Шестимерное пространство

В шестимерном пространстве с появлением шестой оси число проекций опять увеличивается. [c.49]

Рассмотрим макроскопическую систему в объеме V из М одинаковых бесструктурных классических частиц. Состояние каждой частицы определяется ее положением и импульсом, т. е. векторами ч и р или декартовыми координатами [c.96]

Область 3)р симметрична, если рУ = р , поэтому в этом случае можно рассматривать только шестимерную область 3)р с пятимерной границей 2р в шестимерном пространстве с коор- [c.423]

Рассмотрим сначала случай, когда при фиксированной температуре поверхность нагружения 2р представляет собой пятимерную поверхность в шестимерном пространстве значений p t. Тогда поверхности, определяемые уравнениями (3.2), будут совпадать с поверхностью нагружения. [c.431]

Заметим, что главные компоненты р симметричного тензора напряжений известным образом выражаются через инварианты тензора напряжений. Поэтому, если потребуется, можно составить уравнение поверхности текучести, соответствующей условию пластичности Треска, и в шестимерном пространстве Оно будет иметь достаточно сложный вид. [c.455]

Интегрирование здесь выполняется по всем координатам обоих электронов, т, е. dx представляет собой элемент объема шестимерного пространства и в сферических координатах имеет вид [c.152]

Общее — шестимерное пространство напряжений < 11 3) [c.75]

ПЛОСКОМ напряженном состоянии изображен на рис. 2. Геометрическую интерпретацию критерия разрушения можно распространить и на общий случай трехмерного напряженного состояния, когда он представляется гиперповерхностью в шестимерном пространстве. Ниже будут приведены параметры материала для-трехмерного напряженного состояния, но для сохранения геометрической наглядности будет рассматриваться лишь плоский случай. [c.407]

Фазовое пространство и его квантование. В классической механике состояние частицы определяется заданием трех ее координат (х, у, z) и трех составляющих импульса (р. Ру. Рг)- Представим себе шестимерное пространство с осями координат х, у, г, р , ру, р -Состояние частицы в этом пространстве в каждый момент времени определяется точкой с координатами х, у, г, Рх, Ру, Рг- Такое пространство называют фазовым, а точки х, у, г, рх, Ру, pz, определяющие состояние частицы, называют фазовыми точками, [c.116]

Определение движения одной материальной точки является задачей механики в трех измерениях. Можно рассматривать две материальные точки положение каждой точки определяется тремя координатами иначе говоря, задачу о системе, состоящей из двух точек, можно рассматривать как задачу об одной точке, движущейся в шестимерном пространстве. Различие, в известном отношении, заключается только в терминологии трудности философского характера легко устранить, обращаясь к шести переменным вместо шестимерного пространства. Тем не менее такое геометрическое представление может быть весьма наглядным и полезным, так как для пояснения доказательств можно использовать совершенно простые чертежи. [c.20]

Уравнения (1.1.2) определяют движение частицы в обычном пространстве. Аналогично, уравнения (1.1.5) определяют движение изображающей точки с координатами х, у, z, и, v, w в пространстве шести измерений. Система (1.1.5) содержит шесть зависимых переменных, тогда как система (1.1.2) содержит три зависимые переменные. Важным преимуществом уравнений (1.1.5) является то, что положение изображающей точки в шестимерном пространстве в момент определяет ее положение в момент t, по крайней мере для некоторого интервала значений t, включающего момент i = т. В дальнейшем мы часто будем прибегать к подобного рода замене и дифференциальных уравнений второго порядка 2п уравнениями первого порядка. [c.17]

Для обобщения моделей предыдущего параграфа на случай сложного напряженного состояния удобно исходить из геометрической интерпретации процесса нагружения. Выделим в исследуемом теле элемент в форме параллелепипеда настолько малого размера, что его напряженное состояние допустимо считать однородным. Отнесем этот элемент к осям х , лгз, (рис. 10.7) и обозначим компоненты напряжений, действующих по его граням, через Oij i, /=1, 2, 3). Так как тензор напряжения с компонентами 0,7 симметричен (ajy = ay,), то для характеристики напряженного состояния выделенного элемента достаточно задания шести величин ст,у. Сопоставим напряженному состоянию элемента точку с декартовыми координатами в шестимерном пространстве, которое будем называть пространством напряжений. Ненагруженному состоянию элемента отвечает в пространстве напряжений начало координат. Нагружение образца сопровождается изменением значений и, значит, в пространстве напряжений точка, изображающая напряженное состояние исследуемого элемента, вычерчивает некоторую траекторию —путь нагружения. При одноосном напряженном состоянии все 0 у, кроме одного, например, Сц, равны нулю. В этом случае путь нагружения совпадает с осью СТц. Появление пластической деформации согласно моделям предыдущего параграфа связано с достижением Оц значения характерного для данного материала. Таким образом, на оси Ои можно выделить такую содержащую начало координат область, внутри которой состояние материала при первоначальном нагружении упруго. На рис. 10.8 эта область обозначена Q ее границами являются точки с координатами 1 а,, что соответствует случаю равных пределов текучести при растяжении и сжатии. [c.729]

