Теория возмущений основные положения

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [c.39]

Теория возмущений основные положения 41 [c.41]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Таким образом, одночастичный энергетический спектр отделен от энергии основного состояния интервалом величиной А. Эта энергетическая щель, однако, получается только при вычислениях в первом приближении. Вычисляя уровни энергии в более высоких приближениях теории возмущений ), мы обнаруживаем, что энергетическая щель исчезает. Вместо нее происходит только уменьшение плотности уровней сразу над основным состоянием, которое приводит к тому, что одночастичный спектр р 12т заменяется фононным спектром ср, где с — постоянная. Энергетическая щель , при наличии которой плотность уровней сразу над основным состоянием равна нулю, является только грубым приближением к истинному положению. [c.318]

Изучение колебаний системы в окрестности положения равновесия или периодического движения обычно начинается с ее линеаризации. Линеаризованная система интегрируется. Основные свойства колебаний в исходной системе после этого часто могут быть выяснены с помощью теории нормальных форм Пуанкаре—Биркгофа. Эта теория — аналог теории возмущений (гл. 5 2). Линеаризованная система играет роль невозмущенной по отношению к исходной. В настоящей главе описаны основные элементы этого подхода. [c.267]

Исходные положения полуфеноменологической теории явлений переноса были изложены в 1 (квазистатическая теория) и в 3 (квазистационарная реакция системы на возмущение, спектральные представления и т. д.), в этих же параграфах содержалось и основное обсуждение основных моментов теории. Мы не раз отмечали, что теория имеет откровенно полуфеноменологический характер, при этом приставка полу- отмечает то обстоятельство, что в нашем рассмотрении мы используем не только основные положения макроскопической термодинамики, но и самые обшие представления о характере реакции системы, в частности принцип причинности, запрещающий системе в своей реакции предвосхищать изменение действующего на нее возмущения. [c.234]

Основы теории устойчивости ламинарного течения тонкого слоя вязкой жидкости, имеющей свободную поверхность, были разработаны П. Л. Капицей [56], который показал, что при числах Рейнольдса, больших некоторого критического значения, энергетически более выгодным является ламинарно-волновое течение. Поставленное П. Л. Капицей и С. П. Капицей экспериментальное исследование [57] подтвердило это положение, показав, что существует некоторый минимальный расход, при котором на поверхности жидкости возникают волны. При расходах, меньших минимального, волновой режим течения не развивается, причем в этих условиях искусственно созданные волны затухают. В последующие годы вопросы устойчивости ламинарного движения по отношению к малым внешним возмущениям, которые,, наложившись на основное течение, могут либо усиливаться, либо затухать, аналитически изучались рядом авторов [3, 10, 11, 45, 46, 49, 86, 91, 96, 126, 147, 149, 156, 180, 214-217]. Появилось также большое число работ, в которых развитие волнообразования на поверхности жидких пленок изучалось экспериментально [4, 15, 16, 22, 25, 28, 29, 31, 32, 40, 51, 53-55, 57, 62, 63, 66,. 67, 75, 79, 84, 85, 92-94, 97, 106, 108, ИЗ, 116, 117, 120, 133, 137,, 139, 145, 151-154, 158, 167, 169, 172, 179, 187, 188, 190, 192, 200, 206, 208, 209]. [c.190]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Много сил было затрачено (см., например, [2]) на развитие теорий гравитационных волн в приближениях более высоких порядков, основанных на исходном уравнении (1) и граничных условиях (2). Простые линейные теории являются общепринятыми главную задачу представляет, по-видимому, учет нелинейных членов, хотя важны также эффекты переменной глубины и др. Заметим, однако, что основное уравнение линейно, и можно по-прежнему применять вторую формулу Грина, но с нелинейными граничными условиями на поверхности, положение которой неизвестно. Тем не менее при этом возникает некоторая определенная и однозначная задача. В отличие от обычных случаев электростатики, стационарной теплопроводности и др., которые описываются уравнением Лапласа и где предполагается, что все возмущения исчезают [c.25]

Основные теоремы. Задача об устойчивости имеет значение ие только при исследовании положений равновесия, но и при исследовании движения механических систем. Она возникает в связи с необходимостью знать, как изменится движение нри отклонении начальных условий от заданных. Исследованием вопросов устойчивости равновесия занимался еще Аристотель. Лагранж сформулировал известную теорему об устойчивости равновесия и рассмотрел малые возмущенные движения в окрестности положения равновесия системы. Развитием учения об устойчивости равновесия и движения занимались такие крупнейшие ученые, как П. Тэт (1831— 1901), Томсон (лорд Кельвин) (1824—1907), Э. Раус, А. Пуанкаре, [c.571]

