Оператора нуль-пространство

Полезно рассмотреть эти вопросы также с точки зрения существования решения уравнения (7.95). В случае б , когда а принадлежит точечному спектру оператора К, не исключено, что уравнение (7.95) может иметь решение, хотя последнее и не будет единственным. Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы вектор о лежал в области значений оператора а — К- Но любой вектор из области значений оператора а — К ортогонален любому вектору из нуль-пространства ) сопряженного ему оператора, а любой вектор, ортогональный любому вектору из области значений данного оператора, принадлежит нуль-пространству сопряженного ему оператора. Поэтому если область значений оператора а — К является замкнутой, то она является ортогональным дополнением ) к нуль-пространству оператора а — Ю- Следовательно, в этом случае необходимое и достаточное условие [c.192]

Нуль-пространством некоторого оператора называется пространство всех векторов, при действии на которые он дает нуль. [c.192]

Если С — вполне непрерывный оператор, то область значений оператора а — С является замкнутой ([824], стр. 279) ). Следовательно, область значений оператора а — Си нуль-пространство оператора а — С являются ортогональными дополнениями друг для друга. Это означает, что для вполне непрерывного оператора К и любого заданного числа а либо уравнение (7.95) имеет единственное решение, либо имеет решение соответствующее ему однородное уравнение (7.95а) ). Далее, если уравнение (7.95а) имеет п линейно независимых решений, то столько же решений имеет сопряженное уравнение, причем необходимое и достаточное условие существования решений уравнения (7.95) состоит в том, чтобы вектор о был ортогонален всем решениям уравнения, сопряженного уравнению (7.95а). Если потребовать, чтобы вектор был ортогонален всем решениям уравнения (7.95а), то он будет единственным. [c.195]

Лемма. Пусть А — унитарный (или самосопряженный), а С — вполне непрерывный операторы, и пусть они коммутируют друг с другом А, С] = О, Тогда нуль-пространство оператора С должно включать в себя подпространство, натянутое на непрерывную часть спектра оператора А. [c.195]

Если ортонормированны набор векторов образует базис в области значений оператора Л 1, т. е. в нуль-пространстве оператора (ао —/<) то можно написать [c.200]

Если К — нормальный оператор, то верхний индекс оператора ао — К равен либо О, либо I. Этот результат обусловлен тем, что нуль-пространства операторов ао — К и ау Ю одинаковы и, следовательно, область значений [c.200]

Из (7.104) следует, что область значений оператора Л 1 лежит внутри нуль-пространства оператора (К—осо) . а из (7.103) — что нуль-пространство оператора К — осо) лежит внутри области значений оператора А [c.200]

Верхний индекс оператора В есть наименьшее целое число М, такое, что нуль-пространства операторов б и равны его нижним индексом является наименьшее [c.200]

И нуль-пространство оператора — К ортогональны друг другу. Следовательно, оператор — /(не может отображать какое-либо пространство на свое собственное нуль-пространство и нуль-пространства операторов ао — К и (ао — КУ- должны быть одинаковы. Поэтому для нормального оператора К оператор (а — К) не может иметь полюса конечного порядка, большего единицы. [c.201]

Обратное утверждение здесь доказываться не будет (см. [8241, стр. 310). Допустим, что существует целое число п, такое, что область значений и нуль-пространство оператора (ао — /С)" являются взаимно дополнительными, а область значений оператора (ао — /С)" замкнута, и пусть т 1 — наименьшее из таких целых чисел. Тогда оператор резольвенты (а — К) имеет в точке ао полюс порядка т. Если областью определения оператора К является все ( -пространство и /С — вполне непрерывный оператор, то каждая ненулевая точка спектра является полюсом ([8241, стр. 311). По существу этот результат вытекает из факта конечности верхнего и нижнего индексов вполне непрерывного оператора. [c.201]

Полезно сопоставить понятие верхнего индекса оператора и появление полюсов более высокого порядка у оператора резольвенты со свойством, на возможность существования которого иногда не обращают внимания. Допустим, что верхний индекс оператора К — а больше единицы. Тогда существует вектор Фа, который принадлежит как области значений, так и нуль-пространству оператора К — а [c.201]

Справедливо и обратное утверждение. Допустим, что (а — К)- имеет простой полюс в точке а - р. Тогда мы знаем, что нуль-пространство и область значений оператора К — Р являются взаимно дополнительными, т. е. любой вектор можно записать как линейную комбинацию, составленную из вектора Фр из нуль-пространства и вектора из области значений оператора К — Р- [c.201]