Рассмотрим идеально пластическое тело. Поверхность течения р этом случае является фиксированной. Это означает, что в шестимерном пространстве напряжений она представляет собой гиперповерхность, задаваемую- условием [c.732]

Дифференциальные соотношения (10.9) не могут быть проинтегрированы - в противном случае мы могли бы получить связи между а,7 и е,у в виде конечных соотношений. Отсюда следует, что напряженное состояние элемента тела в данный момент определяется не только значениями компонентов деформации в этот же момент, а всей предшествующей историей деформирования. Другими словами, двум разным путям деформирования (в шестимерном пространстве деформаций, аналогичном пространству нап- [c.736]

До сих пор мы встречались с телами, наделенными свойствами упругости и пластичности. Характерной чертой этих тел является независимость их поведения от временных факторов. Для упруго-пластического тела в силу неоднозначности связи между напряжениями и деформациями порядок приложения воздействий отражается на окончательном состоянии. Например, если некоторая деформация тела достигается по разным путям деформирования в шестимерном пространстве деформаций, то окончательные значения напряжений, вообще говоря, окажутся разными. Однако история деформирования не имеет здесь временного характера, т. е. скорости приложения воздействий несущественны. Это означает, что реакция тела на воздействие происходит мгновенно, без запаздывания. В частности, напряжение не зависит от того, как долго поддерживается заданная деформация, а деформация при заданных постоянных значениях напряжений не меняется во времени. [c.751]

Вектор в шестимерном пространстве имеет вид [c.180]

Отсюда видно, ч го применение редукции уПроЩает решение общих уравнений механики. Как известно, в шестимерном пространстве всякий пространственный вектор Р определяется шестью координатами X, Y, Z, М , Му и М , для которых существует равенство [c.223]

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

Применимость модели идеально-упругого тела к реальным телам, как и любой другой реологической модели, должна быть подтверждена экспериментально. Однако осуществима проверка только следствий, получаемых теоретически из исходного закона. Чем больше накоплено таких следствий, тем больше возможностей создается для экспериментального исследования. Трудная задача установления закона состояния материала должна быть передана экспериментаторам как можно позже (Синьорини). Необходимо еще добавить, что непосредственному измерению доступно только поле деформаций, тогда как о напряжениях можно судить только по их интегральным эффектам— параметрам нагружения (растягивающая сила, крутящий момент, давление на поверхности образца и т. п.). Поэтому опыты чаще всего проводятся на образцах достаточно простой геометрической формы (призматический стержень, тонкостенная цилиндрическая трубка) в условиях статической определенности компонент напряженного состояния. Экспериментальные знания сосредоточены лишь на многообразиях одного, двух, редко и отрывочно — трех измерений шестимерного пространства компонент тензора деформации. Эти недостаточные сведения могут служить подтверждением не одного-единственного, а отличных друг от друга представлений закона состояния. Довольствуются принятой формой закона состояния, если констатируется его достаточно удовлетворительное подтверждение опытными данными в использованном диапазоне измеряемых величин. [c.629]

Поверхность прочности в общем случае трехмерного ( объемного ) напряженного состояния не поддается изображению, так как требует перехода к шестимерному пространству, — по осям координат должны откладываться шесть величин (см. табл. 2.1), характеризующих напряженное состояние в опасном элементе орто-тропного материала (шесть компонент тензора напряжений). [c.146]

Для наглядности выводов (те же результаты можно, разумеется, получить, используя неравенство Буняковского—Шварца) условимся изображать напряжение вектором (s ,. .., в шестимерном пространстве. Тогда условию текучести будет соответствовать некоторая выпуклая гиперповерхность (поверхность текучести). В силу [c.87]

Шестимерное пространство заменяется трехмерным пространством инвариантов, в котором [c.169]

Нагружение называют пропорциональным, если все компоненты напряженного состояния (при жестком нагружении — деформированного) изменяются пропорционально общему параметру. Если это условие не соблюдается, его называют непропорциональным, или сложны м. В этом смысле характер нагружения может быть отражен построением годографа вектора напряжений (деформаций) в шестимерном пространстве его компонентов. При пропорциональном нагружении годограф представляет собой прямую, проходящую через начало координат, при непропорциональном — кривую или ломаную линию. [c.15]

Ассоциированный закон течения можно интерпретировать с помощью шестимерного пространства Напряжений в котором условию текучести соответствует поверхность, называемая поверхностью текучести. [c.13]

На рис. 240 в качестве примера дан комплексный чертеж треугольника, расположенного в шестимерном пространстве. К рассмотренным четырем осям прибавляются еще две (табл. 7). Такое расиоложенпе проекций удобно для изображения объектов в И Юстранствах высших мерностей. [c.46]

