Штурма теорема

Шкивы планетарные реверсивные 509 Штурма теорема 123 [c.592]

Характеристика 4 — 9 Штурма теорема I — 123 [c.498]

Уравнение нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере одни вещественный корень. Число вещественных корней, заключенных между любыми числами а и Ь, может быть точно определено при помощи теоремы Штурма (см. стр. 123). [c.119]

Допустим, что действительные корни многочлена f x) содержатся в промежутке (а, А). Разбивая этот промежуток на более мелкие промежутки, можно, пользуясь теоремой Штурма, определить число корней, содержащихся в каждом из них. Если в некотором промежутке содержится более одного корня, то его можно снова разбить на более мелкие. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока каждый корень не окажется заключенным в отдельный промежуток. [c.123]

Теорема Штурма позволяет прежде всего определить число всех действительных корней. Для значений х, достаточно больших по абсолютной величине, каждая из функций Штурма имеет знак своего старшего члена поэтому можно легко найти число перемен знаков в ряду функций Штурма для достаточно больших положительных и отрицательных значений х, т. е. S (+ со) и S (—со). Тогда S (—оо)—S (+00) дает число всех действительных корней функции fix). [c.123]

В результате решения необходимо определить корни этого уравнения. В основном для конструкторских задач имеют смысл только действительные корни, т. е. точки, где функция / (х) пересекает ось абсцисс. Задача поиска корней у уравнения (7) имеет несколько этапов. Сначала определяется число корней и отрезки, где они расположены. Затем находятся приближенные значения корней и производится их уточнение. Число действительных корней можно определить с помош ью теоремы Штурма [14]. Полезно построить график функции / (х), с помощью которого можно найти области расположения корней. Исходя из конструктивных соображений, почти всегда удается существенно сузить область поиска корней. Приближенные значения корней уточняются с помощью итерационных методов. Наиболее эффективными из них, с учетом реализации на ЭВМ, являются методы дихотомии, простой итерации и метод Ньютона (рис. 21). Для использования этих методов необходимо знать интервал (а, Ь), на котором находится интересующий нас корень. [c.41]

Так как функция (х) для положительных значений х всегда остается положительной, то по теореме Штурма число [c.760]

Если функция Ф (х) ограничена, то по теореме Штурма корни Т (х) и Т (х) чередуются и являются простыми. Действительно, если Т и Т обращаются в нуль при одном и том же значении х, то Г(ж)=0. Следовательно, нули и полюса функции у х) обладают теми же свойствами. Прохождение полюса через границу х = Х, т. е. слияние полюса и корня, возможно только в том случае, если Ф(а-) обращается в бесконечность при х=х. Поскольку х1 = 1, в бесконечность должен обращаться числитель Ф(а ) (см. (И)), который характеризует источники движения. Случай, когда задана величина у х ), сводится к рассмотренному заменой переменных. Отметим, что полюс функции 5 (ж) не может появиться внутри интервала, например, попав туда из комплексной области. В последнем случае вновь родившийся корень функции Т (х) должен быть кратным и снова следует Т х)=0. Таким образом, если источники движения, определяемые краевыми условиями, ограничены, то ограничено и решение. [c.86]

Тогда по теореме Штурма ) расстояние между двумя последовательными нулями решения дифференциального уравнения (5) меньше [c.751]

Появление бесконечной серии первых интегралов легко объясняется следующей теоремой Лакса ). Будем обозначать оператор умножения на функцию от х знаком этой функции, а оператор дифференцирования по а — символом д. Рассмотрим зависящий от функции и (х) оператор Штурма — Лиувилля Ь = —-Ь и. Непосредственно проверяется [c.466]

Анализ корней определяющего уравнения. Если определяющее уравнение из п. 112 не является очень сложным, то его можно разложить по степеням Я. Так, получаем уравнение, содержащее только четные степепи Я,. Важное значение имеет установление числа вещественных отрицательных значений Я , удовлетворяющих этому уравнению. Для этого можно воспользоваться теоремой Штурма. Если определитель разложен, то можно применить исчерпывающий н простой [c.96]

