Инвариант тензора деформаций

Первый инвариант тензора деформации в случае малых деформаций представляет собой относительное изменение объема. Действительно, возьмем в некоторой точке Р среды главные оси тензора деформаций. На них построим параллелепипед, имевший до деформации ребра, равные dxk. После деформации рассматриваемый параллелепипед, оставаясь прямоугольным, будет иметь ребра [c.55]

ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ [c.18]

Поскольку упругий потенциал W (8 ) является инвариантом и для линейно-упругого тела представляет собой функцию второго порядка компонент тензора деформации, то в случае однородного изотропного тела эту функцию можно образовать из линейного и квадратичного инвариантов тензора деформации [c.60]

Используя в дальнейшем для линейного инварианта тензора напряжений Ji (Oij) обозначение 2, а для линейного инварианта тензора деформации (ви) обозначение 0 [см. (1.70)], т. е. [c.62]

Свободная энергия F etj, Т) является инвариантом, а тело рассматривается изотропным. Поэтому F (etj, Т) может зависеть только от инвариантов тензора деформации Л (etj) — О, Jz ( ij) = и от температуры. Поскольку при изменении температуры элемент будет деформироваться даже при отсутствии воздействия на него окружающей среды, то выражение для F eij, Т) должно содержать слагаемое линейное относительно Л eij) = 0 с коэффициентом, пропорциональным д. = Т — То, так как это слагаемое должно обращаться в нуль при О = О, Тогда выражение для свободной энергии можно принять в следующем виде [c.68]

Так называемая деформационная теория пластичности представляет по существу распространение на пластическое тело того закона связи между напряжениями и деформациями, который устанавливается нелинейной теорией упругости. Пластический потенциал, который заменяет здесь упругий потенциал, для изотропного тела есть функция инвариантов тензора деформаций. Обычно нри этом применяются следующие гипотезы [c.533]

Напряженное состояние в каждой точке характеризуется тремя инвариантами тензора напряжений или тремя главными нормальными напряжениями, а деформированное состояние соответственно характеризуется гремя инвариантами тензора деформации или тремя главными удлинениями. [c.161]

Записать инварианты тензора деформации и вывести формулы для главных удлинений. [c.30]

Могут ли следующие выражения быть приняты за инварианты тензора деформаций (в обозначениях задачи 74) [c.63]

Сколько независимых инвариантов имеет тензор деформации Доказать, что между тремя основными инвариантами тензора деформации (1.11) и инвариантами, указанными в предыдущей задаче, существуют соотношения [c.63]

Второй инвариант тензора деформаций через главные де- [c.276]

В случае изотропного тела для получения более конкретного вида свободной энергии можно воспользоваться тем, что функция Ф на самом деле может. зависеть только от инвариантов тензора деформаций. Поэтому для изотропного упругого тела формулу (2.23), вводя подходящие обозначения для коэффициентов, можно представить в виде [c.320]

Первый инвариант тензора деформаций выражается через ш (г) следующим образом [c.335]

Здесь бц и 8 — инварианты тензора деформаций, Л ( , т) — ядро релаксации, Л ( ) — модуль упругомгновенной деформации. [c.298]

Три инварианта тензора деформации находятся аналогично инвариантам тензора напряжений и выражаются формулами, которые получаются из (5.40 ) путем замены компонентов в соответствии с аналогией То и Те [(6.19) и (6.20)]. [c.461]

Поясним физический смысл первого инварианта тензора деформации [c.462]

Таким образом, первый инвариант тензора деформации представляет собой относительное изменение объема. Такая интерпретация величины О позволяет утверждать, что, выделяя в окрестности рассматриваемой точки всевозможным образом ориентированные бесконечно малые кубики или тела иной формы с центром в этой точке, получим одинаковое относительное изменение объема вследствие деформации каждого из них. [c.462]

Имея в виду физический смысл первого инварианта тензора деформации, легко уяснить, что в первом слагаемом (6.21) заключена полная деформация изменения объема. На долю же второго слагаемого [c.464]

Здесь —первый инвариант тензора деформации, а — коэффициент температуропроводности (а = й/(ср), к и с — коэффициенты теплопроводности и теплоемкости) т] = уТо/й, Тд — температура тела в естественном (ненапряженном) состоянии, у = (ЗХ 2у)а X, V — постоянные Ламе, — коэффициент линейного теплового расширения, Д —оператор Лапласа. [c.470]

