Пространство многомерное

В многомерном случае все обстоит значительно сложнее, и в отношении элементов, определяющих структуру фазового пространства, можно лишь придерживаться тех или иных гипотез. Ситуация здесь осложняется еще тем, что методы качественной теории на плоскости носят специфический характер и не допускают непосредственного обобщения на многомерные системы. В связи с этим необходимо подчеркнуть роль метода точечных отображений в изучении многомерных систем, поскольку именно этот метод позволил сколько-нибудь существенно продвинуться в трудной задаче исследования особенностей структуры фазового пространства многомерной системы ) (Ю. И. Неймарк, 1958, 1965—1967 Д. В. Аносов, 1962 1967 Ю. И. Неймарк и Л. П. Шильников, 1965 Л. П. Шильников, 1965—1967 В. А. Григоренко, 1967), в изучении интегральных многообразий дифференциальных уравнений (Д. В. Аносов, 1959 Ю. И. Неймарк, [c.155]

В аналитической механике часто пользуются очень удобны.чг геометрическим языком вводится понятие конфигурационного пространства —многомерного метрического пространства, в котором положение точки определяется координатами Размерность-этого пространства равна числу независимых координат. Движению механической системы (или иного объекта) отвечает движение изображающей точки в пространстве конфигураций. Иногда применяется расширенное конфигурационное пространство, в ко тором время рассматривается как дополнительная координата.. Размерность такого пространства равна 1+1. [c.181]

Интегралы (140.7) не содержат в явном виде времени t и называются геометрическими. Эти уравнения в многомерном пространстве обобщенных координат определяет кривую — траекторию изображающей точки. [c.385]

В такой формулировке переменными задачами z (n= 1,..., р) наряду с конструктивными данными и параметрами являются также параметры аппроксимации временных функций (токов, напряжений и др.). Функции цели Яо и ограничений Я, определяются в многомерном пространстве полного числа переменных. Совокупность ограничений Я, образует в этом пространстве допустимую область (допустимое множество точек) Вг. Любое решение задачи представляется точкой многомерного пространства Z с координатами 2 ,..., Zp, которая должна принадлежать множеству D. [c.78]

Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Линейное (векторное) п-мерное пространство. Помимо матриц мы будем использовать понятие многомерного алгебраического векторного пространства Лп, сохраняющего некоторые свойства совокупности векторов трехмерного евклидова пространства. Упорядоченную систему п действительных чисел [c.18]

Введем в рассмотрение многомерное евклидово пространство Езп Зп измерений. Пусть положение точки М в этом пространстве определяется совокупностью координат Xi, у, 2 ,. .. , л , Уп, Zn точек материальной системы. Тогда точка М будет отображать положение и движение системы материальных точек с координатами Xi, г/i, 2j,. .., л , г/ , z . Эта точка далее называется изображающей. [c.25]

Аналогичную геометрическую интерпретацию в пространстве Езп можно указать для условия (I. 11), если ввести вместо векторов Nsi многомерный вектор Ns. [c.25]

Наиболее просто это можно сделать, используя многомерное пространство зп, о котором речь шла выше. Каждому положению системы соответствует положение изображающей точки [c.98]

Найденные здесь соотношения распространяются на случай многомерного пространства. Это позволяет перейти к рассмотрению движений системы материальных точек со стационарными [c.152]

Эти уравнения обобщают уравнения движения материальной точки, рассмотренные в 186 первого тома на случай движения точки в многомерном пространстве при произвольном выборе местного координатного базиса. [c.160]

Из содержания 46 и 210 первого тома после распространения найденных там соотношений на многомерное пространство, получим [c.167]

Вновь изобразим движение материальной системы как движение материальной изображающей точки в многомерном пространстве конфигураций. Траектория изображающей точки, соответствующая действительному движению системы, называется основной. Траектории изображающей точки, образованные из основной в результате варьирования радиусов-векторов точек материальной системы, называются траекториями сравнения. [c.185]

Эта формула, установленная для трехмерного пространства, распространяется и на случай многомерного. Вектор первой кривизны кривой можно определить так [c.191]

Рассмотрим иной способ решения этой задачи, основанный на применении векторного исчисления, распространенного на многомерное векторное пространство. [c.250]

Предположим, что в пространстве Ек существует система изображающих точек М, которая в начальный момент времени вместе с начальными импуль-са.ми определяет некоторую многомерную поверхность Ра. Каждой точке М этой гиперповерхности можно поставить в соответствие многомерную поверхность Q Б соседних с М точках пространства Лм. Всей поверхности соответствует поверхность Р — огибающая поверхностей Q. Эта поверхность определяет состояние системы изображающих точек через промежуток времени At. Следовательно, с одной стороны, движение системы интерпретируется кик движение изображающей точки Л1 в пространстве Ек, а с другой — как последовательное преобразование плоскостного элемента, связанного в начальный момент времени с упомянутой поверхностью Ро. [c.363]

О возможности приведения дифференциальных уравнений движения системы материальных точек к уравнениям вида (И. 379) шла речь в 58. Число уравнений в системе (11.379), обозначенное здесь я, равно удвоенному числу М степеней свободы системы. Систему уравнений (11.379) можно, как известно из предыдущего, рассматривать как уравнения движения изображающей точки в многомерном пространстве Можно, далее, рассмотреть систему подпространств Lp с количеством измерений р < я, вложенных в пространство [c.379]

В этом параграфе изложены дополнения к 210 т. I. Рассмотрим результат изменения последовательности повторного ковариантного дифференцирования некоторого вектора и В отличие от т. I, здесь изучаются не трехмерные, а многомерные пространства. Возможность этого обобщения была указана в 210 т. I. [c.505]