Пусть Рс X) — спектральная функция непрерывной части спектра оператора А в том смысле, что выполняется соотношение (7.97а), так что Рс ( ) непрерывно возрастает от Рс ( i) = 0. Пусть аф О есть собственное значение оператора С С, М — верхний индекс оператора (С С — а) и Q — ортогональный проектирующий оператор на нуль-пространство оператора ( f —а) . Тогда [Q, Рс (Я,) О для всех к и, следовательно, оператор R (к) = QP (к) также является ортогональным проектирующим. Так как С С — вполне непрерывный оператор, то область значений оператора Q имеет конечную размерность и таким же свойством обладает область значений оператора R (к). Кроме того, R (к) является монотонно возрастающей функцией к, которая при к = >.1 обращается в нуль. Введем теперь базис в области значений оператора R (кг) и вычислим Sp R (к) л (X) < оо для к кг. При этом п (к) должно быть непрерывным и целым. Поскольку R (ki) = О, то для всех к величина п обращается в нуль. [c.203]

Показать, что если область определения оператора А является плотной в гильбертовом пространстве, то нуль-пространство сопряженного ему оператора является ортогональным дополнением к области значений оператора А. [c.204]

Из (29.15) видно, что в силу структуры (14.20), (14.21) оператор правой части (29.15) при малых Ца 1 н и действует в некоторой малой сфере с центром в нуле пространства и будет здесь оператором сближения. Таким образом, при малых а Цд- в шаре пространства достаточно малого радиуса не может существовать более одного решения. Существование же одного решения установлено на первом этапе доказательства теоремы 2 1. Теорема 29.1 доказана полностью. [c.260]

Если мы определим гамильтониан Н равенством Т = = e Q, где Q — проектор на дополнение к нуль-пространству оператора Т, то можно следующим образом выразить [c.26]

В этой записи область изменения каждой переменной f не ограничена, появление же нескольких одинаковых состояний учитывается множителем 1/п и нормировкой. В случае ферми-частиц члены с одинаковыми а,-, конечно, равны нулю. Единица в правой части (6.116) означает единичный оператор в пространстве (должным образом симметризованных) л-частичных состояний. Соотношение (6.116) можно проверить, действуя оператором левой части равенства на состояние . .., р > и используя (6.113), (6.114). [c.196]

ПРОЕКЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР (действующий на векторном пространстве Ь) — оператор Р, определён-вый на всём Ь, такой, что Р = Р. Если — гильбертово пространство [пространство (0, р) ф-ций на множестве 2, интегрируемых с квадратом по мере с2р), тогда представимо в виде прямой суммы двух ортогональных друг другу подпространств = р ф , причём Р действует тождественно на всех векторах X (. Ьр и обращает в нуль все векторы у LK Т. о., оператор Р проецирует любой вектор Ь [ — х у, где X р, у е р) на подпространство р Pf = х Ьр. [c.135]

Поскольку система векторов а (х) линейно независима на Г, то линейно независимой является и система векторов h (x) на Г. Обозначим линейную оболочку системы векторов h (x) на Г через Ri(F). Ниже мы покажем, что множество Ro(F) и Ri(r) являются пространствами нулей некоторых операторов рассматриваемых ГИУ. [c.78]

Р=0, то пространство нулей оператора —П= I—L со-впадает с [c.79]

Используя определение классических скобок Пуассона (1.1.20), проверить, что оператор Лиувилля (1.1.22) является эрмитовым, т.е. для фазовых функций и стремящихся к нулю на границах фазового пространства, выполняется ра- [c.77]

Если интервал а,Ь) бесконечен, т.е. а = - 00, й = 00, то требования к функциям для удовлетворения условия (22.41) необходимо уточнить. Если при. V - - 00 и х- (Ю функции стремятся к нулю, то соблюдение условий (22.41) очевидно. Однако представляется вероятным, что имеется и другой класс функций, которые в определенном смысле удовлетворяют условию (22.41), хотя и не стремятся к нулю при X -> со. Возьмем в качестве примера функции при всевозможных вещественных значениях параметра к. Они являются осциллирующими функциями при X -> -> 00 и не стремятся к определенному пределу. Не стремится к определенному пределу и произведение при к ф к хотя при к = к предельные значения равны 1 и условие (22.41) соблюдается. При к ф ф к предельное значение произведения функций при X 00 определяется как среднее значение по бесконечному интервалу, начинающемуся со сколь угодно большого значения х, и если при этом значении произведение стремится к нулю, то в соответствующем векторном пространстве оператор эрмитов. Для функций е это условие имеет вид [c.147]

Из этого неравенства вытекает, что оператор, стоящий в левой части (1.17), действует из полного пространства квадратично-сумыируемых последовательностей в и является там вполне непрерывным. Таким образом, если основной определитель А системы (1.17) отличен от нуля, то к пей применима теорема Гильберта [229] о ее разрешимости. Кроме того, из (1.5), (1.15) следует. [c.130]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