Характерным признаком двухосной деформации является равенство нулю третьего инварианта тензора деформаций (/3 = 0), так как только при этом условии один из корней уравнения (5.24) будет равен нулю. [c.103]

Инварианты тензора деформации 22 [c.607]

Инварианты тензоров деформаций. Инварианты симметричного тензора второго ранга находятся через смешанные компоненты. Имея одинаковые ковариантные компоненты тензоры дефор- [c.72]

Она также является инвариантом тензора деформации. Девиатор деформации обладает теми же свойствами, что и тензор деформации, но для него ву == вц = 0. [c.11]

Более сложны зависимости между главными инвариантами тензоров деформации и < . Их можно получить с помощью формул (5.2.4). Например, [c.85]

Материал, свойства которого одинаковы для образцов, вырезанных в любом направлении, называется изотропным. Более точно, это определение изотропии относится к весьма малым образцам, вырезанным в окрестности одной и Toii же точки. Изотропный материал может быть неоднородным, т. е. упругие свойства его могут меняться от точки к точке. Очевидно, что потенциал напряжений или упругая энергия изотропного тела не должен меняться при измененпи осей координат, поэтому он должен выражаться через инварианты тензора деформаций. Единственная однородная квадратичная форма, составленная из этих инвариантов, зависит от двух констант и выражается следующим образом [c.239]

Упругопластический потенциал U завист только от второго инварианта тензора деформаций, например от октаэдрического сдвига [c.533]

Нелинейная упругость. Как было показано, напряжения а -, Оу, а , Гху, Туг. могут быть представлены формулами (8.13), если материал обладает сной-ствами упругости, т. е. после снятия приложенных нагрузок он полностью восстанавливает свою прежнюю форму. В ортогональных осях Oxyz первый, второй и третий инварианты тензора деформации имеют вид (см. 6.7) [c.148]

Установим связь между объемной деформацией и суммой нормальных напрял.-ений 5 = о + щ + щ. Объемной деформацией называют отношение изменения бесконечно малого объема тела Дс и, вызванного деформацией, к первоначальному объему до, т. е. А = Айи/ди. Пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, молаю получить для А вы-рангение А = е,+ е + ег. Таким образом, объемная деформация есть первый инвариант тензора деформации. Она не зависит от выбора направления осей координат. [c.41]

Если с.чободная энергия упругого тела, кроме Т и зависит также и от причем среди есть компоненты векторов или тензоров, то тело анизотропно. В анизотропном теле свободная энергия зависит от не только через инварианты (2.20), но и через совместные инварианты тензора деформаций и других тензорных аргументов функции Р. Так, если свойства среды зависят от некоторого вектора Ь (среда типа текстуры), то среди аргументов Р появляются инварианты вида ЪцЬ -ЬК [c.318]

В главе VI было показано, что первый инвариант тензора деформации равен относительному изменению объема тела в окрестности рассматриваемой точки тела. Так как у девиатора деформации первый инвариант равен нулю, его компоненты характеризуют изменение лишь формы элемента (без изменения его объема). Та доля полной величины компонентов напряжений, которая входит в шаровой тензор напряжения, приводит к изменению лишь объема элемента, без изменения его формы. Вследствие же воздействия на элементостальной части полной величины компонентов напряжений, т. е. части, входящей в девиатор напряжения, происходит изменение лишь формы элемента, без изменения его объема. [c.505]

Переход к сложному напряжённому состоянию осуществляется обычно принятием одной из двух гипотез для деформаций ползучести в первом случае принимается, что тензор деформаций ползучести p j пропорционален девиатору тензора напряжений pij = XSij, во втором принимается гипотеза о пропорциональности тензора скоростей деформаций ползучести ру тому же девиатору 8 у Первая — деформац, вариант, вторая — теория течения для сложного напряжённого состояния. Параметр X определяется как отношение соответствующих инвариантов тензоров деформаций ползучести и напряжений, для определения к-рых принимаются системы (1) и (2), куда в качестве параметров могут войти произвольные инварианты тензоров напряжений и деформаций. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...