного решения матричных уравнений. Если вектор приращений потенциала, полученный из уравнения Пуассона, перед сложением его с предыдущим значением потенциала умножить на некоторый множитель, больший единицы, то в результате скорость сходимости увеличивается. [c.376]

При любом способе линеаризации приходится решать матричные уравнения. Размерность матриц довольно велика и обычно колеблется в пределах от 100 до 5000. Они являются разреженными, так как число ненулевых элементов обычно меньше 5 %. Большая часть вычислений приходится именно на решение матричных уравнений, поэтому очень важно тщательно продумать выбор метода решения. [c.470]

В качестве инвариантной части методического обеспечения применяются методы матричной алгебры, теории графов, численные методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений. [c.242]

Пользуясь соотношениями (1.6.4) (1.6.6) система уравнений (1.6.1) и граничные условия (1.6.2), (1.6.3) преобразуются к "несвязанной" форме посредством диагонализации матриц многокомпонентной диффузией, что позволяет уже применять к полученной системе уравнений (1.6.5) известные методы решения. Затем при помощи обратного матричного преобразования (1.6.6) находятся распределения компонентов многокомпонентной смеси в фазах. Подробный анализ исследования кинетики многокомпонентного массо- и теплопереноса, а также использование разработанного математического метода для решения сложных задач, дан в обзоре [66]. [c.44]

Прежде чем перейти к иллюстрации метода решения задач в конечных разностях, представим уравнения (4.6.6) в матричном виде, приняв при этом равенство шагов сетки, которому соответствует значение а=1. Предположим, что дана прямоугольная область, имеющая г узлов на каждой горизонтали и 5 узлов на каждой вертикали. Тогда оказывается возможным систему уравнений в конечных разностях представить в виде [c.109]

Экономичные методы решения уравнений на верхнем слое типа прогонки разработаны не только для скалярных уравнений, но и для систем (так называемые матричные прогонки). Они будут рассмотрены в 3.4. [c.94]

Матричный метод расчета упругих конструкций основан на решении дифференциальных уравнений изгиба оболочек и пластин и кручения колец с применением нормальных фундаментальных функций и матриц, что является математическим выражением метода начальных параметров в строительной механике. Преимущества нормальных фундаментальных функций сказываются при построении разрывных решений дифференциальных уравнений, что также использовано в работе [2]. [c.205]

Аналитические решения дифференциальных уравнений используются для формулировки условий движения составной оболочки в матричной форме метода начальных параметров. Решение примера проведено на ЦВМ для определения спектра собственных частот и колебаний, результаты сравниваются с экспериментально определенными собственными частотами и формами. Эксперименты проведены на стальной модели в диапазоне частот от 80 до 3000 гц. [c.109]

Для определения значений оценок стандартизованных коэффициентов регрессии наиболее часто находят применение следующие методы решения системы нормальных уравнений метод определителей, метод квадратного корня и матричный метод. В последнее время для решения задач регрессионного анализа широко применяется матричный метод. Здесь же рассмотрим решение системы нормальных уравнений методом определителей. [c.94]

Запись уравнений, устанавливающих преобразование входных переменных х , Х2,. -,х и У1,У2, Ур выходные г , 2а,. . ., 2 в виде соотношений (9.1), и их дальнейшее использование усложняют математические выкладки и делают более вероятным появление ошибок при решении практических задач. Поэтому от такой записи перейдем к матричной форме, являюш,ейся более удобной и компактной. Применение матричных методов в целом ряде случаев облегчает исследование точности технологических процессов со многими входными и выходными переменными, существенно упрощает и систематизирует операции по преобразованию и решению исходных уравнений, а также сокращает объем записи и делает результаты более обозримыми. [c.263]

При решении уравнений (5) — (12) использовали метод расщепления и разностные схемы, описанные в [8—10, 15]. Для компонентов скорости ветра уравнения динамики решали методом матричной прогонки, а для турбулентной энергии с применением итерационной процедуры — методом простой прогонки. Уравнения, описывающие процессы туманообразования (6) — (8), решали комбинацией методов покомпонентного расщепления и [c.243]

