Оператор область его значений

Далее введем понятие оператора, действующего в R. Если имеется правило, по которому некоторым элементам х R ставятся в соответствие элементы у, также принадлежащие R, то будем говорить, что задан оператор Т, и писать у = Тх. Совокупность тех элементов х, для которых введено это правило, носит название области определения оператора, а совокупность всех у — области его значений. Оператор Т называется ограниченным, если для любых двух элементов и Xj, принадлежащих его области определения, справедливо неравенство [c.69]

Будем рассматривать наряду с сжимающим оператором Т, неподвижную точку которого требуется отыскать, оператор Т, с которым фактически производятся вычисления. Область определения Т и область его значений — некоторое подмножество пространства R, элементы которого представлены в вычислительной машине. Будем считать, что для всех х, принадлежащих области определения Т, выполняется неравенство р (Тх, Т х) < б, где 6 является мерой ошибки, которая возникает при приближенном вычислении результата действия оператора Т. Других предполо- [c.72]

Напомним, что оператор Р является проектирующим, если он идемпотентный Р Р. Областью его значений является подпространство, на которое он осуществляет проектирование. Такой оператор называется ортогональным проектирующим, если он эрмитов. [c.196]

Доказать, что С — вполне непрерывный оператор, т. е. что область его значений является плотной в гильбертовом пространстве и что нуль принадлежит непрерывному спектру. [c.205]

Воспользуемся теперь двумя известными фактами спектральной теории самосопряженных операторов 1) нижняя грань спектра оператора А совпадает с нижней гранью значений (Лг ), i])) на пересечении единичной сферы с областью его определения Da и 2) непрерывные спектры операторов А h) и Л(1) совпадают (это следует из того, что в силу леммы они отличаются на вполне непрерывное слагаемое). [c.316]

Общие свойства III. у. б е з времени. Волновая ф-ция должна удовлетворять нек-рым дополнит. условиям, имеющим ясный физ. смысл. Вместе со своей первой производной она должна быть однозначной, непрерывной и конечной во всем пространстве, если потенциальная энергия U (/ ) нигде не обращается в бесконечность (если же U (г) бесконечна в области, ограниченной нек-рой поверхностью, то на границе этой области я]) обращается в нуль, а производные от i ) испытывают, вообще говоря, разрыв). Поэтому III, у. без времени (3 ) является ур-нием на собственные значения. Отдельное его решение (г) наз. собственной функцией, соответствующей нек-рому собств. значению Л оператора II. Собств. значения — единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы. Ш. у. без времени действительно. Его решения для систем, не находящихся в магнитном поле, всегда могут быть выбраны действительными как для вырожденных, так и для невырожденных значений энергии. [c.423]

В квантовой механике момент импульса, его проекция, а также энергия при движении в огранич. области пространства могут принимать лишь ряд дискретных значений. Возможные значения физ. величин являются собственными значениями операторов, к-рые в квантовой механике ставятся в соответствие каждой физ. величине. Физ. величина принимает определ. значение с вероятностью, равной единице, лишь в том случае, если система находится в состоянии, описываемом собственной ф-цией соответствующего оператора. [c.316]

Ниже предложен подход, основанный на теории дифференциальных операторов в областях с мелкозернистой границей, который позволяет ответить на поставленный вопрос. Рассмотрена система дефектов, локализованная у некоторой внутренней поверхности Г области fi, занимаемой упругим телом. Основной идеей предлагаемого метода является введение характеристик дефектного слоя (слоя, содержащего систему дефектов), которые в среднем отражают его поведение при деформировании. Это позволяет свести исходную точную формулировку граничных условий на поверхностях дефектов к условию сопряжения на Г. Метод позволяет рассчитать осредненные значения напряжений на некотором удалении от системы дефектов. [c.206]

Здесь мы предположили, что спектр оператора, то есть распределение его собственных значений, непрерывен. Интервал собственных значений определяет область интегрирования. Для простоты мы опустили пределы в интеграле. В случае дискретного спектра интегрирование следует заменить суммированием. [c.62]

Действительно, соотношение (5.7) будет служить в качестве интегрального уравнения для определения контактного давления р(х, /) лишь в том случае, если правая часть его определена для значений еВ (). Рассмотрим отрезок [т /], на котором В(/) возрастает (фиг. 1, сплошная линия). Ясно, что для того, чтобы правая часть (5.7) была определена при х В (), необходимо, чтобы В1)1(х, т) была задана в прямоугольнике (0 (фиг. 1). Однако функция Ш1 х, х) определена для х В(1) лишь при х=1. В предшествующие же моменты времени функция Ш1 х, 6) определена только для х В в) и неизвестна при х В 1)1В(д), т. е. неизвестна в области В(т,)В(/)Л (фиг. 1). Таким образом, выражение, входящее в правую часть (5.7), не может быть определено, а это означает, что если рассматривать интегральное уравнение (5.4) на возрастающем участке, то операция обращения временного оператора при решении уравнения (5.5) на правую часть (5.4) с подстановкой 01,(х, /), определенной для х В(1) лишь в момент времени t, является незаконной и метод последовательных решений интегральных уравнений (5.7), (5.5) неприменим. Наше предложение доказано. [c.377]

