Дополнение 3. О решении уравнения

Задачи, в которых число неизвестных превышает число независимых уравнений статики и поэтому определить неизвестные усилия только из уравнений статики не представляется возможным Дня решения этих задач необходимо в дополнение к уравнениям статики составить уравнения деформации [c.45]

Уравнение непрерывности установившегося потока-При решении задач установившегося потока часто необходимо использовать в дополнение к уравнению (4-4а) еще зависимость между скоростью, площадью сечения и удельным объемом в соответствии с принятым выше допущением г. Эта зависимость может быть выражена следующим образом [c.28]

Однако практика расчетов роторов с учетом и без учета хвостовиков показала, что их влияние на напряженное состояние деталей ротора обычно незначительно. В то же время трудности решения системы, дополненной четырьмя уравнениями, существенно возрастают. Для упрощения расчета хвостовиков можно рассматривать их отдельно, задаваясь, на их краях перемещениями, полученными в результате расчета дисков и перемычек. Решая два отдельных уравнения, получаем краевые силы и моменты и проверяем прочность хвостовиков. [c.241]

Обозначим через Ь матрицу алгебраических дополнений для матрицы L. В силу симметрии матрицы L матрица li также будет симметричной и, таким образом, будет совпадать с транспонированной к ней матрицей. Обозначим еще через Di определитель матрицы L и будем искать решение уравнения (6.8) в виде [c.258]

Идея одного из первых приближенных методов решения уравнений пограничного слоя была предложена Т. Карманом и реализована тогда же К. Польгаузеном В методе Кармана — Польгаузена к пограничному слою применяется интегральное соотношение (теорема об изменении количества движения), которое дает возможность построить, задаваясь формой распределения скоростей в поперечных сечениях, однопараметрическое семейство приближенных решений. Однопараметрические приближенные методы получили в последующем широкое развитие как за рубежом (Л. Хоуарт и др.), так и в СССР (Л. Г. Лойцянский, Н. Е. Кочин и др.) . Отметим, что Л. С. Лейбензон и В. В. Голубев показали возможность использования в качестве интегрального соотношения вместо теоремы об изменении количества движения (или в дополнение к ней) ряда других интегральных условий. Позже Лойцянский указал пути построения двух- и многопараметрических приближений, основанные па сведении уравнений пограничного слоя к некоторому универсальному виду, одинаковому для самых разнообразных задач теории пограничного слоя. [c.297]

Распространение когерентного лазерного пучка определяется из решения уравнения квазиоптики, дополненного соотношением связи (4.25), Для частично когерентных пучков в задачах светорассеяния необходимо использовать нелинейное уравнение переноса яркости (см. п. 3.5). Отметим, что метод уравнения переноса эффективен для многих практически важных задач атмосферной нелинейной оптики. [c.106]

Существует несколько функций, которые легко проявляют свою гармоничность I, х, уг, — у и 1// . Кроме того, если ф и ф2 гармонические функции, тогда гармоническими являются также Сфи ф + ф2 и С + ф[, где С — постоянная. В дополнение к этим функциям могут быть найдены подобные им путем решения уравнения Лапласа в любой из его разнообразных форм с использованием методов дифференциальных уравнений в частных производных. [c.70]

Кроме расчета балок, ферм и других конструкций на жесткость, изучение деформаций изгибаемых балок необходимо еще для решения статически неопределимых задач при изгибе, когда требуется в дополнение к уравнениям статики составлять недостающие уравнения из условий деформации оси балки. [c.146]

Рассмотрим возможные варианты. Простейшая из возможных ситуаций возникает в том случае, если считать температуру среды заданной. Система уравнений теплообмена вырождается в систему из уравнения переноса излучения, дополненную некоторой функциональной зависимостью температуры от координат и времени. Трудности, возникающие при исследовании этой системы, связаны обычно с применением принципа локального термодинамического равновесия. Если принцип ЛТР применим, то заданное распределение температур можно прямо использовать в правой части уравнения переноса, другими словами, система уравнений теплообмена в этом случае сводится к одному уравнению переноса с известной правой частью (см. гл. I). Подробное исследование решений уравнения переноса для этого случая проведем несколько позднее. Если же принцип ЛТР неприменим, положение [c.100]

