Высшие приближения

Если /г является наибольшим или наименьшим из трех моментов инерции, характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а два—с нулевыми действительными частями. Вопрос об устойчивости движения в этом случае требует исследования высших приближений. Мы не будем исследовать этот вопрос, отсылая читателей к не раз упоминавшейся работе А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения ). Отметим, пока что без доказательства, что при выполнении условий [c.407]

Для разных типов нелинейных характеристик в опорах можно дать предпочтение тому или иному методу. При этом следует заметить, что методы Галеркина и Крылова — Боголюбова дают возможность находить в рассматриваемой задаче высшие приближения, а метод прямой линеаризации таких возможностей не открывает, однако практически реализовать отмеченные преимущества указанных методов в данной задаче трудно. [c.15]

В приведенных примерах использования метода Бубнова— Галеркина движение задается в виде выражения (11.115) при этом с самого начала исключаются высшие гармоники. Однако метод Бубнова—Галеркина позволяет строить и высшие приближения. Для этого нужно искать решение не в виде одной функции (11.115), а в виде функционального ряда [c.80]

Подводя ИТОГ сказанному, следует отметить, что задача устойчивости при внешнем или гидростатическом давлении в настоящее время разработана сравнительно меньше, чем задача осевого сжатия. В будущем, вероятно, следует получить более точные решения нелинейной задачи в высших приближениях и с более аккуратным учетом граничных условий и начальных несовершенств. Для этой задачи граничные условия играют более существенную роль, чем при сжатии. Следует также провести серию широких экспериментов на оболочках, изготовленных из упругих материалов, или же на аккуратно изготовленных электролитическим способом оболочках. Для практических же расчетов следует использовать верхнее критическое давление для свободно опертой оболочки, скорректированное данными экспериментов (рис. 8.13). [c.155]

Мы не будем останавливаться на нахождении высших приближений, которые легко находятся из несложных, но громоздких вычислений. [c.172]

В заключение отметим, что в исследовании [82] не строятся замены переменных вида (39) и усредненные уравнения высших приближений, как мы поступали в предыдущих параграфах, хотя в принципе описанные алгоритмы применимы и здесь. Однако в рамках теории первого приближения оба способа равносильны. Кроме того, отметим, что, хотя в начале мы говорили о двухчастотной резонансной задаче, па самом деле модельное уравнение (115) можно считать задачей с одной основной собственной частотой [c.90]

Третье и высшие приближения теории дисперсии. В тех случаях, когда дисперсионный параметр йг=0 или весьма мал, для учета дисперсионного расплывания необходимо исходить из более высокого приближения теории дисперсии, т. е. принимать во внимание уже параметр ks (1.1.13). В третьем приближении теории дисперсии распространение импульса в соответствии с (1.1.10) описывается уравнением i(b бегущей системе координат) [c.30]

Заметим, что в частном случае для линейного закона движения границы оно совпадает с известным (см. [5.5, 5.7], а также 5.5). При таком подходе легко строятся решения во втором и более высших приближениях (см., например, 3.8). [c.225]

Такого рода процессы относятся к эффектам второго приближения теории возмущений с учётом затухания Пренебрегая высшими приближениями, получим во втором приближении следующую формулу для эффективного сечения [c.220]

Последний результат хорошо известен объемная вязкость слабо неидеального газа равна нулю. Этот коэффициент переноса возникает только в высших приближениях. [c.104]

Высшие приближения. Будем основывать вычисления не на линейном уравнении (4.39), а на более общем уравнении (4.38) [c.126]

В то же время имеются примеры того, что уравнения высших приближений по методу Энскога — Чепмена не имеют решений, в то время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом приближении, [c.159]

Отсюда сразу следуют условия, накладываемые на решения уравнений высших приближений ( 0) таким приданием смысла параметрам функции (9.6) [c.53]

Мы уже указывали, что при помош и разложения Гильберта нельзя получить равномерно пригодные решения. Это следует нз того, что решения уравнений невязкого газа невозможно уточнить так, чтобы они описывали вязкие пограничные слои, даже путем учета поправок высших порядков, а также из того, что параметр г входит в уравнение Больцмана сингулярным образом, нз результатов исследования нестационарных проблем (где сингулярные члены вводятся высшими приближениями) и т. д. Все это, однако, не препятствует тому, чтобы оборванное разложение Гильберта с любой заданной точностью удовлетворяло уравнению Больцмана в подходяш им образом выбранных пространственно-временных областях (которые мы будем называть нормальными областями) при условии, что расстояния от известных сингулярных поверхностей конечны, а е достаточно мало. Рассмотрим кратко этот вопрос. [c.128]

Возможный способ избежать трудностей высших приближений, сохранив преимущества разложения Чепмена — Энскога, может базироваться на том, что режимы с д гТ) признаются важными, а режимы с г Т) i (п 2) рассматри- [c.131]

