Деформации тензор Коши

Gij — компоненты скоростей деформаций тензора Коши — [c.87]

Обладающая памятью жидкость, о которой говорилось в разд. 2-6, может быть чувствительной к деформациям, имевшим место в прошлом, т. е. в некотором смысле, который будет строго определен в гл. 4, напряжение в момент времени t может зависеть от всей предыстории, характеризуемой тензором Коши или Фингера. Уравнения (3-2.36) и (3-2.37) позволяют выразить это влияние предыстории в терминах кинематических тензоров и B v), [c.103]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Приведенная зависимость совпадает с формулой для линейно-упругого тела. Она распространяется на случай больших деформаций при замене составляющих тензора малых деформаций компонентами тензора Коши-Грина. В соответствии с зависимостью (9.9.7) [c.182]

В 3 и 4 этой главы были введены четыре меры деформации мера Коши и тензор М =, обратный мере [c.82]

Симметричный тензор е называется линейным тензором деформаций тензором деформаций Коши), а антисимметричный тензор W — линейным тензором ротации. При бесконечно малой деформации тензор е характеризует искажение материальной частицы, а тензор W — ее поворот. В декартовой системе отсчета запись этих тензоров через компоненты имеет вид [c.39]

Утверждение. Определяющие соотношения для любых материалов (упругих и неупругих), справедливые при геометрически линейном деформировании тела, обобщаются на случай геометрически нелинейного деформирования при условии малости деформаций прямой заменой тензора напряжений Коши а, тензора деформаций Коши е и их скоростей , к соответственно вторым тензором напряжений Пиола — Кирхгофа S, тензором деформаций Грина — Лагранжа Е и их материальными производными S, Е. При такой деформации тензоры S и Е имеют простую механическую интерпретацию компоненты этил тензоров приближенно равны компонентам тензоров и ё, полученных из тензоров а и е операцией поворота, осуществляемой ортогональным тензором R. Такие же приближенные равенства справедливы для материальных производных компонент-зтих тензоров, т. е. S w сг, Е 6, S сг, Ё 6. [c.78]

При отсутствии наложения деформаций тензор G = Gq,i совпадает с тензорной мерой деформаций Коши-Грина (4.3.2.21), а тензор F = = од совпадает с тензорной мерой деформаций Фингера (4.3.2.28). [c.301]

Переменная с представляет собой левый тензор Коши—Грина и характеризует влияние текущих деформаций на состояние и ориентацию материала напротив, переменная q отражает влияние прошлой предыстории деформирования на состояние и ориентацию материала [c.153]

В общем случае малой деформации соотношения Коши связывают три компонента вектора перемещения Uk с шестью (вследствие симметрии) компонентами тензора деформации ij. Следовательно, для определения компонентов вектора перемещения необходимо проинтегрировать шесть уравнений вида [c.46]

Во многих книгах по сопротивлению материалов и теории упругости плоской деформацией называют состояние с плоским полем коэффициентов длины (тензоров Коши или Грина), когда это поле одно и то же во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению нулевого главного удлинения. Для плоской деформации, перпендикулярной к оси Хд, вектор перемещения является функцией только XI и Хг. Соответствующие компоненты перемещения для этого случая обозначим так [c.132]

Вводя компоненты тензоров деформаций по Коши си и по Грину Скь [7], можно выразить (1.2.14) через компоненты лагранжева и г эйлерова тензора деформаций следующим образом [c.13]

При всех преимуществах тензора Коши—Грина С его нельзя считать единственно возможным вариантом задания деформации. Среди Других допустимых вариантов отметим тензор Генки [50] [c.51]

Введенная характеристика деформации С напоминает о тензоре Коши—Грина ( 3.4). [c.151]

Возвратимся к выражению (3.40) плотности функции Лагранжа Известно, что частные производные связаны с компонентами тензора деформаций формулами Коши. [c.80]

Симметричные тензоры С, А, С, А — тензоры деформации, С — тензор Коши—Грина, А —тензор Альманзи. Из определений [c.24]

Постановка задачи остается неизменной при наложении на задание (1) меры Коши не создающего деформации тензора Е. Это позволяет принять G(aS ) = E в фиксированной частице о// . [c.50]

Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в перемещениях , получаемых после замены тензора напряжений его представлением через линейный тензор деформации, а последнего— выражением через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами (Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации (Коши — Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации. [c.123]

Если МЫ возьмем в качестве отправной величины относительный градиент деформации Р(, определенный соотношением (II. 8-5), и применим к нему теорему о разложении, мы получим относительный поворот Rt, относительные тензоры растяжения Ui и V( и относительные тензоры Коши—Грина С( и В [c.102]

Основываясь на соотношениях (1.9) и (1.20), можно установить связь между компонентами тензоров Коши и Пиолы-Кирхгофа Вначале предположим, что работа деформации потенциальна, напряженное состояние - равномерное. Удельная энергия UQ, отнесенная к единице объема до деформации, и удельная энергия А , отнесенная к единице объема в деформированном состоянии, выражаются одна через другую очевидным образом [см. формулы (1.5), (1.6)] [c.76]

Заметим, что соотношения (1.26), (1.27), (1.30), (1.31) между компонентами тензоров Коши и Пиолы-Кирхгофа никак не связаны ни с зависимостью напряжений от координат, ни с потенциальностью работы деформации. Поэтому они справедливы независимо от того, выполняются или нет высказанные ранее предположения, которые потребовались лишь для использования формулы (1.20). [c.78]

