Матричной прогонки метод

Экономичные методы решения уравнений на верхнем слое типа прогонки разработаны не только для скалярных уравнений, но и для систем (так называемые матричные прогонки). Они будут рассмотрены в 3.4. [c.94]

Изложим кратко идею метода матричной прогонки для решения систем вида (3.70). Для упрощения изложения не будем связывать (3.70) с какой-либо конкретной краевой задачей для квазилинейной системы (3.66), а рассмотрим систему уравнений специального вида [c.101]

Методы матричной прогонки и начальных параметров [c.89]

Положим теперь, что у матрицы коэффициентов исходной системы уравнений равны нулю все коэффициенты, стоящие вне двух, симметрично относительно диагонали расположенных, жирных ломаных линий на рис. 11,18 разбивая эту матрицу на клетки, как это показано на рис. I. 18, штриховыми линиями и вводя для каждой из клеток (не состоящих из сплошных нулей) соответствующие матричные обозначения, можно и эту систему переписать в форме (11,87), где только все буквы являются уже обозначениями не чисел, а матриц. Это либо отдельные клетки матрицы (таковы а,, и С ), либо столбцы неизвестных или правых частей Нетрудно убедиться в том, что все матрицы обязательно окажутся квадратными (хотя, возможно, и разных порядков) матрицы же а,-и с,- будут, вообще говоря, прямоугольными. При этом все выкладки, проделанные выше с числами а.Ь ,. . при выводе формул (11.90), (11.93) и (11.94), окажутся выполнимыми и с матрицами a bi,. . ., R , а формулы (11.90), (11.91), (11.93) и (11.94) дают в матричной форме решение исходной системы уравнений. Это замечание и обосновывает метод матричной прогонки в самом его общем виде, если только не останавливаться на несущественных для дальнейшего тонкостях, связанных с тем, что на каком-то этапе вычислений одна из матриц Ь ц может оказаться случайно 90 [c.90]

При решении уравнений (5) — (12) использовали метод расщепления и разностные схемы, описанные в [8—10, 15]. Для компонентов скорости ветра уравнения динамики решали методом матричной прогонки, а для турбулентной энергии с применением итерационной процедуры — методом простой прогонки. Уравнения, описывающие процессы туманообразования (6) — (8), решали комбинацией методов покомпонентного расщепления и [c.243]

Методы решения разностных уравнений. При вычислении собственных частот разностными методами используют стандартные процедуры отыскания собственных значений матриц. Для построения форм собственных колебаний системы разностных уравнений наиболее часто решают методом прогонки в различных модификациях, в частности, методом матричной прогонки [30, 95]. В случае периодических решений (полярные координаты) применяют метод циклической прогонки [30, 95]. [c.187]

Таким образом, получили систему w + 3 алгебраических уравнений (2.8), (2.10) с m-f-3 неизвестными. Система имеет рекуррентный характер, ее решение легко получить методом матричной прогонки. Положим [c.210]

Описанный метод решения системы (1.147) называется методом матричной прогонки. Процесс определения искомых векторов Xj сводится к вычислению коэффициентов vi и цо по рекуррентным формулам (1.150), (1.151) и вычислению Xj по рекуррентным формулам (1.147). В том и другом случае вычисление сводится к перемножению матриц, что осуществляется на машине по стандартным программам. [c.61]

Метод продолжения решения в форме Давиденко и явная схема Рунге — Кутта для интегрирования задачи Коши по параметру применялись в задаче нелинейного деформирования тонкостенного упругого стержня [185]. Линеаризованные пошаговые краевые задачи решались методом конечных разностей с использованием матричной прогонки. [c.189]

Решение системы (5.30) может быть найдено методом матричной прогонки [c.198]

Переход от / к (/ 4- 1)-й итерации достигается последовательным применением метода матричной прогонки вдоль строк и вдоль [c.105]

Далее будем предполагать, что задача на собственное значение должна решаться, например, с целью определить эффективный коэффициент размножения или условия критичности в данной системе. После того как групповые константы определены, так же как геометрия, состав системы и тип решаемой задачи, выбирается источник деления. Пространственное распределение полного потока нейтронов в первой группе (я = 1) можно затем вычислить либо непосредственно для одномерной системы, либо с помощью внутренних итераций. Если рассматриваются приближения более высокого порядка, чем Рх-приближение, то помимо полного потока и тока нейтронов требуются дополнительные компоненты разложения угловой зависимости потока нейтронов. Когда поток нейтронов для первой группы известен, то расчет можно продолжить для следующей (я = 2) группы с выбранным источником деления и т. д. для всех О групп. Если в некоторых группах присутствует рассеяние, приводящее к возрастанию энергии нейтронов, то потребуются отдельные итерации, если только не используются специальные методы, такие, как метод матричной прогонки. [c.161]