Полезно рассмотреть эти вопросы также с точки зрения существования решения уравнения (7.95). В случае б , когда а принадлежит точечному спектру оператора К, не исключено, что уравнение (7.95) может иметь решение, хотя последнее и не будет единственным. Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы вектор о лежал в области значений оператора а — К- Но любой вектор из области значений оператора а — К ортогонален любому вектору из нуль-пространства ) сопряженного ему оператора, а любой вектор, ортогональный любому вектору из области значений данного оператора, принадлежит нуль-пространству сопряженного ему оператора. Поэтому если область значений оператора а — К является замкнутой, то она является ортогональным дополнением ) к нуль-пространству оператора а — Ю- Следовательно, в этом случае необходимое и достаточное условие [c.192]

Если С — вполне непрерывный оператор, то область значений оператора а — С является замкнутой ([824], стр. 279) ). Следовательно, область значений оператора а — Си нуль-пространство оператора а — С являются ортогональными дополнениями друг для друга. Это означает, что для вполне непрерывного оператора К и любого заданного числа а либо уравнение (7.95) имеет единственное решение, либо имеет решение соответствующее ему однородное уравнение (7.95а) ). Далее, если уравнение (7.95а) имеет п линейно независимых решений, то столько же решений имеет сопряженное уравнение, причем необходимое и достаточное условие существования решений уравнения (7.95) состоит в том, чтобы вектор о был ортогонален всем решениям уравнения, сопряженного уравнению (7.95а). Если потребовать, чтобы вектор был ортогонален всем решениям уравнения (7.95а), то он будет единственным. [c.195]

Приведенное рассуждение отнюдь не доказывает, что каждая из поляризованных по кругу волн (94.1) и (94.2) может в отдельности существовать в среде. Мы исходили из опытного факта, что в оптически активной среде может реально существовать волна с вращающейся плоскостью поляризации. Такая волна, конечно, должна быть решением системы фундаментальных уравнений Максвелла, дополненной материальными уравнениями в оптически активной среде. Должна удовлетворять этой системе уравнений и суперпозиция поляризованных по кругу волн (94.1) и (94.2), так как мы доказали, что такая суперпозиция дает волну с вращаю- [c.576]

В дополнение к уравнению (9) / должно удовлетворять специальному условию, а именно — обращаться в нуль при — О во всех точках плоскости, за исключением начала координат. Соответствующее решение необходимо симметрично относительно начала координат и имеет вид [c.61]

Решения уравнения (7.5) непрерывно зависят от параметра (соответствующая общая теорема приведена в Дополнении I). [c.494]

В дополнение к физическому условию, чтобы свободная поверхность при гравитационном течении, соответствующая вышеуказанному типу фильтрации из канавы или канала, стала асимптотой к водонепроницаемому ложу песчаника, распределение потенциала должно принять асимптотический вид, что соответствует линейному течению поверхности воды. Таким образом, эквипотенциальные линии на большом расстоянии от канавы или канала должны быть нормалями к водонепроницаемому ложу с постоянным их размещением, пропорциональным наклону водонепроницаемого ложа. Поэтому ясно, что точные решения уравнения Лапласа, которые даются в гл. VI, пп. 7, 8, 9, где предполагается асимптотическое приближение к вертикальному свободному падению, не могут быть приняты в качестве физического воспроизведения практических фильтрационных течений в песчаниках с конечной толщей 1, где фильтрационное течение сливается с нормальным зеркалом [c.287]

Но из систем дифференциальных уравнений движения выведены так называемые всеобщие уравнения движения, часто приводящие более коротким путем к решению динамических задач. В этих всеобщих уравнениях мы встречаемся с двумя кинетическими мерами движения, с важнейшими в динамике понятиями количество движения (и его момент) и кинетическая энергия. Напомним, что, изучая механическое движение в кинематике, мы не интересовались ни силами, приложенными к движущемуся объекту, ни его массой, ни ее распределением. В кинематике мы интересовались только вопросом как движется вне зависимости от что движется . Но в кинетике, в дополнение к кинематическим мерам движения, мы вводим две кинетические меры, зависящие не только от скорости, но и от масс движущихся материальных частиц. [c.132]

В этой вводной главе прежде всего необходимо ввести основные определения и охарактеризовать свойства рассматриваемых волн оптического диапазона. Изложение начинается с анализа уравнений Максвелла и вытекающего из них волнового уравнения. При этом отмечается, что система уравнений Максвелла является следствием законов электрического и магнитного полей, обобщенных и дополненных гениальным создателем этой теории. Таким образом, сразу вводится понятие электромагнитной волны, возникающей в качестве решения волнового уравнения, и проводится рассмотрение ее свойств. При этом выявляется кажущееся противоречие между результатами экспериментальных исследований и решением волнового уравнения в виде монохроматических плоских волн. Данная ситуация может быть понята с привлечением принципа суперпозиции и спектрального разложения, базирующегося на теореме Фурье. В рамках этих представлений можно истолковать особенности распространения свободных волн в различных средах и определить понятия энергии и импульса электромагнитной волны, формулируя соответствующие законы сохранения. Рассмотрение излучения гармонического осциллятора, которым заканчивается глава, позволяет принять механизм возникновения излучения, облегчает модельные представления о законах его распространения и открывает возможность рассмотрения более сложных условий эксперимента, которое проводится в последующих главах. [c.15]