Поскольку твердые тела состоят из громадного числа частиц (электронов и ядер атомов), то возможно только приближенное квантовомеханическое описание таких систем. Основным приближением, используемым в теории твердого тела, является адиабатическое. Оно базируется на малости массы электрона т по сравнению с массами М ядер атомов. Отношение т/М 10 , поэтому в операторе энергии кристалла оператор кинетической энергии ядер является малым возмущением. В нулевом приближении можно считать, что электроны движутся в поле неподвиж- ных ядер, занимающих определенные положения в пространстве. [c.9]

Возникают серьезные теоретические трудности к тому, чтобы предположить наличие взаимодействия па расстояние. Обрисуем это в общих чертах, не входя в подробности. Основная трудность состоит в противоречии с теорией относительности. Если две частицы А и В взаимодействуют на расстояние и частица А в какой-то момент движется, то возмущение, вызываемое этим движением, должно было бы в тот же момент достичь точки, занимаемой частицей В, находящейся па конечном расстоянии, вместо того чтобы распространяться со скоростью, которая, согласно теории относительности, во всех случаях меньше скорости света. Чтобы обойти эту трудность, нужно особым образом выразить функцию, входящую в выражение матричного элемента. Мы принимаем, что она отлична от пуля (па самом деле она бесконечна) только в том случае, когда четыре частицы находятся в соприкосновении, т. е. учитывая, что частицы мы считаем точечными, когда четыре точки А, В, С и В совпадают. Это, разумеется, позволяет значительно упростить интеграл формулы (6) четыре функции фл, фв, фс, фо берутся в одной и той же точке Р и четверной интеграл сводится к однократному интегралу по объему, распространяемому па все положения точки Р. Таким образом, получаем [c.30]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Изложенный подход имеет по отношению к микроскопической статистической теории как бы предварительный характер, причем в гораздо большей степени, чем квазистатическая термодинамика по отношению к статистическому методу Гиббса. Действительно, основной момент любого рассмотрения проблемы система и возмущающее ее воздействие — это соответствующая данному возмущению конкретная реакция самой системы. В рассмотренной выше теории, однако, эта реакция в виде соответствующей восприимчивости х < ) должна быть просто введена в теорию в качестве отправного положения. Тогда только можно определить потоки J t) и соответствующие им коэффициенты переноса Ь Ь), характерные соотношения между ними и т д. (возможен, конечно, и обратный вариант постановки общей задачи). [c.234]

Инерциальное управление (навигация) основывается на измерении ускорения снаряда посредством приборов, установленных на снаряде. Достоинством этого метода управления является его автономность. Инерциальное управление не привязано к определенной линии прицеливания, не создает возмущений, обнаруживаемых при радиолокационном наведении, не зависит от состояния погоды, как при звездном визировании. Система не имеет необходимости в излучении к снаряду или от него. Недостатком способа инерциальной навигации является накопление при продолжительном полете ошибок в скорости и положении снаряда до довольно значительных величин. Идея метода основана на простых применениях законов Ньютона, однако только в последние 10 лет основные чувствительные приборы стали достаточно точными, и метод стал конкурентноспособным с другими методами управления. Много усовершенствований было сделано для систем военного вооружения, и ряд данных о конкретных системах, их характеристиках и элементах продолжает оставаться неопубликованным. Однако основные принципы инерциального управления не более секретны, чем принципы радиолокационной техники, теории систем автоматического управления и классической механики. [c.647]

Однако уже результаты первых экспериментов показали, что если и справедливо предположение о каскадном механизме образования многозарядных ионов, то реакции (8.2) носят сложный характер и, во всяком случае, не могут быть прямыми пороговыми процессами многофотониой ионизации атома и атомарного иона. Это хорошо видно из экспериментальных данных об образовании двухзарядных ионов стронция на рис. 8.1. Действительно, в условиях проведения эксперимента [8.2] пороговый процесс ионизации атома стронция является пятифотонным К1 = 5), а процесс отрыва второго электрона от иона стронция — десятифотонным (К2 = = 10). В соответствии с основными положениями теории возмущений (см. разд. 2.2) ясно, что при напряженно сти поля излучения Р< Ра, при которой [c.200]

Формальный перенос теории межмолекулярных взаимодействий в газах на конденсированные системы приводит к ряду неопределенностей. В случае малых межчастичных расстояний Гу, с которым мы имеем дело в адсорбции, все указанные выше расчеты энергии электростатических и дисперсионных взаимодействий некорректны. Основная неопределенность связана с положением минимума А потенциальной кривой на рис.7.1. Правая ветвь этой кривой, соответствующая притяжению частиц, вычисляется в предположении отсутствия перекрывания волновых функций (второе приближение теории возмущений), левая же ветвь как раз связана с их перекрыванием. Таким образом, определение положения равновесного минимума кривой, построенной на взаимно исключающих друг друга допущениях, некорректно. Область минимума при Г] о - это terra in ognito, в которой невозможен строгий расчет w/j. [c.213]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

