Однородные координаты

Коэффициенты при координатах и, V, w удобно представить в виде элементов матрицы 4-го порядка. При этом нужно ввести так называемые однородные координаты, при которых положение точки в системе х, у, г задается величинами х, у, г, т. Четыре новые величины не равны одновременно нулю и связаны с х, у, г соотношениями [c.40]

Для определения положения точки в системе и, и, ап воспользуемся однородными координатами и, и, аи, где [c.40]

Условимся, что т[=т2= 1. Это упрощает переход от однородных координат к обычным и обратно. Тогда при однородных координатах положение точки Д в соответствующих системах записывается так [c.40]

Однородные координаты точки в пространстве [c.39]

Совокупность четырех чисел t, х, у, z представляет собой однородные или проективные координаты точки. Нетрудно сделать заключение, что однородные координаты определяют положение [c.39]

Переходим к соответствующим однородным координатам по равенствам [c.40]

Делая замену переменных в системе (3.2) в соответствии с (3.3) и учетом (3.4), получим систему уравнений преобразования однородных координат точки при переходе от одной системы к другой [c.40]

Таким образом (посредством своих однородных координат -Pj-Xj+i-0) определена та несобственная точка полярная [c.192]

Если величины р, q, г рассматривать как однородные координаты (пропорциональные направляющим косинусам) прямой, параллельной вектору ti), и принять во внимание полярные свойства эллипсоида инерции, то из соотношений (30) [c.244]

Переход в функции Т от q к р производится аналогично тому, как осуществляется переход от точечных координат к линейным в уравнении конического сечения в однородных координатах. Кроме того, Т можно выразить через р с помощью уравнения [c.203]

Однородные координаты точки в пространстве. Пусть XYZ — декартовы прямоугольные координаты некоторой точки в пространстве трех измерений. Введем в рассмотрение параметр t и выразим указанные выше координаты точки через новые величины X, у, 2, им пропорциональные, так, чтобы [c.46]

Перейдем теперь к однородным координатам X Xi] y= Yi- z = Zt г/i [c.46]

Этому уравнению ставится в соответствие матричное уравнение замкнутости механизма, причем введены однородные координаты точки (см. гл. 6, п. 15) и матрицы 4-го порядка преобразования координат. Если ограничиться рассмотрением лишь низших кинематических пар (винтовой и ее частных случаев — вращательной и поступательной), то следует признать, что их положение относительно некоторого трехмерного пространства Охуг, связанного со звеном, определяется положением их продольной оси симметрии. [c.142]

Уравнения преобразования однородных координат какой-либо точки из системы координат звена к системе координат звена осуществляются при помощи равенств [c.153]

Между однородными координатами существует очевидное соотношение [c.139]

Однородные координаты не зависят от положения треугольника в общих осях X, у. Угловые точки имеют следующие координаты [c.139]

Раскрывая определители в (4.36), получим соотношения, связывающие однородные координаты с координатами хну [c.140]

Выражения для производных по д и у от функции однородных координат f (Li, L , L3) имеют вид [c.140]

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования функций однородных координат [c.141]

Так как в подынтегральное выражение (4.101) входят лишь квадратичные члены однородных координат Lj, L2, L3, то численное интегрирование по (4.102) будет точным [4]. [c.150]

Подставляя в функции, приведенные на рис. 7,9, выражения (7.51), можно выразить их через однородные координаты. Далее необходимо воспользоваться формулой (7.50). Описанный подход является естественным, однако при его реализации получаются громоздкие и трудно обозримые выражения, все более усложняю- [c.238]

Отложив на время рассмотрение частного случая (к которому вернемся позже), когда линии (3.1) и (3.4) совпадают, приходим к следующему пересечение (3.1) и (3.4) должно лежать на (3.3). Для этого пересечения получаем однородные координаты [c.159]

Перемещение в любом направлении в узловой плоскости, например в сечении /, описывается полиномом второго порядка в однородных координатах удовлетворяющих условию + + I2 + — 1- [c.198]

Лист Мебиуса как полоса поверхности некоторой ширины рассматривается в работе [254], в которой автор впервые приводит пример замкнутой, аналитической, развертывающейся поверхности Мебиуса. Определяется средняя линия полосы в однородных координатах. Лист Мебиуса как огибающая семейства спрямляющих плоскостей средней линии оказывается класса 21 и порядка 29. В этой же работе приведены численные расчеты и графики для наложения на плоскость построенного листа Мебиуса определенной ширины. [c.260]

Так как матрица [В] (4.80) линейно зависит от однородных координат Li, Ц, Lg, то моменты Л/, Му, М у изменяются внутри треугольника по линейному закону. В центре тяжести треугольника [c.75]

L1, L2, L3 - ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ СЕРЕДИН СТОРОН [c.442]

С другой стороны, мы можем получить более симметричные соотношения, если перейдем к однородным координатам, техника использования которых хорошо разработана в аналитической геометрии [4], а именно введем в х и т] по одной дополнительной (зависимой) координате Хз и т]з соответственно. Действительно, мы можем взять Хз = 1 и т]з = 1 — Ц1 -- Цг, и тогда (8.20) будет иметь вид [c.212]

Если мы, как и выше, введем однородные координаты так, что Х4 = 1 и T]i + 112 + 11з + 1I4 = 1 > то получим либо [c.213]

Другая интерпретация симметричных однородных координат т)я (а = 1, 2, 3 в двумерном случае и а = 1, 2, 3, 4 в трехмерном) показана на рис. 8.5. Первая диаграмма (рис. 8.5,а) определяет [c.214]