Рассматривая функции [у (у), (у),. .., видим на основании теоремы Штурма, что потеря или приобретение перемены знака может произойти только иа одном конце ряда. Далее, последний член ряда представляет собой постоянную и она ие может изменить знак. Поэтому перемены знака могут быть приобретены или потеряны только в результате обращения в нуль функции у (у), стоящей в начале ряда. [c.254]

Теоремы Штурма. Ограничиваясь случаем уравненнй в конечных разностях вида [c.333]

Изящная теорема относительно числа корней функции, образованной сложением некоторого конечного числа нормальных функций, была открыта Штурмом. Если — компонента самого низкого, а — компонента самого высокого порядка, то функция [c.242]

Лиувилль воспользовался теоремой Штурма для того, чтобы показать, как можно образовать ряд нормальных функций, имеющий произвольный знак во всех точках, которые лежат между лг=зО и д =в/. Его метод в основном заключается в следующем. [c.243]

Первый определитель является линейной функцией и х) и u, x) и поэтому по теореме Штурма имеет самое большее один внутренний корень этот корень, очевидно, равен а. Кроме того, этот определитель не равен тождественно нулю, так как коэффициент при именно и а), не обращается в нуль, каково бы ни [c.244]

Теорема 2.1. Собственные значения Лк задачи Штурма-Лиувилля [c.634]

Теорема 2.2. Для значений спектра Цк задачи Штурма-Лиувилля [c.635]

Очевидно, что при замене функции U(г) любой константой, равной либо среднему значению, либо максимуму или минимуму, первое собственное значение задачи Штурма-Лиувилля будет отрицательным и, следовательно, по крайней мере одна волновая мода должна быть. Однако для распределения (3.20) скорости U z) волновые моды возникать не могут вообще. Это легко следует из теоремы 2.2. Итак, несмотря на то, что течение (3.20) чисто восточное, в нем волновые моды не возникают. [c.644]

Случай 1. При определенных значениях параметров выражение (3.24) дает двухслойное течение с разнонаправленными потоками в слоях. Сингулярность функции А(г), возникающая в точке г = го, где /7(го) = О, является устранимой и тождество А(г) = Д справедливо во всех точках г е [0,1]. Рассмотрим одно из таких двухслойных течений, положив а = = /3 = О, Д = 40, ВЩ = 0.614, 7 = 0.5 (см. рис. 7). Из (2.40) следует, что 1 = О в этом случае и для первого собственного значения вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля получим из (2.39) Д1 0.01. Из теоремы 2.1 тогда следует, что первое собственное значение основной задачи Штурма-Лиувилля (2.21) - (2.23) будет равно цг -40 + 0.01 = -39.99, те. будет отрицательным. Интегральный перенос направлен на восток. Результат численного нахождения первого собственного значения через функцию Z( л) приведен на рис. 8. [c.648]

В соответствии с теоремой 2.1 получим для первого собственного числа основной задачи Штурма-Лиувилля значение Jli — (4 + /с ) и и — —17.2, т.е. первая мода является волновой, несмотря на то, что течение [c.650]

На рис. 16 приведены графики левой (1) и правой (2) частей уравнения (3.31), откуда видно, что первый и второй корень будут А1 = 2.26 и Аг = 5.43. Принимая во внимание, что А = ВЛ ох/—получим первые собственные значения вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля = — —6.63, ]л2 = —38.29. Из теоремы 2.1 имеем [c.652]

Для простейшей задачи Штурма — Лиувилля — " = / нетрудно построить соответствующее пространство решений. Такое пространство обозначается.5 1- Нижний индекс В означает, что выполнены краевые условия ы(0) = и п) = О, а верхний индекс 2 — что вторая производная решения и обладает конечной энергией ). Можно показать, однако, что если предположить р(л ) ршь > О и д х) 0, то пространство 3>ёв будет к тому же пространством решений более сложного уравнения — ри ) = f. Итак, справедлива теорема [c.15]