Аналогично получены пять проекций треугольника (рис. 258) расположенного в шестимерном пространстве. В случае надобности всегда можно провести оси проекций. Здесь штрих-пунктирными линиями показны оси, проведенные для удобства через проекции вершин В и В5. [c.48]

ИВЗП), затем из В2 радиусом B2L проведем дугу до пересечения с прямой В2М, параллельной оси А". Точка А. иере.ме-щается параллельно оси А, i на линии связи определится точка AI. Расстояние B.iM есть истинная величина (ИВ4П). На рис. 262 найдена истннная величина отрезка АВ в шестимерном пространстве. [c.50]

Вывод. Имея многомерное пространство и в нем объект заданный величинами координат его точек,. можно постепенно понижать мерность на единицу, переходя к проекциям объекта путем приравнивания к нулю координат его точек. Так, например, имея дело с пятиыерным объектом, расположенным и шестимерном пространстве с его координатными осями ОХ, 0Y. 0Z, OR, OS. ОТ, и заданными величинами координат, начнем постепенно приравнивать к нулю величины координат,, оставляя только любые две. Тогда получим возможность дать изображение проекции этого объекта на плоскость проекций, определяемую этими двумя оставленными координатами. Таким путем можно получить пятнадцать двухмерных проекций шестимерного объекта на двухмерные поля, образуемые каждой парой взаимно перпендикулярных осей, [c.54]

Тогда векторы о и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е , Сь и выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров и е , обозначать, скажем, О12 и Оц как разные компоненты вектора о и не умножать вц i j) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- [c.236]

Представление в форме скалярного произведения векторов в шестимерном пространстве и потребовало обозначений е,. = 2б2з, . , в девятпмерном пространстве было бы просто = е з. Условие равенства нулю работы на произвольном замкнутом цикле будет следующим [c.237]

Преобразования пространственной системы координат т, у, индуцируют соответствующие частные преобразования координат р в девятимерном или в шестимерном пространствах напряжений. [c.423]

Как было уже указано, вместо девятимерного пространства напряжений при р — р достаточно рассматривать только шестимерное пространство напряжений. Очевидно, что для изотропных материалов существенные особенности области 2р можно описать в трехмерном пространстве главных компонент тензора напряжений. Для изотропных тел компоненты р входят в функции (2.5) и (2.6) только через главные напряжения Ръ Ргу Рз- [c.427]

Все большее применение при проектировании н аходят композиционные материалы большой толщины, для которых не выполняется предположение о плоском напряженном состоянии. При введении общего, шестимерного пространства напряжений требуются более сложные методы исследования, основанные на уточненных теориях пластин и оболочек, учитывающих трансверсальные касательные и нормальные напряжения, теории упругости, методе конечных элементов (см. табл. 1, п. 1). Соответственно необходим и более общий критерий разрушения. [c.93]

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы три — поступательного перемещения и три — вращательного движения. Его шестимерное пространство конфигураций имеет один нестягиваемый в точку контур и оно искривлено по отношению к кинематическому линейному элементу ( 84). [c.38]

Чтобы было проще представить себе вытекающие отсюда следствия, введрм, наряду с шестимерным пространством напряжений, трехмернре пространство главных напряжений, в котором [c.732]

Если рассматривать а —С/ и defj как векторы в шестимерном пространстве, то соотношение (10.10) выражает неотрицательность скалярного произведения этих векторов. Отсюда вытекает, что если в точке с координатами а , лежащей на поверхности текучести 5, провести плоскость, перпендикулярную к вектору dfiP, то область Q будет располагаться по одну сторону от етой плоскости (рис. 10.13). Поскольку точка Оу взята на поверхности S произвольно, то из сказанного следует выпуклость этой поверхности. В случае, когда поверхность S имеет единственную [c.737]

В П. т. используется понятие пространства напряжений. В шестимерном пространстве напряжений П декартовы координаты соответствуют компонентам тензора напряжений Oij. Любому напряжённому состоянию в пространстве П соответствует вектор нанряже-вий о с компонентами о . В пространстве П определяется поверхность нагружения 2, ограничивающая все упругие состояния данного элемента тела т. е. все состояния, к-рые могут быть достигнуты из начального без приобретения остаточных деформаций). Напряжённые состояния, соответствующие точкам поверхности нагружения 2, соответствуют пределам текучести при сложном напряжённом состоянии. При изменении напряжённого состояния поверхность нагружения изменяет свою форму. [c.629]

Хорошо известно, что при малых внешних нагрузках (описываемых линейной теорией упругости) равновесные конфигурации тела устойчивы. В шестимерном пространстве деформаций ёа ёа) они занимают некоторую область, содержащую неде-формированную конфигурацию. Точки предельной поверхности этой области устойчивости, отвечающие равенству [c.281]

Тогда векторы а и е служат изображениями этих тензоров в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение неединственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров a j и Sij. Ильюшин ввел пятимерные пространства для девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых (в силу равенства нулю первых инвариантов). [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...