Пусть производятся последовательные преобразования ряда систем координат, например системы O3X3I/3Z3 в систему О х у г , а затем системы в систему OiX yiZi. Для перехода к однородным координатам в соответствии с (3.13) и рис. 3.1 составим [c.42]

Совокупность четырех чисел t, х, у, z представляет собой однородные координаты точки. Нетрудно видеть, что однородные координаты определяют положение точки относительно некоторой четырехмерной системы координат. Для дальнейших приложений однородных координат (см. гл. 19 и 21) необходимо установить уравнения их преобразования, которые могут быть получены на основе преобразования систем декартовых координат в трехмерном пространстве. При условии, что положение начала первой системы определяется во второй системе координатами а, Ь, с и относительное положение осей — направляющими косинусами т 1 (k, I = 1у 2, 3), преобразование координат какой-либо точки из первой системы XiViZ во вторую систему XVZ определяется уравнениями вида [c.46]

ВОД, что введение однородных координат упрощает взаимные преобразования произвольно ориентированных относительно друг друга систем координат, сводя эти преобразования лишь к операции умножения матриц одной структуры (квадратных) и устраняя необходимость умножения матриц различной структуры — столбцовых и квадратных. При этом вычислительные операции становятся более однотипными. [c.47]

Ретение матричного уравнения (1) производится аналогично решению аффинерных уравнений (см., например, гл. 16), причем при использовании матриц 4-го порядка и однородных координат решение в точности совпадает с решением тензорных уравнений Д. Манжерона и К. Дрэгана (см. гл. 19). Метод этих авторов основывается на идее, заложенной в рассматриваемом методе Д. Денавита [c.145]

Затем осуществляется переход к однородным координатам Ху 1, j, Xv, / i = 1, 2, 3, 4) при помощи равенств [c.152]

Преимущество применения матриц 4-го порядка путем введения однородных координат состоит в возможности совмещения операций сдвига и вращения систем координат при их взаимных преобразованиях. Это преимущество было впервые использовано в теории стержневых механизмов Д. Денавитом и Р. Хартенбер-гом 127], а в теории зубчатых механизмов — Ф. Л. Литвиным при исследовании пространственных зубчатых зацеплений [73]. [c.153]

Изложенный метод является эффективным алгебраическим методом исследования и синтеза пространственных механизмов, основанным на использовании однородных координат, которые дают возможность объединить сложное преобразование поступательного и вращательного относительных движений в одной матрице 4-го порядка, представляющей соответствующий тензор второго ранга. Применением однородных координат, а также введением фиктивных звеньев можно уменьшить количество вводимых координатных систем по сравнению с методами, в которых используются неоднородные координаты (С. Г. Кислицына, Г. С. Калицына и др.), и тем самым уменьшить количество вычислительных операций при составлении расчетных уравнений для определения искомых параметров. В этом методе преобразование координат и геометрические связи между звеньями полностью отображаются тензорным или эквивалентным ему матричным уравнением замкнутости механизма, которое распадается на двенадцать уравнений относительно искомых и известных параметров. Из этого числа могут быть отобраны в общем случае шесть наиболее простых уравнений, а остальные уравнения использованы для контроля правильрюстн определения параметров. [c.167]

Чжан Цы-сянь провел исследования разнообразных пространственных механизмов, в которых широко использован аналитический метод, базирующийся на матрицы 4-го порядка преобразования однородных координат. В этих исследованиях, проведенных под руководством проф. Ф. Л. Литвина, демонстрируется приложение к теории пространственных стержневых механизмов матриц 4-го порядка, впервые успешно использованных последним (и по-видимому независимо от Д. Денавита и Р. Хартенберга [127 ]) в теории пространственных зацеплений [73]. [c.182]

Используя однородные координаты и матрицы 4-го порядка с учетом отмеченных выше особенностей, Чжан Цы-сянь провел анализ следующих пространственных механизмов четырехзвенного с одной вращательной и тремя цилиндрическими парами, механизма Беннета—Верховского, четырехзвенного сферического, а также плоского четырехшарнирного [108], четырехзвенного с двумя вращательными, сферической и цилиндрической парами, кривошипно-коромыслового, кривошипно-шатунного, четырехзвенного с двумя смежными шаровыми парами [109], пятизвенных кривошипно-коромысловых, пятизвенных кривошипно-шатунных [110], различных сложных пространственных механиз- [c.183]

Введем идентификаторы (L1, L2, L3) FLOAT (16), соответствующие однородным координатам Lx, L), Lg по формулам (4.31). 166 [c.166]

В результате выполнения процедуры MTRB3 ее выходные параметры принимают следующие значения D (3,3) —массив чисел, содержащий элементы матрицы упругости [D] В (3,9) — массив чисел, содержащий элементы матрицы деформаций [В ] для заданных значений однородных координат Lj, L , L , Q1 (9) — [c.168]

Приведём теперь нек-рые явные ф-лы. Пусть Г=С/ — грёхмерное комплексное проективное пространство. Введём в нём однородные координаты 2 = (zo, 2,, Zj, з), т. е, j (0. О, О, 0) координаты z = (zo, z,, Zj, Zj) и Xz = (Xso, >.Z , az2 отвечают одной и юй же точке С/ =7. Прямые / в Т"можно задавать парой их точек (г, и ), их множество СМ зависит от 4 комплексных параметров. На W возникает комплексная конформная структура из условия, что прямые, пересекающие прямую /, находятся от неё на нулевом рассгоянии [образуют комплексный световой конус с вершиной в /]. [c.53]

Остальные подматрицы [Pial и [P22K l isl и [Pga] можно получить из (4.81) циклической перестановкой строк и индексов. Таким образом, [В] линейно зависит от однородных координат. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...