Методы решения систем алгебраических уравнений

Изложение методов решения систем алгебраических уравнений, начнем с линейных систем. [c.9]

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ [c.9]

В случае численных методов решения систем алгебраических уравнений (что неизбежно при числе зон больше четырех) при классическом методе достаточно лишь один раз решить систему (8-100) и определить средние значения °эф,5 (/=(1, 2, п) по каждой зоне, а затем по (8-106) определить локальные значения Е°ъ М) в любой точке излучающей системы. При использовании резольвентного метода приходится для каждой рассматриваемой точки решать отдельно аналогичную систему уравнений (8-96) для определения величин il5°(Al, F°j), а затем по (8-91) находить локальные значения °эф(М). [c.261]

Существуют и другие методы решения систем алгебраических уравнений, получаемых при использовании метода конечных элементов. Авторы выделили только те методы, с которыми они сами работали и которые уже достаточно апробированы в различных программных комплексах. [c.62]

Методы анализа синхронных моделей представляют собой методы решения систем логических уравнений. К этим методам относятся метод простых итераций и метод Зейделя, которые аналогичны одноименным методам решения систем алгебраических уравнений в непрерывной математике. [c.124]

Методы решения систем алгебраических уравнений. Построив вычислительную сетку и записав уравнения для всех узлов, можно приступать к численному решению большой системы линейных алгебраических уравнений прямыми, либо итерационными методами. [c.152]

Выбор метода решения системы алгебраических уравнений. Решение систем алгебраических уравнений (АУ) имеет место во многих проектных процедурах и прежде всего в процедурах функционального проектирования. Эффективность решения этих задач вносит суш,ественный вклад в общую эффективность выполнения проектных процедур, поэтому необходимо правильно выбрать метод решения системы АУ. Такой выбор приходится осуществлять разработчику пакета прикладных программ (ППП) для подсистем функционального проектирования. Если же пакет выполнен открытым по отношению к численным методам решения систем АУ и, следовательно, содержит ряд модулей, реализующих альтернативные методы, то выбор метода возлагается на пользователя. [c.232]

В качестве инвариантной части методического обеспечения применяются методы матричной алгебры, теории графов, численные методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений. [c.242]

Метод конечных разностей, широко используемый для решения плоских задач теории упругости, становится достаточно громоздким в случае областей со сложным контуром. Бурно развивающийся в настоящее время метод конечного элемента, хотя и может быть распространен на пространственные объекты, не лишен недочетов, так как связан с решением систем алгебраических уравнений высокого порядка. В значительной мере отмеченных недостатков лишен метод расширения заданной системы, однако он не пользуется еще должным вниманием. [c.149]

Метод сеток позволяет свести решение систем уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений, как правило линейных, с достаточно разреженными матрицами. При этом построение решения в методе сеток осуществляют в три этапа. [c.74]

Как отмечалось в гл. 8, большое практическое применение получили зональные методы расчета радиационного теплообмена, основанные на алгебраической аппроксимации интегральных уравнений теплообмена излучением. Естественно, что точность этих методов возрастает с увеличением числа зон, на которые разбивается излучающая система, но одновременно с этим усложняется и разрешающая система алгебраических уравнений, что существенно затрудняет ее решение. Поэтому дальнейший прогресс в использовании методов алгебраического приближения зависит от нахождения эффективных средств решения систем алгебраических уравнений. [c.281]

При использовании численных методов в расчетах оболочек возникает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений высоких порядков. Методы решения систем уравнений [89] подразделяются на прямые и итерационные. Эффективность выбранного для решения систем алгебраических уравнений блочного метода Гаусса определяется следующими достоинствами [c.180]

Метод Ньютона так же, как и метод простой итерации, применяется для решения систем алгебраических уравнений. [c.43]

Для большого класса задач гидродинамики разработаны программы для численного решения этих задач на ЭВМ. Сущность метода состоит в редукции граничных задач для уравнений гидродинамики к задачам решения систем алгебраических уравнений, которые получаются, если частные производные заменить их конечноразностными приближениями, а граничные условия — условиями [c.115]

Свирский И. В. Методы решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающиеся при расчете больших прогибов пластин и оболочек Ц Материалы летней школы по проблеме Физически и геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. I.—Тарту Тартуский гос. ун-т, 1966.— С. 234—257. [c.368]

Широко распространенным приемом численного решения краевой задачи является способ деления интервала на отрезки. Этот способ используют для решения задач строительной механики 93, 104]. При реализации этих методов разрешающая система алгебраических уравнений зависит от числа отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования. Поскольку число таких отрезков может оказаться большим, то возникает необходимость решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, что само по себе является достаточно сложной задачей, для решения которой необходимо, в свою очередь, использовать специальные приемы. [c.69]