Здесь А X Y линейный оператор, действующий из банахова пространства X в банахово пространство У D (Л) — область определения, а R (А) — область значений оператора А. Уравнение (6.1) будем называть точным уравнением, а его решение — точным решением. Обозначим через 3" (X, У) множество линейных операторов, действующих из X в F. При некоторых ограничениях 3 X, Y) можно преобразовать в банахово пространство [372]. [c.137]

В этом случае существует вполне определенный ограниченный обратный оператор (а — К) , причем говорят, что а представляет резольвентное множество оператора К- Если областью значений ) оператора а — К является не все -пространство, а всюду плотное в нем подпространство, то априори оператор (а — К) определен только на этом подпространстве, хотя (для замкнутого оператора К) область определения можно немедленно расширить, включив в нее его предельные точки и потребовав, чтобы при выполнении условия [c.190]

В случае в равным образом существуют как правый, так и левый обратные операторы. В случае г существует левый обратный оператор но он определен только в области значений оператора а — /С- В этом случае оператор а — Кт может иметь правого обратного оператора, так как его существование означало бы, что областью значений оператора а — К является все -пространство. [c.192]

Пусть i n , п = О, 1,2,. . ., оо, есть полный набор ортонормированных векторов. Введем оператор а согласно уравнениям а Уд = О, аЧ п = л = 1, 2,. ... а) Указать область определения и область значений оператора а. Найти спектр оператора а, указав по отдельности точечный, непрерывный и остаточный спектры. Является ли а изометрическим оператором Имеет ли он левый или правый обратный оператор Если да, то каковы эти операторы Является ли а ограниченным оператором Является ли Он вполне непрерывным оператором Является ли он нормальным оператором Чему равны его верхний и нижний индексы Найти область аналитичности оператора резольвенты (г — )" . Для каких значений Y и для каких V уравнение Ч = V -г имеет решение Когда оно единственно б) Дать ответ па те же самые вопросы для оператора Ь =- а К [c.204]

Напомним, что оператор А из гильбертова пространства Mi в гильбертово пространство Жг есть функция, определенная на каком-то подмножестве из Ж и называемом областью существования А, D A) и принимающая значения в Жг, причем множество этих значений называется областью определения A,R A). Граф Г (Л) оператора А есть множество всех пар Ф, ЛФ , где Ф Г) А). Это подмножество из Ж Ф Жг- А линеен, если его граф — линейное [c.123]

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Пусть Tio, Ti—гильбертовы пространства и А Ло Л— произвольный линейный (не обязательно ограниченный) оператор с плотной в Ло областью определения V A). Через N(A) и R(A) обозначаем его ядро (нулевое подпространство) и образ (область значений). [c.51]

Для конечномерного оператора А построение обратного оператора (1 — А) сводится к задаче линейной алгебры. Действительно, обозначая через Ад сужение А на его область значений R A), найдем, что [c.63]

Рассмотрим другой способ вычисления сингулярных интегралов. Обнаружено, что если элементарная область есть плоский многоугольник, то сингулярный интеграл вычисляется в замкнутом виде (при этом предполагается, что плотность постоянна в пределах области). Заметим, что в этом случае изымаемая из рассмотрения часть области (согласно определению сингулярного интеграла) есть круг. Разумеется, использование указанной формулы требует осуществления предварительной полигонализации поверхности (если она первоначально криволинейна). Наиболее просто получается указанный результат, если область является прямоугольником и опорная точка выбрана в его центре. Из формулы (1.29) следует, что скачок предельных значений оператора напряжений равен удвоенной плотности, а из условий симметрии следует, что его значения с разных сторон совпадают по величине и обратны по знаку (поэтому предельное значение оператора напряжений равно самой плотности с учетом знака). Такой прием позволяет сразу найти не только сам интеграл, но и его сумму, включающую внеинтегральное слагаемое. [c.574]

Определение X. п. локальных операторов релятивистски инвариантно, несмотря на явно выделенную роль времени, вследствие обращения в пуль коммутаторов (или антикоммутаторов) в иростраиственноно-добиой области. При перестановке сомножителей в процессе приведения к X. п. оператор Т действует так, как,если бы все коммутаторы и антикоммутаторы были равны нулю. Поэтому операторы можно просто коммутировать или антикоммутировать под знаком X. п., не меняя его значения, что особенно привлекательно с математич. точки зрения. Следовательно, X. и. есть симметричная ф-ция своих аргументов, если все операторы а одинаковы. [c.382]