Если число материальных точек невелико, то легко можно решить эти уравнения числовыми методами с помощью аналоговой или цифровой электронно-счетной машины. Числовые методы являются общепринятыми для расчетов орбит систем, состоящих более чем из двух материальных точек. Решение задачи двух тел может быть выражено в аналитической форме, когда эти тела представляют собой однородные шары ниже мы получим это общее аналитическое решение задачи двух тел. Точные аналитические решения редко встречаются в физике. Они изящны сами по себе, но их научная ценность отнюдь не больше, чем ценность числовых решений. Не следует недооценивать удобства и возможности, создаваемые применением числовых методов расчета. В конце этой главы, в Дополнении 2, мы даем пример числового расчета орбиты. [c.280]

Выражения для полного потока вещества и тепла, полученные из решения системы уравнений (1.4.1) и (1.4.2), дополненной соответствующими начальными и граничными условиями имеют вид [1] [c.33]

Как показывает анализ соотношений (2.27) и (2.28), обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение и п + т неизвестных. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргументов. Однако на практике в дополнение к условию об обеспечении требуемой точности определения искомой величины возникает обычно ряд других требований и ограничений, связанных, например, со стоимостью оборудования эти дополнительные условия позволяют выбрать из множества возможных решений одно или несколько наиболее приемлемых. [c.47]

Исследование этого механизма может быть выполнено при помощи уравнений, приведенных в п. 31. Здесь изложена разновидность исследования. Сначала определяются параметры движения механизма, вращение шатуна АВ которого не имеет значения [66]. Воспроизведем это решение с необходимыми дополнениями и изменениями. Пусть ось качания коромысла в неподвижной системе координат определяется уравнением [c.201]

Точный метод расчета параметров схемы замещения и режимов работы РЦН, алгоритм которого приведен в п.3.4, требует применение численных методов решения при помощи ЭВМ системы нелинейных уравнений (3.60), дополненной уравнениями связи. [c.50]

Первый член правой части уравнения (8-55) совместно с табл. 8-6 можно использовать для расчета теплоотдачи при переменной плотности теплового потока на стенке круглой трубы. Таким образом, в дополнение к расчету по уравнению (8-48) существует еще один способ решения этой задачи. [c.176]

Таким образом, алгоритм управления вычислительным процессом позволяет использовать достоинства всех трех методов решения системы уравнений (3.4) в сочетании с математическими дополнениями, разработанными в настоящем разделе. [c.96]

Для определения коэффициента k более целесообразно использовать формулы для колец, учитывающие указанную выше неравномерность, так как в этом случае величина поправочного коэффициента не будет, очевидно, зависеть ни от характера нагрузок, ни от расположения опоры. Это тем более справедливо, что, как показывает анализ расчетов,экспериментов, та часть диафрагмы, в которой имеют место максимальные изгибающие напряжения (ф 0), работает в условиях, незначительно отличающихся от условий работы неразрезанного круглого кольца. Это значит, что при ф 0 основная часть решения дифференциального уравнения является лишь незначительным дополнением к нему. На рис. 143 показано изменение отношения полной величины максимального изгибающего момента к той его части, которую дает частное решение. Кривая построена для полукольца с опорой по наружному радиусу. Как видно, расхождение между точным решением и решением без учета наличия разъема (т. е. для круглого кольца) составляет не более 15%. Таким образом, для практических целей вообще можно было бы рассчитывать напряжения в диафрагмах, как в круглых кольцах, и затем с некоторым запасом увеличивать их на 15%. [c.329]

Решение данного примера показывает, что использование только уравнений изгиба (2.11) создает определенные неудобства при определении нормальных сил и составлении уравнений равновесия узлов. Поэтому при расчете плоских стержневых систем предпочтительней пользоваться уравнением (2.11), дополненным уравнением нормальных сил из (2.4). Учет нормальных сил увеличивает порядок матричного уравнения (2.11) на единицу, но упрощает дальнейший расчет. В этом усматривается выигрыш данного подхода, так как число арифметических операций не является критерием при оценке метода [93, 277], более существенным является упрощение логики. [c.75]