Для поиска нескольких решений можно, например, учитывать вторые производные от функций по параметрам и тем самым свести задачу к решению систем квадратных уравнений. Однако последнее представляет собой также сложную проблему. Может оказаться перспективным дальнейшее развитие методов расчета в области аберраций третьего порядка, позволяющих свести задачу к решению систем алгебраических уравнений. [c.467]

Как было показано ранее, решение задач методом конечных элементов сводится к решению систем алгебраических уравнений. Линейные задачи порождают линейные системы уравнений. Число уравнений в этих системах может достигать нескольких тысяч, поэтому выбор и организация алгоритма решения системы уравнений МКЭ имеют большое значение для эффективности практических расчетов. [c.125]

Метод конечных разностей является универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений. Ои позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений. В настоящее время этот метод применяется для решения плоских задач о напряженном состоянии массивов грунтов. [c.52]

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Процедура решения системы ЛАУ [c.229]

Для решения полученных систем алгебраических уравнений можно использовать метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). [c.58]

Внимание к конечноразностному методу еще больше возросло после широкого внедрения в практику инженерных расчетов современной быстродействующей цифровой электронной вычислительной техники и успешного использования аппарата матричной алгебры, что повлекло за собой как упрощение записи алгоритма рассматриваемых расчетов, так и возможность решения более сложных и громоздких с вычислительной точки зрения задач. Порядок систем алгебраических уравнений, а следовательно, и количество искомых неизвестных, ранее бывшие факторами, лимитирующими возможности инженерных расчетов и определяющими точность решения, утратили свое первоначальное значение, в результате чего внимание исследователей сосредоточилось на создании компактных, универсальных и экономичных по затрате машинного времени алгоритмов. [c.86]

Достоинством метода расширения заданной системы является возможность существенного понижения порядка систем алгебраических уравнений при решении сложных задач, по сравнению с методами конечных разностей и конечного элемента, так как при использовании метода расширения заданной системы отпадает необходимость в составлении уравнений относительно точек, расположенных внутри и вне рассматриваемой области. [c.149]

Метод конечного элемента связан с рассмотрением систем алгебраических уравнений высокого порядка. Для сопоставления рассмотрим кубическое тело. Число неизвестных при использовании метода конечного элемента определяется числом узлов сетки и при решении задачи в перемещениях равно 3(л-1-1) . При решении задачи методом расширения заданной системы число неизвестных для кубического объема определяется как 18п , т. е. уже при делении каждой грани на одну и более клеток ярко выступает преимущество этого метода. На рис. 81 графически показано число уравнений при решении задач обоими методами, причем сплошная линия относится к методу конечного элемента, а штриховая—к методу расширения заданной системы. [c.160]

Применяя неявные схемы, мы получаем для определения значений искомой сеточной функции на верхнем временном слое систему алгебраических уравнений. Если схема линейная, то эта система также линейная и для ее решения можно использовать стандартные вычислительные методы линейной алгебры. Однако число арифметических действий, необходимое для решения линейной алгебраической системы общего вида, имеющей порядок N, быстро возрастает с увеличением N (пропорционально Л ). Для одномерных сеточных краевых задач число N мо- [c.92]

Присоединяя к этим выражениям еще зависимости, полученные при удовлетворении граничным условиям, можно записать систему алгебраических уравнений, определяющую значения искомой функции в узлах сетки. Таким образом, в случае применения метода конечных разностей интегрирование системы дифференциальных уравнений сводится к решению системы алгебраических уравнений. Точность решения зависит от размеров сетки чем гуще сетка, тем точнее решение. [c.191]

Остановимся на общей структуре пособия. В первой главе рассматривается часто встречающаяся в инженерной практике задача расчета средних температур по моделям с сосредоточенными параметрами. Здесь же изложены методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений, дано описание соответствующего стандартного программного обеспечения. Подробно разобраны примеры программ расчета стационарных и нестационарных температур для системы, состоящей из твердых тел и движущихся жидкостей. Изучение первой главы необходимо для понимания материала следующих. [c.4]

Тепловые проводимости, теплоемкости и мощности могут зависеть от искомых температур. Поэтому в общем случае получающиеся системы уравнений являются нелинейными. Однако при решении систем нелинейных уравнений обычно организуют итерационный процесс, при котором определение очередного приближения проводится путем решения системы линейных уравнений, в которой проводимости, теплоемкости и мощности рассчитаны по значениям температур, найденным на предыдущей итерации. Решение систем линейных алгебраических уравнений лежит также в основе некоторых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений- [c.9]

