Градиент деформации материальный

Градиент деформации материальный 23 [c.311]

Рассмотрим теперь две бесконечно близкие материальные точки, которые в момент t расположены в тачках Xj и Xj dXt соответственно. В некоторый другой момент т эти точки занимают соответственно положения X и X dX. Определим градиент деформации Г при помощи уравнения [c.91]

Можно показать, что наряду с предысторией градиента деформации следует также рассмотреть предысторию градиента температуры. Эта идея широко дискутировалась [12], и даже была построена термодинамическая теория [13], включаюш ая влияние предыстории градиента температуры. Однако такое включение предыстории градиента температуры противоречит принципу локального действия в применяемой здесь его ограниченной форме. Мы рассматриваем простые материалы, или материалы первой степени , которые, говоря широко распространенным языком, можно охарактеризовать как материалы, чувствительные в первом приближении к тому, что происходит и что происходило в прошлом по отношению к температуре и движению в окрестности рассматриваемой точки. В качестве характеристики движения можно в первом приближении рассмотреть первый градиент деформации (само положение материальной точки X рассматривать бессмысленно). По отношению к температуре соседних точек первым приближением будет температура рассматриваемой материальной точки. Рассмотрение первого градиента температуры было бы поправкой второго порядка, сравнимой с включением второго градиента деформации. [c.160]

Таким образом, тензоры F, G, Q полностью характеризуют деформирование материальной частицы. Любой из них можно принять в качестве базового несимметричного тензора деформаций, а все остальные выразить через этот тензор, пользуясь (1.11). Следуя общепринятой практике, в качестве (базового) несимметричного тензора деформаций используем тензор градиента деформации F. Отметим, что приведенное в (1.15) выражение этого тензора часто используется в качестве его определения [c.26]

В 1.2.4 определен тензор градиента деформации F. С помощью полярного разложения (1.33) этого тензора процесс деформирования можно наглядно представить или в виде искажения окрестности материальной точки действием тензора U с последующим поворотом ее действием тензора R, или в виде поворота этой окрестности при действии тензора R с последующим искажением ее действием тензора V. Как отмечено в 1.2.4, тензор градиента деформации F, а следовательно, и тензор градиента перемещения Н полностью характеризуют деформирование материальной частицы. [c.34]

Для произвольной малой деформации материальной частицы в выражениях тензоров деформаций Е и через тензоры градиентов перемещений Н и "Н в (см. (1.47)) и в определениях их компонент (1.50) нельзя опускать нелинейные члены. Это можно делать только в том случае, когда рассматривается бесконечно малая деформация материальной частицы, характеризуемая выполнением равенств [c.39]

Из (1.47) получим выражения для материальной производной тензора деформаций Грина — Лагранжа в виде однородных функций материальных производных тензоров градиента деформации Р и градиента перемещения Н (= Р) [c.42]

В формуле (2.100) предполагается, что материальная производная тензора деформаций Грина — Лагранжа Е выражена через материальную производную тензора градиента деформаций F при помощи (1.61). [c.107]

Так же как и (1.2.14), якобиан (1.2.20) должен быть конечным и отличным от нуля. Материальный (1.2.13) и пространственный (1.2.19) градиенты деформации связаны правилом частного дифференцирования [c.24]

Материальный и пространственный градиенты деформации связаны [c.42]

Тензоры напряжений при малых деформациях. Если при изучении напряженного состояния в окрестности произвольной точки сплошной среды пространственный и материальный градиенты деформации удовлетворяют соотношениям [c.60]

Дифференцирование (3.14) частным образом по X приводит к тензору дх дХ-,, который называется материальным градиентом деформации. В символических обозначениях представляется [c.116]

Здесь предполагается, что материальные производные компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа выражены через материальные производные компонент тензора градиента перемещения формулой (1.62). [c.119]

Градиент движения F характеризует как деформацию, так и поворот материально] частицы. Имеют место так называемые полярные разложения [c.60]

Таким образом, шестую пару сопряженных тензоров составляют тензор номинальных напряжений и градиент движения. В отличие от первых пяти последняя пара сопряженных тензоров зависит не только от деформации, но и от поворота материальной частицы. [c.30]

Подстановка полученного выражения в формулу (1.2.22) позволяет получить представление тензора деформаций Грина через градиент вектора перемещений в материальных координатах [c.11]

Для широкого класса задач механики сплошной среды — задач механики деформируемого твердого тела — характерна малость не только градиентов перемеш,ения, но и модуля и (или U ) по сравнению с характерным размером тела h, т.е. и //г <С 1 (или U /h <С 1). В этом случае различие между пространственными и материальными координатами мало, а лагранжев и эйлеров тензоры малой деформации можно полагать равными, т. е. [c.45]