Выписанная система является блок-трехдиагональной с размерностью блоков рХр. Для ее решения можно использовать метод матричной прогонки (см., например, [45]), формулы которого имеют вид [c.43]

Решение уравнений получено методом матричной прогонки. [c.204]

Значения неизвестных во внутренних точках находятся методом матричной прогонки. Для [c.283]

Система разностных уравнений (8.19) решается методом последовательных приближений совместно с методом матричной факторизации (прогонки) для каждого приближения [2, 3, 8]. [c.159]

Решение задачи получено методом последовательных упругих решений, который обсуждался для задачи кручения и подробно описан в работах [5] и [15]. Вычисления выполнялись на цифровой вычислительной машине, при помощи программы на языке ФОРТРАН-IV, использующей операции с одинарной точностью. Матричная система (35) решалась при помощи модифицированного метода исключения Гаусса с выделением главного элемента и прямой и обратной прогонки. [c.90]

Другим приёмом, позволяющим свести реальную систему к системе с конечным числом степеней свободы, является метод прямой дискредитации. Чем больше число элементов, на которые разбита система при использовании этого метода, тем ближе расчётная схема к исходной системе. Вместе с тем, если элементы выбраны однотипными, то даже при большом их числе оказывается возможным реализовать расчёт колебаний, используя матричные методы с применением ЭВМ. Примерами таких методов являются метод начальных параметров в форме матриц перехода и метод прогонки. [c.220]

Порядок системы линейных алгебраических уравнений (7.251), (7.253), которую надо решить, сравним с N", где N h. Для достижения хорошей точ-иости решения нужно брать h достаточно мальш. Если h 1/100, то порядок системы 10 . При решении системы столь высокого порядка общими методами, например методом исключения Гаусса, нужно выполнить около = арифметических операций. На машине, делающей 0 onepatviH а секунду для этого потребуется несколько месяцев машинного времени. Это время можно сократить да 20—30 мин, если воспользоваться методом матричной прогонки (см. [24], с. 100—102), учитывающим специфику матрицы разностной задачи (ее триди-атональность) этот метод требует операций [c.186]

Структура этой системы уравнений аналогична квазитрехдиа-гональной, и к ней поэтому может быть применен как метод матричной прогонки, так и метод начальных параметров (первый из них в литературе по теории колебаний называется обычно методом динамических жесткостей). [c.102]

Таким образом, для нахождения границ области устойчивости необходимо, положив все столбцы внешних сил = О (/fe = 1, 2, п), решать методом матричной прогонки полученную систему однородных уравнений и приравнять нулю определитель последней прогоночной матрицы, аналогичной матрице b n + i в (II.93), который зависит от Я, со и других параметров системы и является некоторой комплексной функцией этих параметров [c.105]

Для конструкции в виде последовательно сопряженных разнотипных элементов применяют различные методы строительной механики. При расчете по методу сил (перемещений) порядок системы алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений (усилий) в сопряжениях элементов пропорционален числу таких сопряжений. При относительно большой длине меридиана конструкции, когда влияние краевых условий не сказьтается на противоположном краю, в решении системы уравнений накапливается погрешность, вызванная появлением малых разностей больших чисел и ограниченной разрядностью машинного числа. Для сохранения требуемой точности вычислений могут бьггь применены варианты матричной прогонки. [c.46]

О точности матричного метода расчета. Предлагаемая вычислительная процедура метода начальных параметров реализует вариант метода матричной прогонки, в котором как первая прогонка (вычисление коэффициентов Л , В ), так и вторая (вычисление неизвестных векторов Хо XJ) выполняются по рекуррентным формулам. Особенность данного варианта состоит в том, что независимо от числа элементов конструкции ре шается единственная система алгебраических уравнений четвертого порядка (4), а следующая за этим вторая прогонка выполняется не обратным ходом, а как и первая — прямым. Отсюда следует, что точность вычислений по формулам метода начальных параметров (1) — (3) с помощью разрешающего уравнения (4), сводя1цего краевую задачу для составной конструкции с заданными краевыми данными Z к задаче с начальными данными Xi, в значительной мере определяется точностью решения уравнения (4), дающего неизвестные краевые данные Z. Как будет показано ниже, выбор прямого хода для второй прогонки вызван тем, что при большой длине конструкции точность определения неизвестных краевых начальных данных (первые два элемента вектора Z) значительно выше точности определения неизвестных краевых данных на отдаленном краю (остальные два элемента вектора Z). [c.78]