Решение простого, но тем не менее важного случая установившегося двухмерного ламинарного течения вдоль плоской продольно обтекаемой пластины в равномерном потоке было первым значительным приложением теории пограничного слоя. Эта проблема была затронута Прандтлем в его орнпшальной статье, а позднее была полностью решена Блазиусом, одним из учеников Прандтля. Возможность точного решения уравнения пограничного слоя в этом случае объяснялась тем, что эпюры скоростей и у) имеют одинаковую форму при всех числах Рейнольдса, т.е. u = UF yl6). Фолкнер и Скен доказали, что решение Блазиуса является одним из многочисленного класса точных решений уравнений пограничного слоя при подобных эпюрах скоростей. Это семейство решений имеет большое значение по трем причинам. Во-первых, в дополнение к течению вдоль плоской пластины они описывают течение у передней точки отрыва во-вторых, они показывают влияние градиентов давления на эпюру скоростей, что особенно интересно у точки отрыва в-третьих, они служат основой приближенного метода расчета пограничного слоя. [c.301]

Дополнение. Частные решения уравнений с нелинейной вязкостью. Для того чтобы качественно оценить роль нелинейных членов в формуле (59.3), проще всего вос-пользо1 аться частными решениями уравнения движения. Мы рассмотрим здесь два простых примера движений несжимаемой жидкости первый из них был тщательно изучен Ривли-ном ). При этом будет выяснено основное различие между теориями линейной и нелинейной вязкости, а именно при учете нелинейных членов вязкости в слоистом течении могут сущестэовать нормальные напряжения. [c.213]

В связи с вопросом об автомодельных решениях уравнений Кармана-Фальковича отметим следующее обстоятельство. Образ в плоскости годографа скорости каждого такого автомодельного решения представляет собой решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, общее решение которого выражается через гипергеометри-ческие функции. Система этих решений, дополненная формулами аналитического продолжения, приведенная в монографии [32], воспроизведена в 4. [c.60]

Величина Пд может быть определена, как и раньше, из профиля бальмеровских линий. Тем не менее для решения системы не хватает еще одного уравнения. Следовательно, надо измерить еще одну величину. В случае если измеряется значение абсолютной интенсивности спектральной линии с известной вероятностью перехода, для дополнения системы уравнений может быть использовано уравнение (И). Тогда система может быть решена. Другую возможность представляет сравнение интенсивностей двух спектральных линий, по одной от каждого компонента газа, при условии, что вероятности переходов для обеих линий известны. [c.317]

Решение уравнений (379) — (393) или системы уравнений (398) или (409) возможно в том случае, когда будут известны величины а/ р, о,- е, р,- 2А и АЛ,- для некристаллизующихся растворов, а для кристаллизующихся растворов в дополнение к указанным величинам необходимо знать количество выкристаллизозав-шейся ооли в каждой ступени. Так как эти величины зависят от параметров пара и раствора, т. е. от распределения общей полезной разности температур между ступенями выпарной установки, то они не могут быть заранее заданы, а это приводит к необходимости проводить серию последовательных приближенных расчетов. [c.208]

Обычно проще всего установить характер этих кор1гей в результате решения уравнения, получаемого приравниванием нулю последней дополнительной функции. Однако если это сделать затруднительно, то удобно воспользоваться теоремой Штурма. Поскольку степени у в каждой из дополнительных функций уменьшаются сразу на две единицы при переходе к следующему члену, то процесс нахождения наиболынего общего делителя можно выполнить точно так же, как бы.чо описано в и. 297. На основе рассуждений, аналогичных приведенным в и. 295, можно также показать, что каждой перемене знака в ряде функций Штурма ири у соответствует пара комплексных значений у. Поэтому можно сделать второе дополнение к правилу, данному в п. 297. [c.259]

Совместное решение уравнений (8.6.1) и (8.6.2) требует использования метода последовательных приближений потому, что при данном х неизвестны как у, так и Г, а и РуР2 представляют собой сильно нелинейные функции Т. В дополнение к этому коэффипиеиты активности V] и уг могут также изменяться с температурой, как и с X, в зависимости от того, какое уравнение было выбрано на этапе 4. При совместном решении двух уравнений равновесия, наиболее правильно будет задаваться разумным значением температуры для каждого выбранного значения х . Используя такое допущение по температуре, следует рассчитать Уг и у, по уравнениям (8.6.1) и (8.6..2). После этого проверяется выполнение условия г/, + 1/2 1- При невыполнении следует повторить расчет с другим значением температуры. Таким способом для фиксированного Р и для каждого выбранного значения х следует находить соответствующие равновесные значения у и Т. [c.278]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

