Тензор упругих постоянных

Анизотропным однородным будем считать такое тело, упругие свойства которого в разных направлениях различны, т. е. соотношения ежду напряжениями и деформациями (между и в случае малых деформаций определяются тензором упругих постоянных , компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно-анизотропные тела. Среди последних, например, стеклопластики (тела, образованные густой сеткой стеклянных нитей, скрепленных различными полимерами—смолами), многослойные фанеры и др. (рис. 15 а — полотняное переплетение стеклоткани б—многослойные модели армированных стеклопластиков). В случае конструктивной анизотропии предполагается, что малый объем бУ содержит достаточное число ориентирующих элементов, т. е., по выражению А. А. Ильюшина, является представительным. [c.42]

Таким образом, тензор упругих постоянных ( i/ , ) в самом общем случае анизотропии линейно-упругого тела имеет 21 независимую компоненту (упругую постоянную), которые можно представить в виде следующей симметричной матрицы [c.58]

Сопоставляя выражение (3.42) упругого потенциала для однородного изотропного тела с выражением (3.33) для упругого потенциала в общем случае, находим, что тензор упругих постоянных в случае однородного изотропного тела определяется равенством [c.60]

Условие существования трех плоскостей симметрии может быть выполнено только для таких исходных компонент (табл. 2.3), у которых либо все четыре индекса равны между собой, либо они равны попарно. Кроме того, 12 компонент тензора упругих постоянных ортотропного материала в главных осях анизотропии связаны соотношениями (2.12), с учетом которых число независимых постоянных ортотропного материала равно девяти. [c.37]

Обсуждение результатов испытаний. Анализ результатов испытаний 150 цилиндрических оболочек средней длины из стеклопластика указывает на существование двух основных факторов, способствующих исчерпанию их несущей способности, — выпучивание стенок и разрушение материала от сдвига. Выпучивание при осевом сжатии наблюдалось у оболочек с тонкими стенками (R/h > 40—50), как правило, оно сопровождалось хлопком. На поверхности оболочек появлялись ромбовидные вмятины и гребни, геометрические размеры которых зависели от значений компонентов тензора упругих постоянных. После снятия нагрузки волны исчезали. Однако в большинстве случаев наблюдались остаточные явления — трещины в окружном направлении и отслоение наружных слоев материала в районе гребней волн. Описываемый характер разрушения имел место у оболочек на связующем ФФ, [c.277]

Важно отметить, что такой способ вывода уравнений не ограничивается случаем, когда тело помещается внутрь бесконечной плоскости. В работе [15], как отмечалось ранее, рассматривается погружение тела в последовательность полуплоскостей. Чтобы получить уравнения, допускающие эффективное численное решение, т. е. уравнения Фредгольма второго рода, согласно этому подходу, требуется, чтобы полуплоскости последовательно касались заключенного в них тела при обходе его границы. Такой подход несколько громоздок и особенно неудобен при решении задач теории упругости для анизотропного тела [16] из-за необходимости поворота тензора упругих постоянных. Для эффективности численного решения при любом методе вывода уравнений (включая рассматриваемый в статье) важно, чтобы фиктивные нагрузки были приложены непосредственно к контуру В. Это не позволяет, например, рассматривать тело, заключенное в полуплоскости, при фиктивных нагрузках, приложенных к границе полуплоскости. Следует также заметить, что какой бы метод не использовался, фундаментальное решение для выбранной фиктивной области должно быть простым. Этому требованию лучше всего удовлетворяет бесконечная плоскость. [c.157]

Однородное тело называется анизотропным, если упругие свойства его различны по различным направлениям, т. е. соотношения между Gij и ец (мы по-прежнему рассматриваем малые деформации) определяются тензором упругих постоянных , компоненты которого изменяются при преобразованиях системы координат. Такими свойствами обладают кристаллы и конструктивно анизотропные тела. Среди последних, например, стеклопластики (тела, образованные густой сеткой стеклянных нитей, скрепленных различными полимерами (смолами)), многослойные фанеры и др. В случае конструктивной анизотропии предполагается, что малый объем dV содержит достаточное число армирующих элементов, т, е. является представительным. [c.204]

При этом Gjh = ТП, где к]Ыт — тензор упругих постоянных, соот- [c.331]

Н - четырехвалентный тензор упругих постоянных, ДС- - приращение необратимой пластической деформации,для которого можно принять соотношения [c.95]

Следовательно, для однородного изотропного тела компоненты тензора упругих постоянных (Сц г) не должны зависеть от направления координатных осей. [c.59]

Здесь тензор упругих постоянных (Сг д ) один и тот же, так иак оба состояния рассматриваются для одного и того же тела. [c.65]