Рассмотрим первый подход. Предположим, что состояние рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамиче скими функциями — активными переменными массовыми плотностями свободной энергии А и энтропии Н, вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа с компонентами и вектором плотности теплового потока с компонентами qoi, г,] = 1,2,3. Аргументами этих функций будем считать следующие реактивные переменные тензор конечной деформации Грина с компонентами Ькь абсолютную температуру Т, материальный градиент температуры, компоненты которого [c.78]

Для поля перемещений задачи 3.11 вычислить материальный градиент смещения J и использовать этот тензор для определения лагранжева тензора конечных деформаций Ьс. Сравнить с результатами задачи 3.11. [c.139]

Далее, сравнение с (5.34) показывает, что для малых градиентов смещения тензоры в (5.37) можно истолковывать как эйлеров тензор напряжений и материальное приращение упрощенного тензора деформаций (5.28). [c.88]

Приведенное здесь значение для 0 = соответствует направлению распространения вдоль оси тригональной системы. Так как коэффициент gn уже был вычислен в предыдущем пункте, то неизвестную материальную постоянную d , характеризующую взаимодействие между деформацией и градиентами электрической поляризации, можно найти из соотношения (7.7.24). [c.479]

При неоднородной деформации бесконечно малый элемент среды можно считать находящимся в однородном деформированном состоянии, следовательно, градиенты деформации по-прежнему должны определяться формулами (21), Однако при неоднородной деформации величина сдвига k и угол наклона волокна 0 будут меняться от точки к точке. Векторы а и п, являющиеся функциями 0, также будут меняться при переходе от одной точки тела к другой. При этих условиях градиенты деформации (21) являются более общими, нежели градиенты кинематически допустимой деформации, удовлетворяющей заданным выше ограничениям. Роль градиентов деформации состоит в том, что они полностью определяют локальные значения ди-сторсии и вращения материальных элементов. [c.303]

Если параллельные пластины заменить системой конус—пластина (при условии установления в ней сдвигового течения такого, как описано в главе 9), то скорость сдвига не будет зависеть от радиуса вращения ортогональным семейством материальных поверхностей станут сферы (вместо цилиндров). Давление на пластине должно, следовательно, меняться как логарифм расстояния от оси вращения (9.64) для всех материалов, удовлетворяющих нащей общей гипотезе о возможности выразить экстранапряжение только через предысторию напряжения, не прибегая к пространственным градиентам деформации. Хотя наклон графика давление— логарифм расстояния по-прежнему зависит от типа материала (и от скорости сдвига), форма кривой остается неизменной в отличие от случая системы параллельных пластин. [c.297]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Путем наложения некоторых связей в уравнениях обобщенного вариационного принципа можно получить сформулированные относительно скоростей уравнения вариационного принципа Хилла для упругих и упругопластических тел при произвольной величине деформаций [47, 73, 78, 79, 81]. Рассмотрим уравнения (3.6). Предположим, что варьируемые поля скоростей перемещений й принимают заданные значения на границе qSu, т.е. выполнены кинематические граничные условия в (3.6). В этом случае исчезает последний член в правой части (3.8). Далее предполагаем, что материальная производная тензора градиента деформации не является произвольной варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента перемещения с помощью четвертого равенства (3.6). Тогда исчезает второй член в правой части (3.8). Предположим также, что материальная производная первого тензора напряжений Пиола — Кирхгофа не является независимой варьируемой величиной, а выражается через материальную производную тензора градиента деформации с помощью последней формулы (3.6), т.е. определяющие соотношения предполагаются заданными. В этом случае вариационное уравнение (3.7) преобразуется в следующее [c.117]

Частное дифференцирование вектора перемещения по координатам приводит либо к материальному градиенту перемещения ди дХ,, либо к пространственному градиенту перемещения дщШх). При помощи формулы (3.13), которая представляет через разность координат, эти тензоры выражаются через градиенты деформации в лагранжевых (материальных) переменных [c.117]

Дано поле перемещений и = Х Х + Х Хгег + Х1Х . Определить независимо материальный градиент деформации Р и материальный градиент перемещения Л и удостовериться в правильности формулы (3.24) Л = Р — I. [c.136]

Аксиомы N 1 и N 2 устанавливают, что предыстория движения в произвольно малой окрестности, материальной точки определяет напряжения в конфигурации этой точки. При всяком I первое приближение для деформации х вблизи точки X дается градиентом деформации Р (Х, I), свойства которого мы рассмат-ривали в II. 5 и последующих параграфах. Таким образом, предыстория градиента Р , которую мы будем обозначать через Р (X) или просто Р, дает вблизи точки X первое приближение для предыстории X при отсчетном описании деформаций X тела Если знания этого первого приближения достаточно, чтобы определить напряжения в X, то соответствующая материальная точка X называется простой. Формально, в этом частном случае соотношение (IV. 2-1) принимает вид [c.154]