Вариациопные принципы и основанные на них вариационные методы играют важную роль в механике деформируемого твердого тела как в части получения дифференциальных уравнений задач, так и в части построения приближенных решений. К методам получения прнближеш1ых решений относятся методы Ритца — Тимошенко, Канторовича — Крылова, Бубнова — Галеркина и др. В основе всех этих методов лежат излагаемые ниже вариационные принципы в той или иной их комбинации. Хотя получение приближенных решений на основе этих методов при наличии мощных ЭВМ постепенно отходят на второй план, они все еще находят применение. В процессе применения ЭВМ на подготовительном этапе есть необходимость задачу интегрирования систем дифференциальных уравнений свести к задаче решения систем алгебраических уравнений. В этой части вариационные методы завоевывают все более и [c.186]

Метод конечных разностей дает возможность свести решение систем дифференциальных уравнений к решению систем алгебраических уравнений. Эту же проблему сведения можно решить, используя метод конечных элементов, который благодаря ряду своих достоинств получил очень широкое распространение в связи с внедрением ЭВМ. В тех случаях, когда сложную конструкцию можно расчленкть на такие элементы, в пределах которых решение может [c.450]

Широкое внедрение ЭВМ в расчетную практику позволило создать библиотеки подпрограмм для различных элементов оболочек и пластин, позволяющие по единообразным данным о геометрии элемента, поверхностным и краевым нагрузкам и перемещениям вычислить неизвестные перемещения, усилия и напряжения в сечениях элементов. Для многих тонкостенных элементов постоянной толщины имеются аналитические формулы, например для цилиндрических, сферических, конических оболочек, круглых и кольцевых пластин, некоторых оболочек линейно-переменной толщины. Традиционные методы строительной механики - методы сил, перемещений, начальных параметров — позволяют рассчитьшать конструкции, представленные в виде различных комбинаций базисных элементов. Численная процедура сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений или усилий в местах сопряжения элементов. [c.45]

Как быдо показано выше, применение зональных методов расчета лучистого теплообмена сталкивается с необходимостью решения систем алгебраических уравнений вида (22). В зависимости от сложности задачи, ее постановки, числа зон можно использовать различные методы решения отмеченных систем. [c.122]

Метод матричного исключения по Гауссу. Метод исключения по Гауссу в обычном варианте широко используется при решении систем алгебраических уравнений. К задачам устойчивости оболочек он был применен в работе [6.24] Альмротом. Реализация этого метода на ЭВМ для оболочек вращения при осесимметричном моментном исходном состоянии выполнена В. И.Мя-ченковым [6.19]. Ниже излагается метод матричного исключения по Гауссу [6.13], который приводит к более компактной записи определителя (три диагонали вместо девяти) и простым рекуррентным формулам. [c.92]

Решение систем алгебраических уравнений, соответствующих неэкстремальным функционалам (какими являются все полные функционалы), сложнее как для точных , так и для итерационных методов. [c.181]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Ниже приведены блок-схемы и тексты двух подпрограмм. Подпрограмма FORMK используется для построения ленточной прямоугольной матрицы жесткьсти и учета граничных условий первым способом, описанным в предыдущем разделе (при а=0). Подпрограмма SOLVE применяется для решения систем алгебраических уравнений методом ленточных матриц ) Блок-схемы приведены на стр. 488 и 489. [c.486]

Таким образом, математические модели объектов проектирования на микро- и макроуровнях сводятся к системам обыкновенных дифференциальных и конечных уравнений (под конечными уравнениями понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения). Оперирование такими моделями в процедурах одновариантного анализа означает решение соответствующих уравнений. Поэтому методы одновариантного анализа на этих уровнях суть численные методы решения систем дифференциальных и конечных уравнений. То же относится к моделям и методам анализа аналоговой РЭЛ на метауровне. [c.222]

Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравпепин. Из рис. 2.2 также видно, что такие системы уравнении приходится роптать при проектировании объектов па микро- и макроуровнях, а часто и на ме-тауровие. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования. [c.45]

В дальнейшем Л. И. Лурье в ряде работ развил идеи, за. гоженные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости. В монографии [33], опубликованной в 1951 г.. А, И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию [c.261]

Гл. I, Методы численного анализа достаточно полно изложены в [3, 6, И, 12, 15, 22, 29, 31, 36]. Современные методы решения систем линейных алгебраических уравнений содержатся в [31, 36] и книге Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры (М., 1977), а краевых задач — в [3, 29] и книге Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений (М., 1986). [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...