Предполагается, что компоненты тензора упругих постоянных Сг]к1, называемые модулями упругости, являются непрерывными функциями лишь координат х , Х2 и ъ каждой точке имеет место пло- [c.198]

Допустим, что граничные условия на всей поверхности тела заданы в перемещениях. Очевидно, что распределение деформаций и перемещений в упругом теле зависит только от одной упругой постоянной — коэффициента Пуассона. Следовательно, деформированное состояние вязкоупругого тела в любой момент времени t совпадает с деформированным состоянием упругого тела. Если граничные условия во времени остаются постоянными, то и деформированное состояние вязкоупругого тела остается неизменным. Компоненты тензора напряжений меняются во времени. Их значения легко найти из физических соотношений, а графики изменения напряжений во времени оказываются подобными кривым релаксации, которые строятся по результатам испытаний образцов при фиксированных во времени деформациях. Итак, в рассматриваемом случае решается задача о релаксации вязкоупругого тела. [c.352]

Здесь — тензор модулей упругости, измеренных при постоянной напряженности электрического поля, йтч — тензор пьезоэлектрических постоянных, — тензор диэлектрических постоянных, измеренных при постоянных деформациях. [c.237]

Де — тензор магнито упругих постоянных, [c.18]

Из инвариантности выражения (2.8), в котором о, и Olm — компоненты тензора второго ранга, следует, что величины упругих постоянных являются компонентами тензора четвертого ранга. [c.33]

Тензор ijki) называется тензором упругих постоянных (в случае однородного тела компоненты этого тензора не зависят от координат точек тела) и как тензор четвертого ранга имеет, вообще говоря, 3 = 81 компоненту. Однако, учитывая условия (3.31) еимметрии тензора ( ijhi), число независимых компонент (упругих постоянных) будет 36. Кроме того, из условия [c.57]

При этом =Яуит Ет> где Яу - тензор упругих постоянных, соответствующий невозмущенному напряженному состоянию. [c.461]

Для вычисления всех деформаций анизотропного материала в общем случае потребуется 81 значение упругих постоянных ikim, образующих тензор четвертого ранга. Из условий равновесия = Ху и т. п.) следует, что соответствующая перестановка индексов не изменит величины компонент тензора упругих постоянных, т. е. [c.34]

В соответствип с темой книги од )н из тензоров А и В будем рассматривать как тензор деформации, а другой — как тензор напряженп . При этом S — тензор упругих постоянных. Величины G,j можно рассматривать как компоненты тензорного базиса для полусимметричных [c.135]

В случаях намоткн цилиндров, отличной от окружной, вместо величины og в формулы (7.52), (7.53) и далее следует подставлять о os ф, где ф — угол между касательной к наматываемой ленте и плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра. При этом степень анизотропии ki отдельных слоев определяется с помощью формул преобразования тензоров упругих постоянных при плоском повороте системы координат на угол ф, а степень анизотропии k пакета в целом — с помощью формул теории слоистых сред. Степень анизотропии k пакета можно определить также экспериментально при поперечном сжатии и продольном растяжении пакета соответствующей структуры. [c.467]

Вначале вычислим вторую вариацию для общей трехмерной задачи теории упругости. Пусть — прямоугольные декартовы координаты, — возмущения компонентов вектора смещения, — компоненты тензора упругих постоянных, 5 — компоненты тензора напряжений для невозмущенного состояния (/, к, I, т=, 2, 3). Допустим, что можно пренебречь перемещениями, связанными с переходом из педеформирован-ного состояния в невозмущенное деформированное состояние. Допустим также, что при переходе к возмущенному состоянию внещние силы не варьируются ( мертвые силы, см. [4]). Для вариации получаем формулу [4] [c.63]

Здесь массовая плотность р и тензор упругих постоянных СГ5, характеризующий упругие свойства материала, вообще говоря, зависят от координат и, в частности, от граничных условий, включая в себя с помощью б-функций имеющиеся на границах тела сосредо- [c.142]

Очевидно, что произведение будет менять знак, если среди индексов ijkl индекс 3 содержится нечетное число раз. Следовательно. при этом же условии меняют знак члены в выражении (3.33) упругого потенциала W ец). Поэтому упругий потенциал не изменится, если компоненты nki тензора упругих постоянных, среди индексов которых индекс 3 входит либо один раз, либо три раза, будут равны нулю. [c.57]

Тензор ikim — также тензор четвертого ранга. Его называют тензором модулей упругости (постоянных упругой жесткости). Ив этом тензоре 81 компонента. [c.196]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...