Трусделл [28] получил весьма общее условие распространения волн в предположении, что каждая компонента тензора является функцией градиентов деформации dx ldaj и трех векторов iIa, которые образуют естественный локальный базис в материальной системе координат [c.119]

Применение локальных критериев к анализу разрушения в материальной точке также наталкивается на ряд противоречий. В частности, при таком подходе практически невозможно прогнозировать разрушение тела с трещинами или острыми концентраторами, в котором реализуется высокий градиент напряжений и деформаций. Трудности описания разрушения в высокоградиентных полях напряжений и деформаций в первую очередь связаны с тем фактом, что для зарождения разрушения необходима реализация тех или иных физических процессов в некотором конечном объеме материала, а не в материальной точке. Поэтому даже при выполнении условия зарождения разрушения в материальной точке реально разрушение не происходит до тех пор, пока критическое состояние не возникает в некотором объеме материала. [c.6]

Предполагается [47, 74], что состояние рассматриваемого деформируемого тела в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамическими функциями -активными переменными свободной энергией А=и-ТЪ, эгггропией Л, тензором напряжений с компонентами <ту и вектором плотности теплового потока с компонентами 9/. Аргументами этих функций принимают следующие реактивные переменные тензор малых деформаций с компонентами температуру Т, градиент температуры, компоненты которого 9 = 77сЬс , и [c.184]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Термины прашый и левый условны, так как, например, если вместо F базовым несимметричным тензором деформаций был бы принят тензор градиента места то термины правый и левый пришлось бы поменять местами. Для тензоров деформаций, являющихся функциями правого тензора кратностей удлинений U, часто используются термины материальный или лагранжев , а для тензоров деформаций, являющихся функциями левого тензора кратностей удлинений V, — пространственный или эйлеров . Эти термины искажают механический смысл тензоров деформаций, так как все они по своей сути материальные [63]. [c.35]

Таким образом, тензор F, называемый градиентом движенияШЬ], характеризует деформацию и поворот материальной частицы оболочки. Подстановка выражений (6.10), (6.11), (5.161) и (5.167) в (6.12) приводит с учетом (5.164), (5.161) и (5.167) к [c.284]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди дХ и компоненты пространственного градиента ди 1дх1 почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то [c.120]

Полученные нами результаты показывают, что как только в определяющие соотношения наряду с пространственными гра-Диентами включаются в качестве независимых переменных временные производные, большинство классических эффектов расщепления пропадает. Температурные градиенты могут вызвать напряжения даже в неподвижном теле, а деформация может влиять на характеристики теплопроводности тела. Поскольку эффекты такого рода наблюдаются редко, проведенное до сих пор рассмотрение следует дополнить анализом, дающим более конкретные результаты. Например, в силу (21) мы можем ожидать, что для семейства движений, для которых grad0->O и G->0, функция 0D должна быть приблизительно линейной по D, 3 — приблизительно линейной по gradS. Однако, прежде чем обратиться к вопросам такого приближения, мы воспользуемся принципами материальной независимости от системы отсчета и материальной симметрии, которые покуда не упоминались при рассмотрении термомеханики. Роль этих принципов, мы проиллюстрируем сейчас на простом примере. [c.456]

Таким образом, даже после обращения к принципу материальной независимости от системы отсчета и в частном случае материала с максимально возможной степенью симметрии из термомеханики не следует в. общем случае такое расщепление эффектов температурных градиентов и деформаций, которое предполагалось автора.мй работ классического направления. Однако из дальнейшего допущения о том, что реакции h м I аф-финны по D и grad 0, такое расщепление, действительно, уже следует. В силу (21) 1,2 функция может быть аффинной, только если она линейна, а i может быть аффинной, только если flo линейна. Из (25) сразу видно, что если линейна, то единственно возможное определяющее соотношение для h — это закон Фурье, а именно (XIV. 7-16). Таким же образом, на основе не выписываемого здесь аналога соотношения (25) для диссипативных напряжений легко показать, что единственный случай, когда функция Ad линейна, — это случай, когда выполняется классическое определяющее соотнощение теории Стокса — Дюгема (XIV. 7-2). [c.457]

Две материальные частицы называются материально-изоморфными друг другу, если в одном и том же динамическом процессе (например, перемещении или деформации) они демонстрируют одно и то же поведение в течение всего времени. Простейший тип материального изоморфизма образуют пространственные трансляции в Жк, т. е. преобразования вида Х = Х + В, где В — постоянный вектор. Однородный материал определяется как материал, инвариантный к преобразованию трансляции с любым В, а это означает, что определяющие уравнения для однородного материала не могут явно зависеть от X. В качестве другого примера рассмотрим случай изотропно упругих тел. Упругие материалы в теории градиента первого поряда (без учета термодинамики) описываются при помощи определяющего уравнения для тензора напряжений Коши следующего вида [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...