Квадратичная матрица

V / (X ) — матрица Гесса / (Х ), представляющая собой квадратичную матрицу вторых частных производных / (X), взятых в точке Х [c.133]

Обычно в квантовой электродинамике используется описание поля с помощью операторов рождения и уничтожения фотонов а , 0]с, независящих от времени (шредингеровское представление). При этом конечным результатом квантовой теории рассеяния, который сравнивается с экспериментом, является вероятность перехода в единицу времени или сечение рассеяния. В 6.1 будет использован этот традиционный для квантовой механики путь, на основании которого в 6.2 и 6.3 будут рассчитаны основные энергетические характеристики ПР. Рассмотрение общих статистических свойств рассеянного поля будет проведено в 6.4 с помощью уравнений Гейзенберга для (t) и эффективно трехфотонного гамильтониана. В результате моменты поля рассеяния будут определены через квадратичную матрицу рассеяния (МР) в духе обобщенного закона Кирхгофа (ОЗК). [c.175]

Решения (4) позволяют выразить выходные моменты через входные и квадратичную матрицу рассеяния (МР). Так, если на входе моды сигнала, накачки и холостого поля взаимно независимы, то с помош ью (4) находим [c.197]

Здесь Ах,А2 — квадратичные матрицы (в общем случае несимметричные), 1, 2 — постоянные векторы. Если Ьх = Ь2 = О, то краевые [c.91]

При решении задач минимизации выпуклых функций метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости последовательных приближений к решению по сравнению с градиентными методами, однако количество вычислений на итерации метода Ньютона высоко за счет необходимости вычисления и обращения матрицы вторых производных. Минимизация квадратичных функций происходит за один шаг. [c.288]

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

А и В будут матрицами положительно определенных квадратичных форм. [c.216]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

Здесь через 6 обозначена вещественная симметричная матрица порядка 2п, которая соответствует квадратичной форме // переменных [c.84]

Запишем матрицу С квадратичной формы [c.108]

Здесь N размерность матрицы С квадратичной формы. [c.111]

Матрица коэффициентов С квадратичной формы функции Гамильтона Hi может быть вычислена по формуле [c.111]

Квадратичная форма Пз задается следующей матрицей С [c.115]

Так как в данном случае детерминант матрицы С квадратичной формы П2 не равен нулю, то П2 является знакопеременной [11]. Поэтому по теореме 2.8 положение равновесия неустойчиво. [c.116]

Положительная определенность квадратичных форм (12.32), (12.47) и соответствующих матриц означает, в частности, что все их элементы, расположенные на главной диагонали, должны быть положительными. Действительно, при i=/ частные производные в суммах (12.32), (12.47) умножаются на неотрицательные числа — квадраты вариаций переменных. Благодаря произвольности вариаций эти числа всегда можно считать положительными, а вариации других переменных с i j — равными нулю, так что знак неравенства должен выполняться для каждого из слагаемых суммы в отдельности. Поэтому из [c.125]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (2.6) [c.32]

В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра [9, 141 для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Д , Да,. . ., / матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е. [c.32]

Если матрица А симметричная, то = йд- и мы получаем обычную квадратичную форму [c.133]

Сила К. = — q с симметричной матрицей С = j j называется потенциальной или консервативной, а квадратичная форма [c.152]

Составим с помощью симметричной матрицы В II II квадратичную форму [c.152]

Простейшими условиями положительности этой квадратичной формы являются 1) положительный знак всех диагональных элементов матрицы, составленной из коэффициентов квадратичной формы 2) положительный знак любого из определителей минора второго порядка. [c.117]

Из соотношения (7.86) следует, что флуктуации температуры и давления системы взаимосвязаны, (АТАР) 0. Определитель матрицы квадратичной формы, стоящей под знаком экспоненты в [c.166]

Здесь первый интеграл — квадратичная форма относительно составляющих деформаций е, так как согласно закону Гука (3.30) гл. 110 = Се, где матрица С равна [c.631]

Матрица этой системы является матрицей ленточного типа, содержащей достаточно много нулевых элементов. Эта матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые элементы располагаются вблизи главной диагонали, а коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линией, которая параллельна главной диагонали, равны нулю. Матрица системы трехдиагональная, если используются двумерные симплекс-элементы. В случае квадратичных элементов и элементов более высокого порядка матрица системы содержит большее число ненулевых элементов. Матрица системы является хорошо обусловленной. [c.203]

Подробное решение задачи синтеза пространственной системы виброзащиты твердого тела дано в работе [198] на основе методов теории оптимальной фильтрации для многомерных систем. Процедура решения включает составление функционала в форме следа квадратичной матрицы, операции над следом для получения матричного уравнения Винера—Хопфа и решение матричного уравнения Винера— Хопфа [ 120]. П )и решении особое место занимает задача факторизации спектральных матриц. Разработаны алгоритмы факторизации и программы на ЦВМ для определенно положительных дробнорациональных функций и методы факторизации спектральных матриц, содержащих члены с чистым запаздыванием и опережением [248]. [c.306]

Если матрица А симметрична, а ее собственные векторы ортонор-мированы, то 8 = 8 . Это дает возможность привести квадратичную форму (х, Ах) к каноническому виду [c.117]

Последнее особенно характерно для учебной л 1тературы, предназначенной для химиков. Ее авторы стремятся не пользоваться матрицами, определителями, квадратичными формами и многими другими обычными понятиями и методами высшей математики, не доверяя, очевидно, математическому образованию читателей. Такой подход нельзя признать перспективным не только из-за сомнительности тезиса о большей наглядности или убедительности выводов и доказательств, выполненных более простыми средствами, но и ввиду существенной роли математических методов в современной химической термодинамике. Это относится также к численным методам, которые позволяют отказаться от излишней аналитической детализации задачи и получать ее решение непосредственно на основе исходных принципов. С этим -связана происходящая в настоящее время переоценка самих термодинамических методов многие типично термодинамические проблемы переносятся в область прикладной математики и формулируются на языке математического программирования. [c.5]

Составим матрицу коэффициеп гов квадратично части функции [c.33]

Эта квадратичная форма имеет следующую матрицу кшффициентов [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...