Подставив искомое решение в заданное уравнение с преобразованиями, несколько более сложными, но аналогичными тем, которые указаны в известной книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, придем к ряду уравнений первого, второго и высших приближений. Опуская все выкладки, приведем лишь результаты решения уравнения (31), соответствующие первому приближению. [c.80]

В общем виде решение последних уравнений сложно. Однако если в первом приближении возможно пренебречь величинами высших производных h (Л) и (Л) по Л, начиная с некоторой ii-й, то решение уравнения в первом приближении легко записывается в конечной форме. Учет высших производных можно отнести к последующему шагу — отысканию второго и высших приближений. Указанное выше допущение основано на том предположении, что п - 1)-я и более высокие производные имеют порядок е (или более высоких степеней е). Такое предположение оправдано, так как обычно h A) и (Л) изображаются в виде плавных кривых на рассматриваемых конечных участках изменения Л. [c.81]

Оценено, что при расчете высших приближений вязкости заряженных компонентов такое предположение не вносит существенной погрешности в результаты расчета. [c.355]

Здесь коэффициенты скд / о равны единице, так как уравнения нулевого приближения должны соответствовать предельным системам, получаемым из выражений (7), (8), при —0. Коэффициенты а , 3 (т= 1,2,...), вычисляемые в процессе решения, используются для упрощения уравнений высших приближений. [c.57]

А. М. Ляпунов доказал, что решить вопрос об устойчивости движения чаице всего можно на основании дифференциальных уравнений первого приближения. Но в некоторых особых случаях уравнения первого приближения не позволяют найти правильный ответ на вопрос об устойчивости движения, и приходится рассматривать высшие приближения. [c.331]

Для построения высших приближений можно исходить из уравнений, порождаемых гамильтонианом АЯ=— Д sin 2ф. Однако в гамильтоновском формализме существует уникальная возможность получить -е приближение, не используя предыдущие приближения. С этой целью произведем КП Xi, Рг, порождаемое ПФ типа (1) [c.256]

Трудности решения подобных систем явились причиной создания 1ескольких асимптотических методов [77, 78, 128—128]. Известные методы внешних и внутренних разложений, сращивания, многих масштабов и другие, представляют весьма громоздкую процедуру в ряде методов отыскивается лишь решение конкретной краевой задачи, отсутствует алгоритм построения высших приближений. [c.331]

В первом приближении различные тепловые возбуждения можно рассматривать независимо, однако следует помнить, что в высших приближениях уже приходится учитывать их взаимодействие. Среди всех возможных типов возбуждений следует особо выделить чрешеточныеч) возбуждения динамических степеней свободы, которые связаны с колебаниями частиц, образующих кристаллическую решетку (атомов, ионов или молекул) вблизи их положений равновесия. Если решетка состоит из молекул, то решеточные возбуждения связаны с колебаниямхг молекул как целого, однако наряду с ними возможны молекулярные возбуждения, связанные с колебаниями отдельных атомов или ионов внутри молекулы. Молекулярные возбуждения такого типа встречаются в кристаллах в тех случаях, когда межатомное взаимодействие в группе атомов превышает взаимодействие между атомами соседних групп. [c.316]

Пиппардовский вариант выражения (21.14) для чистого металла имеет множитель ехр( - R/ q) в подынтегральном выражении. Благодаря этому выражение для плотности тока переходит в обычное выражение Лондона, когда А меняется очень медленно. Медленность означает, что компоненты Фурье А имеют волновые векторы q, удовлетворяющие ус.повпю < 1. Это справедливо и в наших вариантах теории как в том, который выражается уравнением (20.20), так и r выраженном уравнением (21.14) в высшем приближении. Таким образом, подынтегральное выражение (21.14) требует поправок типа введенных Пиппардом, однако зависимость от R может отличаться от простой экспоненциальной. [c.716]

Отсюда следует, что для надежного определения напряжений в пластине на основе метода Ритца необходимы, как правило, высшие приближения. [c.100]

Выражение (6.7) определяет операцию выделения вибрацион-hjdIX функций из уравнений (6.4), (6.5) путем перехода от простого усреднения за период ко второму или высшим приближениям. При этом предполагаем, что время корреляции функции гр (/) значительно меньше периода собственных колебаний системы. Функции Сд и определяем усреднением функций G и Н по Ф функции Ga и Яз определяют невибрационные члены соответственно в выражениях [c.235]

Ещё одним важным аспектом В. т. в классич. механике являются возмущения траекторий, вызванные малым изменением нач. условий. Здесь следует отметить выяснение проблемы устойчивости движения по первому приближению В. т. При нек-рых, довольно слабых ограничениях имеются след, утверждения (А, А. Ляпунов, 1892). Пусть изменение нач. условий характеризуется малым параметром е. Если поправки к репюнию, иолученные в нервом приближении по s, не содержат экспоненциально нарастающих по времени членов, то движение в целом будет устойчивым. Если такие члены содержатся в первом приближении, то движение окажется неустойчивым. Т. о., отброшенные члены, соответствующие высшим приближениям по е, не влияют на устойчивость движения. [c.303]

