Тензор Коши

Тензоры и В часто встречаются в литературе. Мы будем называть их соответственно тензорами Фингера и Пиолы. Геометрическая интерпретация тензоров Коши, Грина, Фингера и Пиолы приведена ниже. [c.94]

Из уравнения (3-1.24) следует, что дифференциал dx можно вычислить в произвольный момент X, если известны расстояние между двумя точками в момент наблюдения dXj и тензор Коши С. Аналогично из уравнения (3-1.10) ) имеем [c.95]

Сравнение уравнений (3-1.24) и (3-1.25), а также (3-1.29) и (3-1.30) дает следующие соотношения между тензорами Коши и Пиолы, а также между тензорами Фингера и Грина [c.96]

Укажем теперь процедуру, по которой, зная движение, можно вычислить компоненты тензоров Коши и Фингера. Пусть три скалярные проекции векторного уравнения (3-1.1) в координатной системе x имеют вид [c.96]

Рассмотрим теперь ковариантные компоненты тензора Коши в точке Xj. По определению [c.97]

Практическая польза от введения тензоров и Bj заключается в возможности разложения описывающих предысторию тензоров Коши и Фингера в степенные ряды вблизи момента наблюдения. При достаточных условиях гладкости имеем [c.103]

Обладающая памятью жидкость, о которой говорилось в разд. 2-6, может быть чувствительной к деформациям, имевшим место в прошлом, т. е. в некотором смысле, который будет строго определен в гл. 4, напряжение в момент времени t может зависеть от всей предыстории, характеризуемой тензором Коши или Фингера. Уравнения (3-2.36) и (3-2.37) позволяют выразить это влияние предыстории в терминах кинематических тензоров и B v), [c.103]

Здесь использован (и будет использоваться в дальнейшем) специальный символ <=> для того, чтобы подчеркнуть особый смысл равенства правой и левой частей уравнения. Фактически Уи (т) суть ковариантные компоненты единичного тензора в системе координат величины же ( )j суть ковариантные компоненты тензора Коши в системе координат х Хотя их две матрицы совпадают при любом т, ясно, что речь идет о двух различных тензорах равенство компонент двух тензоров еще не означает равенства тензоров, если компоненты не рассматриваются в одной и той же системе координат. [c.112]

Действительно, предпочтение тензора Коши тензору Фингера определяется только традицией, однако оба тензора в равной мере можно использовать для полного описания полной истории деформирования. [c.120]

Аналогично, физическая интуиция подсказывает, что, если не рассматривать влияние прошлых деформаций, должны иметь особую значимость деформации, происходящие непосредственно в момент наблюдения. Поскольку деформации определяются по отношению к некоторой конфигурации, принимаемой за отсчетную, поясним нашу точку зрения, рассмотрев следующий пример, где за отсчетную выбрана конфигурация, не совпадающая с конфигурацией, принимаемой рассматриваемым жидким элементом в момент наблюдения. Рассмотрим два движения с одинаковыми значениями тензора деформаций (например, тензора Коши) во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где эти значения различны. (Вновь, как и в примере с температурой, по крайней мере одна из двух деформационных предысторий разрывна в момент наблюдения.) Физическая интуиция подсказывает, что при равенстве других переменных текущие значения свободной энергии в этих двух случаях будут различными. [c.158]

Другие кинематические тензоры, такие, как тензор Коши и т. п., определяемые относительно R, получаются из Рд обычным образом. [c.159]

В качестве другого примера рассмотрим движение, которое имеет предысторию, описываемую тензором Коши С (т), непрерывным во все моменты времени вместе со всеми своими производными, а также другое движение с предысторией С (т), совпадающей с историей С (т) в интервале < т f и отличающейся [c.212]

Если рассматривать уравнение (6-3.1) как справедливое для любой предыстории, а не только в предельном случае малых деформаций, оно представляет собой пример интегрального уравнения состояния. Физическая предпосылка, лежащая в основе уравнения (6-3.1), ясна предполагается, что все деформации, которые имели место в прошлом и измеряются при помощи тензора Коши, дают линейный вклад в текущее значение напряжения. Весовая функция / (s) представляет собой материальную функцию, которая полностью определяет Частный тип материала, удовлетворяющего такому правилу линейности. Линейное соотношение, выражаемое уравнением (6-3.1), известно также как принцип суперпозиции Больцмана. [c.216]

Деформированное состояние элемента материала описывается при малых по сравнению с единицей относительных удлинениях и углах поворота линейных волокон известным симметричным тензором Коши с компонентами [c.41]

Компоненты тензора Коши—Грина являются рациональными функциями компонентов G, в то время как компоненты U и V не являются такими функциями. [c.73]

Составляющие тензора Коши-Грина выражаются через перемещения следующими соотношениями [c.180]