В дальнейшем мы увидим, что для автомодельности коротковолновых возмущений, вообще говоря, не требуется, чтобы турбулентность была изотропной. Согласно общей теории Колмогорова, в любом турбулентном потоке с достаточно большим числом Рейнольдса статистический режим совокупности мелкомасштабных возмущений является универсальным, откуда уже сдедует, что все статистические характеристики таких возмущений изменяются автомодельно. Поскольку изотропность турбулентности не играет здесь существенной роли, подробно теория Колмогорова будет рассмотрена в следующей главе здесь же мы лишь кратко сформулируем некоторые основные положения этой теории, имеющие непосредственное отношение к изучению изотропной турбулентности и важные для дальнейшего содержания настоящей главы. [c.181]

Эдвардс [2] (см. также работу Кьюзака [102]) основывает свои выводы, которые далеко не являются строгими, на частичном суммировании возмущенного ряда. Преимущество его теории в том, что при вычислении электронных энергетических состояний можно получить сведения о структурном факторе 5 (К) и потенциале рассеяния с единым центром для иона с электронной оболочкой. Таким образом, можно создать теорию электронных состояний с помощью тех же основных величин, которые были использованы в нашем расчете для жидких металлов (см. предыдущие главы). Попытаемся непосредственно изучить волновые функции отдельных электронов. Выведем уравнение Шредингера для электрона, движущегося в поле ионов, с координатами их положения Яг, причем ионы возбуждаются локализованными потенциалами 1 г( )- Запишем [c.96]

Часто выдвигается возражение, что методы возмущений на самом деле мало проясняют существо вопроса, ибо, поскольку они никогда не отходят далеко от того, что было известно ранее, они могут описывать лишь ситуации, в существенном совпадающие с классическими. Задача о вторичном течении в прямой трубе служит одним из немногих примеров, когда метод возмущений дал нечто действительно новое. Правда, при а- О результирующее поле скоростей стремится к классическому. Однако наличие стационарной компоненты скорости (сколь бы малой она ни была), нормальной к направлению основного потока, порождает винтовые линии тока. Поэтому нельзя сделать положения частиц жидкости сколь угодно близкими к классическим положениям, делая а произвольно малым. Правда, чем меньше а, тем на большей длине трубы нужно следить за частицей, чтобы усгановить отличие от результатов классической теории, но если мы будем смотреть в бесконечную трубу, то увидим проекции линий тока в виде замкнутых кривых, не зависящих от а. [c.254]

В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных притягивающих тел S ж J предполагается круговой, но на тело Р бесконечно малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел S и /. Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы следует положить только е = О, а координата и импульс Рз нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения равновесия = Рг = О в атономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5. [c.132]

В теории движения планет в качестве первого приближения, когда отбрасываются возмущающие силы, принимается эллиптическая орбита. В теории Луны Понтекулана первым приближением является модифицированная эллиптическая орбита , посредством которой учитывается равномерное движение узла и перигея. Основным приближением в теории Хилла является частное решение уравнений движения, получаемое в предположении, что эксцентриситетом Солнца, его параллаксом и координатой г можно пренебречь, т. е. что 2 = = г = 0. Кривая линия, соответствующая этому частному решению, называется промежуточной орбитой. Как мы увидим дальше, это частное решение содержит только две произвольные постоянные. Промежуточная орбита является, конечно, только приближением к орбите Луны. Важное преимущество этой орбиты вытекает из следующих двух положений 1) она с самого начала учитывает основную часть солнечных возмущений и 2) координаты Луны в промежуточном движении могут быть легко выражены сходящимися периодическими рядами, коэффициенты которых связаны сравнительно простыми рекуррентными соотношениями. Эти коэффициенты являются функциями т. численное значение которого известно с очень высокой степенью точности, и поэтому их можно вычислить со всей необходимой точностью. [c.384]

Второе интересное направление связано с проблемой устойчивости сообщества в случайной среде. Как уже указывалось, метод функций Ляпунова разработан в основном для тех моделей, где флуктуации обращаются в нуль в положении равновесия. Такая ситуация характерна лишь для узкого класса задач, связанных с параметрическим шумом. Ясно, однако, что в реальных условиях случайные возмущения не исчезают, а продолжают действовать, даже если сообщество находится в равновесии. По-видимому, здесь нет асимптотической устойчивости по вероятности, но интересно бьшо бы получить условия устойчивости в среднем и среднем квадратическом, а также условия слабой устойчивости по вероятности. В некоторых случаях здесь может помочь анализ соответствующих стационарных распределений, но общая теория здесь отсутствует. Исключение составляет устойчивость в среднем, одаако использование этой концепции в реальных задачах весьма проблематично, так как здесь возможен значительный рост дисперсии флуктуаций. [c.354]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...