Это положение связано с проблемой разложения эрмитова оператора по его собственным значениям, которая была С( рму-лирована в уравнении (III ) на стр. 85. Прежде всего нужно более подробно исследовать область определения Оператора Н, применяемого к многообразию функций /, для которых существует J I/ dq. Очевидно, нельзя требовать, чтобы операторН был определён повсюду, так как это не осуществляется уже для оператора умножения на q (/в /1 9 существует н для всех /). Можно, однако,. потребовать, чтобы область определения Н была повсюду плотной зто означает, что каждому /, для которого имеет смысл Hf, можно сопоставить такое g, чтобы существовало Hg, и J ]/—gl ij было сколь угодно мало. Кроме того, следует потребовать линейную замкнутость Я из [c.106]

Прикладные программы должны иметь возможности для передачи СУБД команд на обработку данных и интерпретации сообщений о результатах обработки, выдаваемых системой. Для этих целей в СУБД предусмотрен набор макрокоманд или операторов вызова, которые в совокупности получили название языка манипулирования данными (ЯМД). Типичными командами ЯМД являются команды открытия и закрытия наборов записей, определения местонахождения указанного экземпляра записи, передачи содержимого требуемых зле-ментов данных из определенного зкземпляра записи, замены элементов данных значениям из рабочей области программы, вставки записи, находящейся в рабочей области программы, в одну или несколько групп записей, удаления экземпляра записи из последовательности записей, запоминания нового экземпляра записи в базе, данных и создания необходимых связей и ссылок, удаления из базы данных зкземпляра записи и уничтожения его связей и т.д. [c.88]

На рис. 1 приведена шкала комбинированного счетчика. Счетчик показывает 3,99. Очень часто эта цифра воспринимается как 3,0 и вероятность ошибки тем больше, чем ближе стрелка к вертикальному положению. Синтетическая природа нашего восприятия превращает мир объективно существующих вещей в мир вещей, исполненных определенных значений для людей, — это и помогает, и мешает художнику-конструктору в его деятельности. Художник-конструктор создает геометрический рисунок лицевой части приборов и других средств индикации. Геометрический рисунок как своего рода картина является уже сам по себе синтезирующим элементом (т. е. произведенной за оператора производственной мыслительной деятельности). Это налагает на художника-кон-структора определенную ответственность. Вместе с тем картинность представления информации, которую невозможно заменить никакими описаниями, представляет для художника-конструктора богатейшую область применения его творчества. [c.17]

При организации рабочего места оператора, расположенного в цехе, и особенно рабочего поля зрения оператора важно применять сигнально-предупреждающие цвета. Яркие и броские цветовые сочетания обладают способностью легко привлекать внимание, что и позволяет применять их в производственной среде в качестве сигналов, предупреждающих об опасности, информирующих о необходимости немедленного повышения внимания или указывающих пути ликвидации опасных ситуаций. Длительный опыт использования символического значения цветов в разных областях человеческой деятельности выявил отдельные группы цветов, наиболее подходящие для этих целей. В качестве сигнальнопредупредительных цветов приняты три основных цвета — красный, желто-оранжевый и зеленый. В качестве цветов, употребляемых в сочетаниях с основными, приняты полярные ахроматические цвета — белый и черный. Красный цвет употребляется в значении Внимание , Остановка действия , желтый и зеленый цвета соответствуют понятию Безопасность . Синий цвет не является сигнально-предупреждающим цветом, однако его отличие от трех основных цветов позволяет объединить этим цветом большую группу плакатов и знаков технологического назначения, не связанных с вопросами безопасности. Общее цветовое решение поля зрения должно учитывать психофизиологическое воздействие цвета на оператора. [c.44]

ЛИНЁЙНЫЙ оператор а в векторном пространстве L—отображение, сопоставляющее каждому вектору е нек-рого множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ле (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след, условия I) D — линейное множество, т. е. для любых его элементов ei и и любых комплексных чисел и Яа вектор A.iei+3 2 2 также принадлежит D 2) Л. о. переводит линейную комбинацию векторов в ту же линейную комбинацию соответствующих значений А k ei+X e2) = liAei+ iAe2- [c.590]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Применение центрированных компактных схем. Основной областью применения компактных схем четвертого порядка, не учитывающих направления распространения возмущений, оказались задачи о течении несжимаемой жидкости. При этом в большинстве случаев использовались уравнения Навье—Стокса в переменных вихрь -функция тока (31, 34] (см. также [1]). Основным лимитирующим фактором для этих схем являются малость сеточзюго числа Рейнольдса Яе = где и, и А — локальные значения скорости и шага сетки. Если это число не превосходит нескольких еди1шц, то самосопряженная часть разностного оператора компенсирует отрицательное воздействие его кососимметричиой части и сеточные решения не искажаются (или не сильно искажаются) схемной немонотонностью. Если оно мало или равно бесконечности (г =0),то применение центрированных алгоритмов, как будет показано ниже, может привести к неудаче. [c.192]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...