Теперь понятно, что характер движения целиком зависит от природы корней определяющего уравнения Л (б) 0. Если это уравненне можно решить и найти корни, то, конечно, мы немедленно узнаем характер движения. Одпако если это уравнение нельзя реншть, то мы должны обратиться к анализу уравнения для определения того, являются ли корнн вещественными или комплексными, равными нли различными. При исследовании уравнений высоких степеней используются теоремы Фурье и Штурма. Однако, во многих динамических задачах мы имеем дело только с двумя координатами. Поэтому исследуем корни уравнения четвертой степени, приведенного в п. 260. [c.248]

Покажем сначала, что приведенные в п. 294 условия являются необходимыми, еслн справа от оси у нет радикальных точек. Проведем окружность сколь угодно большого раднуса, и пусть она пересекает асимптоты Р-кривой в точках Pj, Pj,. .., Рп, а асимптоты Q-кривой — в точках Qj, Qa,. .., Qn. Эти точки чередуются. Рассматривая только те из этих точек, которые лежат справа от оси у, можно Сказать, что Р- и Q-кривые начинаются в этих бесконечно удаленных точках и проходят в левую полуплоскость, не пересекаясь между собой справа от оси у. Поэтому справа от осн у ветви двух кривых должны чередоваться. Их точки пересечения с осью у также должны чередоваться. Еслн в уравнениях Р = О, Q = О положить д = О, то получим уравнения fx (у) = О, /а (у) = О (п. 292), и поэтому этн уравнення должны быть таковы, чтобы их корни были вещественными и корни одного уравнения лежали между корнями другого. Далее, в п. 292 было показано, что условия разделения корней одного уравнения корнями другого уравнения можио получить из теоремы Штурма, 06- [c.254]

Обычно проще всего установить характер этих кор1гей в результате решения уравнения, получаемого приравниванием нулю последней дополнительной функции. Однако если это сделать затруднительно, то удобно воспользоваться теоремой Штурма. Поскольку степени у в каждой из дополнительных функций уменьшаются сразу на две единицы при переходе к следующему члену, то процесс нахождения наиболынего общего делителя можно выполнить точно так же, как бы.чо описано в и. 297. На основе рассуждений, аналогичных приведенным в и. 295, можно также показать, что каждой перемене знака в ряде функций Штурма ири у соответствует пара комплексных значений у. Поэтому можно сделать второе дополнение к правилу, данному в п. 297. [c.259]

Колебания, соответствующие различным значениям р, сильно отличаются одно от другого. Если 9 равно своему наименьшему значению, то знак sin 2kQ однн и тот же для всех значений k от k = АО k п, так что цепь совершает колебание в форме волны с одной пучностью. Если О равно своему следующему значению в порядке возрастания, то первая половина ординат у , у ,. .. имеет один и тот же знак, противоположный знаку второй половины ординат, так что цепь совершает колебание с двумя пучностями. Если 9 принимает следующее значение, цепь колеблется с тремя пучностями и так далее, Формы движения легко различаются по кривым, проведенным через точки с ординатами уц и абсциссами k при заданном значении времени t. Наличие таких форм движения непосредственно следует из теоремы Штурма (п. 433), в которой будет доказано, что подобный характер движения существует всякий раз, когда для связанной системы частиц уравнения в конечных разностях имеют некоторый стандартный вид. [c.314]

Следствие (обобщенная теорема Штурма). Пусть-флаговая кривая уравнения (1) пересекает к-ю компоненту шлейфа некоторого флага на некотором отрезке времени с суммарной кратностью к п—к), тогда на этом отрезке времени флаговая кривая пересекает шлейф любого флага. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...