Перейдем к эйлеровым переменным. Если вместо тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа ввести тензор Коши, а лагранжевы координаты заменить эйлеровыми, то все рассуждения, которые привели к равенствам (3.6), (3.8) сохраняют силу. Следовательно, сохраняются и указанные равенства. Они, однако, не тождественны первоначальным, так как входящие в них величины имеют другой смысл. Покажем это на примере одноосного напряженного состояния несжимаемого материала (материала, объем которого при деформации не меняется). Пусть единственная отличная от нуля компонента тензора Коши [c.86]

Если между моментами времени х ш t материал перемещается как твердое тело, все рассмотренные в этом разделе тензоры, за исключением F и R, совпадают с единичным тензором. При анализе некоторых задач удобно использовать тензоры, которые для случая перемещения как твердого тела сводятся к нулевому тензору. Поэтому в литературе используются дополнительные тензоры (часто называемые тензорами деформации) мы будем рассматривать из этих тензоров только тензор деформации Коши G и тензор деформации Фингера Н [c.96]

Из уравнения (3-4.3) следует, что компоненты метрического тензора yij (т) совпадают в любой момент с ковариантными компонентами тензора деформации Коши [c.112]

Уравнения (4-3.2) и (4-3.8) показывают, что напряжение т однозначно определяется предысторией U. Это в свою очередь означает, что т также однозначно определяется тензором деформации Коши G. Действительно, при заданном G предыстория С немедленно определяется в виде [c.142]

Предположим, что градиенты перемещений < ,7(Зх/<С 1, dui/dxj< l. Тогда из (3.16) получаем тензор малых деформаций Коши [c.72]

Выясним механический смысл тензора деформаций Коши (1.36). Для этого применим уже найденные формулы (1.30) и (1.32), воспользовавшись при этом малостью величин е у. Пусть вектор Vo в (1.30) совпадает по направлению с вектором ki. vo = feb тогда [c.10]

Связь компонентов тензора деформаций ij с вектором перемещений и дается формулами Коши [c.121]

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Характеристическая поверхность тензора деформации (1.71) называется поверхностью деформации Коши. [c.20]

Компоненты вектора перемещения щ (перемещения) и компоненты тензора деформации etj связаны между собой дифференциальными зависимостями Коши (1.44) или, что то же самое, формулой (1.40). Эти зависимости позволяют вычислить компоненты тензора деформации stj непосредственным дифференцированием перемещений мг, которые в соответствии с предположением о сплошности тела являются непрерывными и однозначными функциями координат л ,, произвольной точки тела (1.3). Естественно, что компоненты тензора деформации должны быть также однозначными функциями л ,, и иметь непрерывные производные. [c.22]

Таким образом, диагональные компоненты тензора (1.2.46) характеризуют изменшие линейных размеров окрестности материальной частицы и называются линейными конечными деформациями тензора О.Коши. [c.32]

Ранее (1.2.50) было установлено, что диагональные компоненты тензора (1.2.46) ответственны за изменение линейных размеров окрестности материальной частицы. Из (1.2.53) следует, о при Q=0 (i k) изменения угла, ставшего к моменту времени t прямым, не происходит. Следовательно, изменение угловых размеров этой окрестности, в основном, определяется боковыми компонентами тегаора (1.2.46), которые называются сдвиговыми (угловыми) конечными деформациями тензора О.Коши. [c.33]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Вообще в механике сплошной среды вводятся и другие тензоры деформаций, например тензор Грина (называемый также правым тензором Кошн — Грииа) или тензор Фиигера (называемый также левым тензором Коши — Грииа). Эти тензоры деформаций связаны с вышеприведенными и применяются, если система координат не является декартовой. [c.37]

Рис. 1.8-3. Правый тензор Коши—Грииа С равен / в том и только в том случае, когда деформация жёсткая. Две деформации, отвечающие одному тензору С, отличаются на жёсткую деформацию.

Упражнение 1Х.4.2. (Грин Ривлин Шилд, Трусделл). Пусть В —левый тензор Коши—Грина для деформации из неискаженной конфигурации изотропного материала в конфигурацию, в которой тензор напряжений равен, скажем. То, так что [c.302]

Слово линейный относится здесь к зависимости напряжений от прошедшей предыстории С — относительной деформа- ции. Природа памяти материала линейна в том смысле, что неупругие напряжения, соответствующие предыстории деформации, приводящей к относительному правому тензору Коши — Грина Сг, представляют собой сумму неупругих напряжений, соответствующих любым двум предысториям деформации, сумма относительных правых тензоров Коши — Грина которых равна С . От текущего тензора деформации (i) напряжения могут зависеть произвольным образом. Колеман и Нолл заметили, что выбор в качестве исходной любой другой из бесконечного, множества приведенных форм для общего определяющего соотношения также приводил бы тем же самым способом к линейному результату, но другому. Поскольку теория, которая линейна при одной мере деформации ), например С<, может быть нелинейной при другой мере, например U<, то получаемые таким образом теории конечных деформаций, вообще говоря, отличаются одна от другой, но, разумеется, все они согласуются друг с другом в смысле аппроксимации (1), т. е. напряжения, соответствующие, согласно этим теориям, семейству предысторий градиента такому, что IIF — F (041-> О, асимптотически равны между собой. [c.389]

Тензор (1.36) был введен О. Коши и обычно называется тем-30ром деформаций Коши. [c.9]

Формула Чезаро ввиду громоздкости подынтегральных функций обычно не используется для определения перемещений. Значительно проще перемещения можно определить через компоненты тензора относительного перемещения ( / по заданным компонентам тензора деформации (е -). Из дифференциальных зависимостей Коши (1.44) непосредственно находятся три компоненты тензора (И(, ) [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...