Связи между скоростями вращения звеньев дифференциальных механизмов описываются линейными уравнениями вида (3.1) и (3.4) и поэтому для нахождения скоростей можно использовать ту общую методику решения систем уравнения, которая была описана в п. 3.2. Однако благодаря стандартному виду уравнений (3.1) и (3.4) использование графовых моделей упрощается. Более того, графовый подход позволяет находить скорости вращения звеньев непосредственно по кодам механизма, не используя при этом в явном виде ни системы уравнений, ни ее матрицы (в отличие, например, от матрично-кодового метода для которого преобразование матрицы уравнений является существенно важной операцией). [c.118]

Решение нелинейного матричного уравнения проводится итерационными методами, основанными на методе Ньютона-Рафсона. Нелинейный анализ занимает гораздо больше времени, чем линейный, по двум причинам. Во-первых, каждая итерация включает в себя, как минимум, решение линеаризованной системы вида (1.2). Во-вторых, проблемы сходимости, которые возникают при решении нелинейных задач, могут приводить к большому числу итераций. [c.32]

Решение данного примера показывает, что использование только уравнений изгиба (2.11) создает определенные неудобства при определении нормальных сил и составлении уравнений равновесия узлов. Поэтому при расчете плоских стержневых систем предпочтительней пользоваться уравнением (2.11), дополненным уравнением нормальных сил из (2.4). Учет нормальных сил увеличивает порядок матричного уравнения (2.11) на единицу, но упрощает дальнейший расчет. В этом усматривается выигрыш данного подхода, так как число арифметических операций не является критерием при оценке метода [93, 277], более существенным является упрощение логики. [c.75]

В отличие от других численных методов здесь удается при интегрировании матричных уравнений следить за размером шага и автоматически выбирать его так, чтобы удовлетворялась требуемая точность решения. Размеры участков, на которые делится весь интервал интегрирования, могут быть разные. Предварительно их определяют, руководствуясь асимптотическими оценками, например при расчете оболочек — длиной краевой зоны. Более точная разбивка интервала может быть осуществлена с помощью повторных расчетов. [c.76]

Следующим шагом является формирование матрицы жесткости элемента, ключевой матрицы и подсчет элементов матрицы жесткости А всего ансамбля в соответствии с используемым методом решения основного матричного уравнения. Далее производится подсчет элементов столбцов правой части основного уравнения. [c.164]

Используя далее принцип возможных перемещений для всего тела, получим матричное уравнение (4.30). Это уравнение интегрируется методом Эйлера с итерациями, а решение на каждом шаге по времени получается методом переменных параметров [c.160]

Эффективность и устойчивость этого способа обусловливают возможность объединения двух итерационных циклов и применения его на следующем шаге — при использовании итерационных методов решения матричных уравнений. Такая возможность подтверждается и результатами, обсужденными ранее для одношагового метода БПВР. [c.376]

Синтез плоских и пространственных многомерных систем виброзащнты выполняется на основе методов решения задачи квадратичной минимизации для многомерных систем, включающих вывод и решение матричного уравнения Винера— Хопфа [121] и как окончательный результат получение матрицы оптимальных передаточных функций. [c.306]

Подробное решение задачи синтеза пространственной системы виброзащиты твердого тела дано в работе [198] на основе методов теории оптимальной фильтрации для многомерных систем. Процедура решения включает составление функционала в форме следа квадратичной матрицы, операции над следом для получения матричного уравнения Винера—Хопфа и решение матричного уравнения Винера— Хопфа [ 120]. П )и решении особое место занимает задача факторизации спектральных матриц. Разработаны алгоритмы факторизации и программы на ЦВМ для определенно положительных дробнорациональных функций и методы факторизации спектральных матриц, содержащих члены с чистым запаздыванием и опережением [248]. [c.306]

Для синтеза многомерных систем управления (гл. 18) сущест-т венное значение имеет форма представления структуры многомер- N 020 объекта. При этом используются передаточные функции и представление в пространстве состояний. При рассмотрении многомерных параметрически оптимизируемых алгоритмов управления в гл. 19 вводятся понятия главного регулятора и регулятора связи (который может использоваться как для усиления перекрестных связей, так и для развязки систем), исследуются области устойчивости и взаимное влияние главных регуляторов, а также приведены правила настройки параметров двумерных систем управления. Матричное полиномиальное представление может быть использовано при синтезе многомерных апериодических регуляторов и регуляторов с минимальной дисперсией (гл. 20). Методы проектирования многомерных систем управления с регуляторами состояния, изложенные в гл. 21, основаны на использовании заданного расположения полюсов, решении матричного уравнения Риккати и проведении развязки контуров. Здесь также рассмотрены многомерные регуляторы состояния с минимальной дисперсией. [c.17]