ВАКУУМНЫЙ КОНДЕНСАТ — ненулевое вакуумное среднее К.-л. локального оператора поля. Представление о В. к. — одно из центральных в сокр. теориях элект-рослабого взаимодействия и сильного взаимодействия — квантовой хромодинамике (КХД). Употребление слова конденсат связано с картиной, согласно к-рой вакуумное, или низшее по энергии, состояние следует представлять не в виде пустого пространства, а как своеобразную среду флуктуирующих с большой амплитудой нолей. Часто обсуждают, напр., такие отличные от нуля вакуумн ,1е средние [c.237]

Если все tjiц О, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующая группа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можно одновременно привести генераторы А , А к диагональному виду. Физически это означает, что величины А ,. .., А могут иметь одновременно точные значения. Если в числе генераторов есть гамильтониан П квантовой системы, то в состояниях с фиксиров. энергией / все др. физ. величины из числа генераторов А ,. .., А также могут принимать вполне опре-дел. значения. Поскольку гамильтониан уиравляет временной эволюцией системы, все величины А ,. .., А оказываются интегралами движения, т. е. сохраняются с течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр, поле попарно перестановочными являются гамильтониан Й, оиератор квадрата момента импульса и оператор а проекции момента импульса на к.-л. ось. Поэтому в пространстве состояний существует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов Й, и 3. Это позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицы с помощью трёх квантовых чисел — главного п, орбитального (азимутального) I и магнитного т. [c.575]

Дифференцирование вариационных функционалов. Нормирование пространства состояний позволяет при исследовании вариационных формулировок применять понятия производной и дифференциала. Дифференциал функционала энергии в нормированном пространстве (дифференциал Фреше) в вариационном исчислении называют вариацией. Производная функционала энергии (производное отображение) является дифференциальным оператором соответствующей краевой задачи. Этот оператор получают, преобразуя вариацию функционала методами вариационного исчисления (см гл. I). Производную функционала иногда называют его градиентом. Точкой стаинонарности функционала называется такое значение его аргумента, при котором его градиент равен нулю, т. е. соответствующие дифференциальные операторы обращаются в нуль. [c.207]

Вообще говоря, аппроксимация — это замена одного математического объекта другим. Аппроксимация дифференциального оператора Ь разностным оператором Ьк называется согласованной [1], если при стремлении к нулю шагов по времени и по пространству оператор (Ол стремится к нулю. Ясно, что если это условие не выполнено, то построенная математическая модель не соответствует физической. Таким образом, требование согласованности является фундаментальным. Если согласованность разностной схемы отсутствует, то исследованре ее других свойств становится бессмыс-ленн хм. [c.214]

Эти соотношения можно проверить и непосредственно, используя явный вид операторов Лиувилля, или лиувилианов. Каждый из членов Ц, lJ или Цп содержит производную от F либо по q, либо по р. Мы всегда предполагаем, что функция F вместе с необходимым числом производных обращается в нуль на границах системы в конфигурационном пространстве, а также при = [c.96]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Из равенств (9.1.29) видно, что Va аналогичен проекционному оператору Кавасаки-Гантона, введенному в разделе 2.3.2 первого тома, но он не зависит от времени. Важное значение имеет свойство (9.1.30) оно показывает, что оператор Va оставляет неизменными как сами базисные переменные любые функции от них. Иначе говоря, Va осуществляет проектирование на пространство функций базисных переменных. Таким образом динамические переменные (9.1.24) ортогональны этому пространству, т. е. РаХ(а) = О, и поэтому имеют смысл случайных микроскопических потоков, не связанных с крупномасштабными флуктуациями. Легко также убедиться (см. задачу 9.1), что среднее значение случайных потоков в квазиравновесном состоянии равно нулю [c.222]

Х = (д, р). Таким широко используемым представлением является представление Вигцера [678]. Вангно отметить, что с учетом конечности размерности гильбертова пространства, отвечающего копечному фазовому объему Q N — Q/ 2nh), где г—число степеней свободы), операторы, представляемые функциями /о(Х), равными нулю вне Q, имеют вид квадратных NXN матриц и требуют для своего описания конечного числа базисных элементов. Это означает, что континуальный набор базисных элементов е(X), где Хей, является переполненным. Предельный переход й делает очевидной переполненность базиса е(Х) и в неограниченном фазовом объеме. Это обстоятельство означает возможность неоднозначного представления Л- -/(Х), которая устраняется после выбора соответствующего наиболее прост о правила в представлении Вигнера /(Х) = = 2я%ут тАе ) [136]. [c.385]

Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки 2о, — этим условием является необращение в нуль производной комплексного потенциала [c.181]

Теорема 2.6 Для того, чтобы последовательность собственных элементов вполне непрерывного и самосопряженного оператора в А) соответствующих собственным значениям,отличным от нуля, двлялась полной ортонормированной системой в (полном) гильбертовом пространстве Н необходимо и достаточно, чтобы нуль не был собственным значением оператора А, т.е. чтобы элемент А/ был отличен от нуля при / 0. [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...