Вместе с тем с точки зрения квантового подхода — это одно и то же состояние. Чтобы избежать этих повторений при переходе от общего квантовомеханического описания системы к классическому, мы должны либо ограничить область фазового пространства многомерным клином, так чтобы любая перестановка индексов частиц выводила бы фазовую точку р, д) за пределы области рассмотрения и не учитывалась бы (на рис. 15 — это заштрихованная область), или, используя все фазовое пространство, учесть, что каждое тождественное с точки зрения квантовой теории состояние в предельном классическом случае будет повторено N1 раз (число перестановок друг с другом N индексов частиц 1, 2, 3,..., М). Поэтому в появляющихся в результате квазиклассического перехода интегралах по фазовому пространству р,д), под знаком которых стоят функции от динамических величин для системы N одинаковых частиц (функция Гамильтона Н р,д) и т.д.), которые в силу тождественности частиц не изменяются при перестановках их индексов, необходимо либо ограничить указанным выше способом область интефирования в пространстве (р, д), либо интегрировать по всему фазовому пространству, повторяя при этом каждое доклассическое состояние систе мы N1 раз, и затем, чтобы не получить величину, в ЛГ раз большую допредельной, разделить весь интефал на ЛГ . [c.69]

Так как расчет и представление сведений об ОА в многомерном пространстве затруднительны, то используют аппроксимации области адекватности, обозначаемые ОАА. Рис. 2. 1. Графическая иллюстря- человека наиболее [c.42]

Достаточно ввести понятие гипоточка (элемент пространства, то-чечность которого на единицу меньше точечности точки — пустое множество), чтобы записать элементы многомерного пространства в символике арабских цифр в виде конечного множества О, 1, 2, 3,. .., N, полностью сходного с конечным множеством чисел О, 1, 2, 3, N. [c.224]

Несмотря на внешнюю простоту общей вычислительной схемы, ее реализация при большом р практически невозможна даже с помощью современных ЭВМ. Это объясняется тем, что fp-i(Zi), fp-i(Zi) и другие являются функциями точек многомерного пространства (функции многих переменных) и их табуляция при p>Z требует чрезвычайно большого объема памяти и времени вычислений. Поэтому общая вычислительная схема Веллмана не выдерживает столкновения с проклятием размерности и хорошо приспособлена лишь к решению узкого круга задач типа распределения ресурсов, где р<3 [79]. [c.254]

Иа рис. VII.1 и на последующих рисуиках, иллюстрирующих поведение кривых D многомерных пространствах, условно изображено трехмерное пространство Надписи па осях выбраны так, чтобы они напоминали читателю [c.272]

И, ЧТО существенно, в пространстве параметров многомерной динамической системы могут существовать целые области иегрубых систем. (Подробнее об этом см., например, в книге [6].) [c.46]

После этих общих вводных слов перейдем к изложению накопленных к настоящему времени сведений о мно омер-ных динамических системах. Это изложение, по необходимости выборочное, содержит в первую очередь факты, п люющие наибольшее значение для общего понимания особенностей многомерных динамических систем, трактуемых в первую очередь как особенности структуры разбиения на траектории ее фазового пространства. [c.240]

Основное утверждение принципа сжимающих отображений применительно к конечной области G многомерного евклидова пространства состоит в том, что если сжимающее отображение Т преобразует эту область G в себя, то в ней имеется единственная неподвижная точка х и вся область G при иеограннченном повторении отображения Т [c.300]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Теперь рассмотрим некоторые свойства реакций связей. Введем в пространстве з многомерные реакции геометрических и неголономных связей Rj и Rs. Можно утверждать, что в фиксированный момент времени, т. е. при остановленных нестационарных связях, векторы реакций связей направлены так, что они образуют с многомерными возможными перемещениями острые или прямые углы в пространстве зп. Следовательно, углы, образованные реакциями односторонних связей с векторами grad fj и Ns в пространстве з , по абсолютной величине не больше, чем л/2. В случае двусторонних связей угол между реакциями и векторами grad fj и N,, не ограничен какими-либо условиями. [c.25]

В 203 т. I мы установили существование силовой функции И х,у,г) в трехмерном пространстве. Аналогично можно установить, что в многомерном пространстве Е п существует силовая функция и (Хь Уи 21, Х2, начальным положением изображающей точки М будет не начало координат в пространстве Езп, а точка Мо (хю, ую, 2ю, Хго, У20, 220,. ... х о, у о, 2по). Эта точка соответствует положению системы, которое мы полагаем начальным. [c.98]

В этих формулах, как и выше, векторы е и коэффициенты преобразований являются функциями координат < точки многомерного пространства. Векторы Сд находятся в плоскости , касательной к пространству, арифметизированиому координатами [c.153]

Это же условие для многомерного пространства выражается равенством (II. 156Ь) ) Итак, приходим к выводу если определить метрический тензор в пространстве конфигураций равенствами (II. 155), то движение по инерции системы материальных точек соответствует движению изображающей точки по геодезической кривой в упомянутом пространстве. [c.207]

Уравнения (р) определяют прямую линию в многомерном пространстве — главную ось гиперэллипсоида. Гиперэллипсоид имеет всего N осей. Покажем, что они ортогональны. Для этого составим два соотношения [c.251]

Рассмотрим многомерное пространство Ен ), арифметизированное координатами qi (/=1, 2,. .., /V). Движению системы соответствует в этом пространстве движение изображающей точки М уи 92, 9 ). Согласно [c.363]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...