Для того чтобы получить численное решение матричного уравнения (10.7), подчиняющееся граничным условиям, для диагона-лизации матрицы М можно использовать любую из стандартных программ, имеющихся для современных цифровых компьютеров. Среди других использовались программы, основанные на методах Якоби и QR. Когда элементы матрицы комплексны, задача при наличии поглощения сильно усложняется, если не сделаны упрощающие предположения, основанные на относительной малости мнимых компонент. Однако именно для решения полной задачи нецентросимметричного кристалла с поглощением количество вычислений не находится за пределами возможностей средней вычислительной машины, для которой задача 50 пучков, включающая диагонализацию матрицы 50x50, занимает несколько минут [140]. [c.227]

Стандартная библиотетаая подпрограмма LEQTIF, применяемая для решения матричного уравнения системы из разд. 3.2.2, не приспособлена специально для использования в методе конечных элементов, так как не учитывает такого преимущества, как симметрия или ленточиость матрицы системы. В гл. 6 и 10 обсуждаются процедуры, которые учитывают такие свойства матриц, и показано, как можно использовать специфические особенности матрицы для выбора наиболее подходящего метода. [c.89]

Простая модификация метода Ньютона позволяет значительно сократить время счета, затрачиваемое на решение матричных уравнений. В модифицированном методе матрица Якоби вычисляется и факторизуется только через каждые т итераций. Значение т определяется в программе FIELDAY и уточняется по мере выполнения решения. Таким способом можно получить значительную экономию например, при проведении тестовых расчетов на шести задачах удалось сократить полное время счета почти вдвое. Фактически, экономия тем больше, чем больше размерность задачи, так как значительная доля времени тратится на решение матричных уравнений. Можно получить дополнительную экономию, используя модифицированный метод Ньютона в последовательности аналогичных задач, например для нестационарных или стационарных задач с одинаковыми граничными условиями. В этих условиях можно использовать матрицу Якоби с предыдущего [c.471]

Тепломассообмен в многокомпонентных системах относится к наиболее важным проблемам в расчетах тепломассообмена и широко применяется в процессах ректификации, хеморектификации, абсорбции, хемосорбции, адсорбции, сушки, экстракции, кристаллизации, в мембранных процессах и т.д. Несмотря на важность изучения этого типа тепломассопереноса, теории и методам его расчета посвящено сравнительно небольшое число исследований, особенно если данный процесс проходит в движущейся среде. Основная причина состоит в том, что массоперенос в многокомпонентных смесях представляет собой сложную математическую задачу. Она отличается от задач, рассмотренных в первых двух главах еще и тем, что при ее решении необходимо пользоваться матричными уравнениями в частных производных, описывающих процессы тепломассопереноса в движущей среде. Развитый метод решения этих задач, описанной в другой монографии, применен в гл. 3 к расчету массообмена в химически реагирующей ламинарной многокомпонентной струе жидкости. [c.8]

В качестве иллюстрации метода Г. С. Калицына произведем составление матричного уравнения пространственного четырехзвенного кривошипно-коромыслового механизма (рис. 30). Выберем неподвижную систему координат Oxyz с началом в точке пересечения продольной оси О А кривошипа и оси Ох его вращения. Координатная плоскость хОу ориентирована параллельно оси С вращения коромысла ВС. Полагаем, что продольные оси кривошипа ОА и коромысла ВС перпендикулярны соответствующим осям вращения. Это предположение не нарушает общности решения задачи с точки зрения кинематики. Введем обозначения а, Ь, с — длины кривошипа О А, шатуна АВ, коромысла ВС Хс, Ус, — координаты точки С относительно неподвижной системы координат Oxyz] у. — угол, образованный осью вращения коромысла ВС с осью абсцисс — угол, составленный продольными осями пальца ВК и шатуна АВ] [c.138]

Ретение матричного уравнения (1) производится аналогично решению аффинерных уравнений (см., например, гл. 16), причем при использовании матриц 4-го порядка и однородных координат решение в точности совпадает с решением тензорных уравнений Д. Манжерона и К. Дрэгана (см. гл. 19). Метод этих авторов основывается на идее, заложенной в рассматриваемом методе Д. Денавита [c.145]