Особенно простыв выражения получаются для матричных элементов любого процесса в низшем порядке теории возмущений, к-рьш соответствуют т. н. дренес-пые диаграммы, не имеющие замкнутых петель,— после перехода к импульсному представлению в них вовсе не остаётся интегрирований. Для осн. процессов КЭД такие выражения для матричных элементов были получены на заре возникновения КТП в кон. 2()-х гг. и оказались в разумном согласии с опытом (уровень соответствия 10 —Ю" , т. е. порядка постоянной тонкой структуры а). Однако попытки вычисления радиационных поправок (т. е. поправок, связанных с учётом высших приближений) к этим выражениям, напр, к Клейна — Нишины — Тамма ф-ле (см. Клейна — Ни-шины формула) для комптоновского рассеяния, наталкивались на спедифич. трудности. Таким поправкам отвечают диаграммы с замкнутыми петлями из линий виртуальная частиц, импульсы к-рых не фиксированы законами сохранения, и полная поправка равна сумме вкладов от всех возможных импульсов. Оказалось, что в большинстве случаев возникающие при суммировании этих вкладов интегралы по импульсам виртуальных частиц расходятся в УФ-области, т. о. сами поправки оказываются не только не малыми, но бесконечными. [c.303]

К. э. нельзя учесть в рамках обычной теории возмущений второе приближение для энергии электронного газа приводит к логарифмически расходящимся выра>кениям, т. к. влияние кулоновского взаимодействия вследствие его дальнодействия нельзя считать малым. Расходимость остаётся и в более высоких приближениях. Для вычисления второго и высших приближений для энергии электронного газа, т. е. для вычисления К. з., необходимо пользоваться усовершенствованной формо11 теории возмущений. [c.467]

Последоват. схема вычитания расходящихся подграфов в диаграммах Фейнмана при нулевых импульсах (к-рая отвечает итерациям контрчленов в высш. приближениях ВТ) даётся R-операцией. [c.563]

Метод обобщенных определителей Хнлла. Метод малого параметра приводит к простым формулам первого приближения типа (49)—(53) для границ главных областей неустойчивости. Уточнение этих формул, а также расчет побочных резонансов требует построения высших приближений. Эти приближения громоздки и плохо алгоритмизируются для численной реализации. К тому же метод становится ненадежным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации у/, не малы. Наконец, применение метода встречает затруднения при переходе к существенно неканоническим системам. [c.128]

Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что Этот метод органически связан с суш,ествованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений с произвольной степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя из физических соображений, указал, как строить не только систему первого приближения, но н усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью. [c.85]

Б предыдущих примерах удавалось проинтегрировать в классе периодических функций уравнение не только нервого, но и любого высшего приближения. К сожалению, в случае колебаний маятника уравнения нервого приближения (89) не удается проинтегрировать, если а 0 (т. е. если учитываются силы тро-иия), хотя при сс = О они интегрируются в эллиптических функциях. [c.79]

Интересное обсуждение высших приближений теории реакции см. в обзоре Бернарда и Каллена [Rev. Mod. Phys., 31, 1017 (1959)].— Прим. ред. [c.322]

Линейная теория обтекания тел сверхзвуковым потоком оказалась эффективным средством в решении ряда важных задач, выдвигавшихся практикой, хотя и могла быть использована лишь для анализа течений около тонких тел 330 и при малых углах атаки. Эта теория, основанная на предположении малости возмущений, не позволяла исследовать такие свойства действительного ното-ка, как образование ударных волн, непостоянство скорости звука в потоке, перенос возмущений с местной скоростью звука и т. д. Чтобы учесть влияние хотя бы одного из этих факторов, необходимо пользоваться точными нелинейными уравнениями газовой динамики, а при приближенном решении таких уравнений применять высшие приближения. Некоторые нелинейные задачи сверхзвуковой аэродинамики рассмотрены Ф. И. ФранклемиР. Н. Алексеевой (1934), А. Буземаном (1935), построившим приближение второго порядка для распределения давлений по поверхности тела, К. Фрид-рихсом (1948), распространившим метод Буземана на случай сверхзвукового обтекания профиля со скачками уплотнения. [c.330]

Первый пз добавочных членов дает просто смещение среднего положения, вблизи которого происходят колебания. Остальные члены дают октавы исходных тонов и разностный п суммовые тоны. При отысканин высших приближений мы бы пришли к комбинацпонным тонам высшего порядка. [c.367]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. Однако, если рассматривать высшие приближения метода Чепмена — Энскога, то будут получаться дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнетовские и супербарнетовские уравнения), относительно которых ничего не известно, нет даже надлежащих граничных условий. Эти уравнения никогда не приводили к сколько-нибудь заметным успехам при описании отклонений от модели Навье — Стокса. [c.275]

Уравнения с безвибрационными функциями при регулярных членах в высших приближениях могут быть получены асимптотическими методами. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...