Решение. В дополнение к действующим на крышку силам (см. рис. 99) изображаем момент УИ пары в виде вектора, перпендикулярного к крышке и приложенного в любой точке, например в точке А. Его проекции на координатные оси Л1 =0, Му=М os а, Мг=М sin а. Тогда, составляя условия равновесия (52), найдем, что уравнения (1) — (IV) с ганутся такими же, как в предыдущей задаче, а последние два уравнения имеют вид [c.84]

Согласно принципу Сен-Венана найденное решение применимо вдали от концов полосы также для случая, когда вместо внешних сил, приложенных на обоих концах полосы и распределенных по закону (6.39), действуют статически эквивалентные пары сил с моментом М, причем вблизи места приложения пар напряженное oi-стояние будет отличаться от (6.39). Если не равен нулю только коэффициент аз, то отличным от нуля компонентом тензора напряжений будет нормальное напряжение а22 = агХ. Если же только один из коэффициентов з, Сз не равен нулю, например СгФО, та в дополнение к нормальному напряжению 0ц появляется касательное напряжение 0)2. Когда используются полиномы более высокой степени, чем третья, то бигармоническое уравнение удовлетворяется при некоторых соотношениях между их коэффициентами. [c.111]

Эта система уравнений, дополненная соотношениями между векторами сил и геометрических параметров кинематических пар, может быть решена при выполнении условия (5.20) статической определенности системы сил. При статической неопределенности системы искомых сил, дейсгвуюших в машине, необходимо дополнить систему уравнений статики необходимыми уравнениями, отображающими деформации звеньев, или применить искусственные приемы решения систе.м уравнения, например, последовательное приближение к искомым результатам. [c.91]

Полученная выше система дифференциальных уравнений, дополненная условиями однэзначносги, как правиле, не интегрируема без существенных упрощений, а решения, полученные после таких упрощений, в весьма малой степени могут быть использованы для расчета теплообмена в технических задачах. В настоящее время изучение теплообмена основывается на экспериментальных данных. Однако для возможности обобщения таких данных и выявления границ их применения экспериментальные исследования должны быть построены на строгих теоретических, основах. Такой теоретической базой современного жспсримента является теория подобия. [c.317]

В дополнение к рассмотренным случаям можно указать еще случай интегрируемости, разобранный Стекловым В. А. (В. А. Стекло в. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания, т. X, 1899.) [c.172]

В обобщенном виде система балансовых уравнений может быть представлена в виде вектор-функции Ф (Z, Z ) = О, устанавливающей соотношение между термодинамическими и расходными параметрами связей, обеспечивающее получение заданной стационарной нагрузки установки с определенными конструктивнокомпоновочными характеристиками. В геометрической интерпретации [87 1 вектор-функция Ф (Z, =- О задает нелинейную поверхность стационарных состояний установки в многомерном пространстве, координатами которого являются значения нагрузки установки как по электрической энергии, так и по холоду, а также величины подмножеств Z и Для расчета приведенных затрат, учета ограничений, отражающих требования технологичности изготовления, длительной надежной эксплуатации установки и т. д., и в дополнение к системе балансовых уравнений в математическую модель вводятся соотношения для вычисления различных технологических и материальных характеристик отдельных агрегатов. Эти соотношения получаются в результате совместного решения задач теплового, гидравлического, аэродинамического и прочностного расчета агрегатов и представляют собой в большинстве случаев неявные функции параметров совокупностей Z и Z . Опыт математического моделирования показал, что для теплоэнергетических агрегатов число этих характеристик невелико. Это характеристики изменения давления, энтальпии и средней скорости каждого теплоносителя, наибольшей температуры стенки, ее абсолютной или относительной толщины, а также расходов материалов. В обобщенном виде система характеристик описывается вектор-функцией (Z, Z ) = 0. [c.40]

Задачи лучистого теплообмена. Этот класс объединяет все задачи лучистого теплообмена внутри газов, между газами и твердыми телами, между твердыми телами. Наиболее сложная часть задач данного класса — задачи излучения газов — связана с рен1ением интегродифференциальных уравнений теплообмена. Используются численные методы, разработанные для решения задач пограничного слоя и дополненные интегральными методиками (по частотам и простзанству) расчета оптических свойств среды [8]. В большом числе практически важных задач лучистый теплообмен достаточно учитывать только в граничных условиях для уравнения энергии. Это случаи, когда лучистый поток без изменений идет через оптически прозрачную среду, и тогда рассмотренные выше методы поиска решений применимы и к задачам конвективного теплообмена с лучистым потоком теплоты. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...