Для конструкции в виде последовательно сопряженных разнотипных элементов применяют различные методы строительной механики. При расчете по методу сил (перемещений) порядок системы алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений (усилий) в сопряжениях элементов пропорционален числу таких сопряжений. При относительно большой длине меридиана конструкции, когда влияние краевых условий не сказьтается на противоположном краю, в решении системы уравнений накапливается погрешность, вызванная появлением малых разностей больших чисел и ограниченной разрядностью машинного числа. Для сохранения требуемой точности вычислений могут бьггь применены варианты матричной прогонки. [c.46]

В качестве примера изложенного метода рассмотрим результаты восстановления (рис. 3.9) вектора нормальных усилий Рг(>") на торце полого кругового цилиндра с теми же геометрическими размерами поперечного сечения, что и в приведенном выше примере. Высота цилиндра -100 мм. Исходная информация бралась в виде радиальной компоненты вектора перемещений на наружной поверхности цилиндра. Внутренняя и наружная поверхности цилиндра свободны от нагрузок, нижний торец закреплен от осевых перемещений. Расчеты проводились вариационноразностным методом на регулярной сетке Аг = 10 мм, Дг = 5 мм. Вначале решалась прямая задача по заданному вектору нормальных усилий на горце р (г) находился вектор перемещений на внешней грани цилиндра затем обратная задача. На выбранной сетке строились матричные аналоги интегральных операторов уравнений (3.16) и (3.17), по которым находился матричный оператор уравнения (3.18). Методом последовательных приближений решалась разностная задача для уравнения (3.18). На рисунке приведены точное решение — пунктирная линия нерегуляризованное решение, соответствующее решению интегрального уравнения первого рода (3.9) и не имеющее ничего общего с искомым решением - кружки с крестиками решение уравнения (3.18), полученное методом последовательных приближений при различных начальных приближениях вектора р°(г) (осциллирующая функция — квадраты, сосредоточенная сила - треугольник. Из рисунка видно, что метод дает устойчивое приближение к искомой функции и мало чувствителен к выбору начального приближения. [c.78]

Отметим, что в этом случае получается комплексная и недиагональная матрица, хотя часто оказывается, что влияние недиагональных членов мало по сравнению с диагональными. Дальнейшая процедура также требует укорочения рядов, но теперь наиболее эффективным методом решения будет использование вычислительных машин для решения системы комплексных матричных уравнений. Здесь это не будет делаться, поскольку наша цель — лишь проиллюстрировать, что можно и чего нельзя сделать прежде, чем приступать к подробному решению этой конкретной задачи. Следует отметить важное обстоятельство несмотря на появление указанного сингулярного выражения в точке х = 1, порядок уравнений задачи не увеличился, в то время как в прямом методе это было не так. Легкость, с которой это решение было получено, указывает на тот факт, что не математический подход создает трудности при учете недиагональных членов в разрешающей матрице (хотя иногда это, конечно, может случиться), а, скорее, отсутствие достаточно полных сведений о механизме демпфирования и о точках его приложения. Что же касается обратного перехода от замера форм колебаний к оценке физической модели механизма демпфирования (что полностью противоположно процессу, описанному ранее), то он исключительно труден в лучшем случае и невозможен — в худшем. Однако для многих эластомеров, полимеров и стекловидных материалов, рассматриваемых в данной книге, разумное количественное математическое описание не только возможно, но и стало весьма совершенным, так что его можно использовать для оценки влияния технологических обработок (для демпфирования) или демпфирующих механизмов (при использовании указанных материалов) на поведение конструкции, шумоизоляцию или акустическое излучение. То же самое можно сказать и о некоторых нелинейных демпфирующих системах типа металлов с высокими демпфирующими свойствами или типа демпферов с сухим трением, хотя при этом существенно возрастают математические трудности, обусловленные учетом нелинейности. [c.29]

МГЭ состоит из решения задачи Копш в матричной форме и краевой задачи для линейных алгебраических уравнений относительно начальных и конечных параметров всех стержней. Для решения системы уравнений МГЭ целесообразно применять метод исключения Гаусса без выбора ведущих элементов или с ограниченным выбором ведущих элементов. [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...