Это уравнение вместе с рекуррентными формулами для матриц Mi составляет вычислительный алгоритм метода матричной прогонки. К задачам прочности оболочек метод матричной прогонки применялся во многих работах (см., например, [6.30]). К задачам устойчивости оболочек, вероятно, впервые он был применен в работе [6.29] Хуаном, где была рассмотрена сферическая оболочка при внешнем давлении. В дальнейшем этим методом Л. И. Шкутин решил задачу устойчивости цилиндрической оболочки при сжатии [6.23]. Реализация метода на ЭВМ выполнена Ю. В. Липовцевым и В. В. Кабановым, которые этим методом решили большое число задач [6.16, 6.12 и др.]. Обычно в методе прогонки уравнение (4.31) получают иначе, сразу разыскивая решение уравнения (4.9) в виде (4.26). Подставив [c.95]

Основной недостаток метода матричной прогонки связан с необходимостью на каждом шаге расчета прогоночных матриц (6.8) обращать матрицу [ —ЛгС ], что в общем случае приводит к очень большому объему вычислений. В данной задаче, учитывая специфику матрицы [Сг—Л С ] —матрицы третьего порядка (из девяти коэ ициентов четыре равны нулю), удается преодолеть этот недостаток, записывая коэ( х )ициенты обратных матриц в явном виде. Для начала расчета по формулам (6.8) необходимо знать коэффициенты матриц Ох и С 1, которые определяются из граничных условий при Я = Яв- Начиная вычисления по формуле (6.9), необходимо знать WfJ. Коэффициенты определяются из граничных условий при Я = Яе, которые в общем случае могут быть записаны как [c.209]

Далее приводятся результаты численного решения для ряда начально-краевых задач для уравнений (8.4), для которых упомянутые выше автомодельные решения могут представлять асимптотики при I оо. Уравнения (8.4) были переписаны в виде неявных нелинейных разностных уравнений, к которым сначала применен метод Ньютона, а затем метод матричной прогонки. Расчет проводился в области на плоскости х, Ь, ограниченной некоторым отрезком оси х, который двигался с подходящим образом подобранной скоростью. Шаг вычислений по оси х выбран таким образом, чтобы вязкость расчетной схемы и другие погрешности счета оставались пренебрежимо малыми по сравнению с вязкими членами уравнений. [c.337]

Когда тепловые нейтроны подразделяются на несколько энергетических групп, то нейтроны могут в результате рассеяния переходить из группы с мень шей энергией в группу с большей энергией это явление известно как рассея ние, приводящее к возрастанию энергии нейтронов. В этом случае последователь ное решение групповых уравнений невозможно. Однако если число тепловых групп невелико, то удобно решать большую часть групповых уравнений после довательно. Для обеспечения сходимости иногда необходимо использовать до полнительные итерации тепловых групп. Рассеяние, приводящее к возрастанию энергии нейтронов, может очень существенно замедлить сходимость, и чтобы преодолеть эту трудность, были предложены специальные методы. Для одномерных задач все групповые уравнения могут решаться одновременно методом матричной прогонки [17]. Этот прямой метод несколько напоминает метод прогонок, описанный в разд. 3.2.3. Для решения такой задачи применялисьн другие методы [18]. [c.150]

Для численного решения системы (5.4) может быть применен метод матричной прогонки [11], являюш,ийся обобш,еннем обычной прогонки на случай системы векторных уравнений. Действительно, введем для j = 1,2,..., Мх — . . [c.35]

При численном решении производные по меридиональной координате аппроксимировались центральными разностями второго порядка точности система линейных алгебраических уравнений решалась методом матричной прогонки. Соответствующая задача Коши по параметру нагружения решалась методом предиктор — корректор. Предельная на-, грузка определялась как максимум на кривой внешняя сила — осзвое смещение Ыо). [c.218]

При численном решении данной задачи, записанной для переменных со и (где ю = = Эи /ЭК = Э Ч /ЭУ ), использовалась независимая переменная 5 = (2/я)агс1 2. Полученная в результате система уравнений аппроксимировалась конечно-разностными схемами второго порядка точности, а система нелинейных конечно-разностных уравнений решалась методом Ньютона - Канторовича с использованием метода матричной прогонки для обращения матрицы Якоби на итерации. Более подробно об используемых конечно-разностных схемах и методах решения получаемых систем нелинейных конечно-разностных уравнений см. [17, гл. 7]. [c.131]

Применение в расчетах метода матричной прогонки, разработанного в Институте гидродинамики СО АН СССР, с использованием явнонеявной разностной схемы, позволяет получать решения системы (17.36) отдельно во внутренних точках областей, на границах участков и в точках водоотбора. [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...