Приведенная зависимость совпадает с формулой для линейно-упругого тела. Она распространяется на случай больших деформаций при замене составляющих тензора малых деформаций компонентами тензора Коши-Грина. В соответствии с зависимостью (9.9.7) [c.182]

Напряженное состояние рассматриваемого тела описываем тензором Коши [c.305]

Gij — компоненты скоростей деформаций тензора Коши — [c.87]

Переменная с представляет собой левый тензор Коши—Грина и характеризует влияние текущих деформаций на состояние и ориентацию материала напротив, переменная q отражает влияние прошлой предыстории деформирования на состояние и ориентацию материала [c.153]

Описание напряженного состояния с помощью тензора Коши Т является естественным и физически наглядным, поскольку в его определении используются реальные величины в актуальной конфигурации. Однако в нелинейной теории упругости зачастую сама актуальная конфигурация является предметом исследования и требует определения, в то время как отсчетная конфигурация является заданной. [c.19]

Тензор напряжений Пиола. Проблема определения напряженного состояния среды существенно упрощается введением тензора Пиола П [54, 61, 75], определенного в отсчетной конфигурации и связанного с тензором Коши соотношением [c.19]

Каждый раз, решив задачу и определив тензор И, для восстановления истинной картины напряженного состояния тела необходимо, используя связь между тензорами Пиола и Коши, вернуться к тензору Коши. [c.19]

В отличие от тензора Пиола, тензор напряжений Кирхгофа является симметричным и связан с тензором Коши соотношением [c.20]

Для вычисления участвующей в представлении (2.3.4) конвективной производной тензора Коши воспользуемся представлением тензора Т в форме (1.5.2). [c.41]

Из выражений момента (22.35) и m (6.15) при m=m =0 получаем полные условия симметрии тензора напряжений Коши. Это будет, например, при коллинеарности векторов сЕ" и ji "B. Несимметрией тензора Коши можно пренебречь, если т мал сравнительно с действующими в среде основными напряжениями т. е. если max [c.272]

Напряженное состояние слоя взаимодействия в случае плоского состояния определяется [3] тензором Коши следующего вида [c.548]

На основе этих несимметричных тензоров вводятся симметричные тензоры правый тензор Коши-Грина С [c.638]

Гораздо сложнее дело обстоит, когда определяющие соотношения связывают между собой тензоры второго ранга. Ведь даже для изотропного случая тензор напряжений Коши (23) связан с тензором Коши-Грина (7) с помощью упругого потенциала [c.650]

Во многих книгах по сопротивлению материалов и теории упругости плоской деформацией называют состояние с плоским полем коэффициентов длины (тензоров Коши или Грина), когда это поле одно и то же во всех плоскостях, перпендикулярных к направлению нулевого главного удлинения. Для плоской деформации, перпендикулярной к оси Хд, вектор перемещения является функцией только XI и Хг. Соответствующие компоненты перемещения для этого случая обозначим так [c.132]

ЧТО свидете1 ьствует о том, что тензор Фингера измеряет изменения площади точно так же, как тензор Коши измеряет изменение длины ). При помощи аналогичной процедуры можно показать, что [c.96]

При достаточно медленном течении уравнения (6-3.2) и (6.2.4) дают одинаковые напряжения, или, говоря более точно, одинаковые с точностью до членов порядка а-, где а — коэффициент замедления. Однако они дают различные результаты, если рассматривается движение с произвольной скоростью . Можно напомнить, что тензор Ривлина — Эриксена дает тейлоровское разложение достаточно гладкой предыстории деформирования, выраженной в терминах тензора Коши С, в то время как тензоры Уайта — Метцнера получаются при разложении в ряд предыстории, описываемой тензором [c.216]

Тензор Пиола П, именуемый иногда квазитензором механических напряжений , в отличие от тензора Коши является не симметричным тензором. Механический смысл тензора Пиола состоит в том, что в исходном соотношении (1.3.1), определяющем напряжение на ориентированной площадке в актуальной конфигурации, ориентированная площадка N dO заменяется ее представлением ndo в отсчетной конфигурации [c.19]

В частном случае движения твердого тела Р Р — I, поскольку йз = йз для любого е, но сам тензор Р все же не является тождественным, как это видно из (2.81). Следовательно, линейное растяжение основных расстояний вокруг точки Р должно описываться так называемым тензором Коши — Грина Р Р. Кроме того, из (2.85) видно, что Р Р должен быть положительно определенным, так что существует симметрический тензор 11, орределяемый формулой [c.32]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Вообще в механике сплошной среды вводятся и другие тензоры деформаций, например тензор Грина (называемый также правым тензором Кошн — Грииа) или тензор Фиигера (называемый также левым тензором Коши — Грииа). Эти тензоры деформаций связаны с вышеприведенными и применяются, если система координат не является декартовой. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...