Тензор малых

Предположим, что градиенты перемещений < ,7(Зх/<С 1, dui/dxj< l. Тогда из (3.16) получаем тензор малых деформаций Коши [c.72]

Компоненты тензора малых линейных деформаций (3.67) можно рассматривать как систему шести уравнений в частных производных для определения трех компонент перемещения щ. При произвольном выборе ei, система (3.67) не имеет решения. Необходимыми и достаточными условиями существования непрерывных и однозначных компонент смещения щ являются шесть независимых уравнений [c.75]

Тензор малых деформаций Оц примет вид [c.502]

Если смещения малы, как чаще всего предполагается в теории упругости, то тензор О/, будет приближенно равен тензору малых деформаций О/.. [c.503]

Обычно под тензором понимают тензор малых деформаций. Поэтому мы в дальнейшем полагаем = Д р. [c.511]

Тензор малой деформации [c.49]

Если деформации (удлинения и сдвиги), а также углы поворота малы по сравнению с единицей и имеют одинаковый порядок малости (что имеет место при рассмотрении деформации тел, все размеры которых сравнимы друг с другом по величине), то в общей формуле (3.17) можно отбросить, как малые величины, нелинейные слагаемые. В этом случае тензор деформаций называется тензором малой деформации и обозначается через е ь. Следовательно, [c.49]

Компоненты тензоров малой деформации и вращения в цилиндрических и сферических координатах [c.53]

Согласно (3.20) и (3.28) для шести независимых компонентов тензора малой деформации и тензора вращения будем иметь [c.53]

Определение перемещений по компонентам тензора малой деформации [c.57]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Здесь неизвестными являются шесть компонентов тензора напряжений Oij и три перемещения Uk. С помощью формул (3.26) через Uk вычисляются компоненты тензора малой деформации e,h. [c.75]

Кроме указанного выше, компоненты тензора малой деформации, заданной в окрестности любой точки, в пределах каж- [c.20]

Из уравнений (1.7.1) или (1.7.3) вытекает, что компоненты тензора малой деформации в окрестности любой точки в пределах каждого малого объема и в пределах всего объема самой среды (независимо от того, упругая она или неупругая, линейная или нелинейная) должны удовлетворять следующим условиям [c.21]

ТЕНЗОР МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИИ [c.14]

В случае малых деформаций тензор (ви) называется тензором малых деформаций. Компоненты его сц определяются формулой (1.31), из которой следует, что при малых должны быть малыми компоненты линейного тензора деформации (е, ) и компоненты тензора малого поворота ((Ои). [c.14]

В этом наиболее часто встречающемся случае компоненты тензора малой деформации (ец), как это следует из формулы (1.31) и условий (1.39), совпадают с компонентами линейного тензора деформации [c.14]

При однородной деформации компоненты тензора деформации (1.40) и компоненты тензора малого поворота (1.29) будут постоянными величинами [c.16]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота. Заменяя в формуле (1.29) обычные частные производные ковариантными, получим формулу для компонент тензора малого поворота в криволинейных координатах [c.117]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота определяются формулами (6.11). Учитывая (6.37), получим [c.125]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота определяются по формулам (6.11) [c.130]

Естественно, что построение тензора деформаций возможно и в случае, когда смешения заданы в криволинейных координатах. В произвольной ортогональной системе координат а, р, у) компоненты тензора малых деформаций можно определить следующим образом [c.215]

Величины в совокупности образуют тензор малых деформаций. Совокупность девяти величин е (t, / = 1,2, 3), среди которых ввиду условия симметрии е,-у == i имеются шесть независимых, образует единый комплекс, обладающий такими свойствами, что они полностью описывают деформированное состояние в окрестности точки. По этим шести величинам могут быть определены удлинения в любом направлении, исходящем из данной точки, и изменения углов между двумя любыми направлениями, исходящими из этой точки. Совокупность этих величин образует тензор и может быть представлена в виде матрицы [c.104]

Тензор малых деформаций Коши также симметричный [36], т. е. [c.160]

Приведенная зависимость совпадает с формулой для линейно-упругого тела. Она распространяется на случай больших деформаций при замене составляющих тензора малых деформаций компонентами тензора Коши-Грина. В соответствии с зависимостью (9.9.7) [c.182]

Материалы, применяющиеся в технике, за исключением таких, как резина, некоторые пластмассы и др., сохраняют упругость только при весьма малых удлинениях и сдвигах. Отсюда ясна практическая важно< ть тензора малой деформавди. [c.50]

На основании правила скалярного умножения i gkmgin представляет собой смешанный тензор Стп. а — контравариант-ные компоненты тензора малой деформации. [c.61]

Отсюда вледует, что вектор я предвтавляет еобой перемещение точки N относительно точки М не в результате деформации окрестности точки М, а веледствие ее малого поворота, как абсолютно твердого тела. Поэтому тензор (ац), компоненты которого определяются формулой (1.29), называется тензором малого поворота. [c.13]

Таким образом, согласно равенству (1.31) можно представить не-.янейный тензор деформации е ) через линейный тензор деформации (е,у) и тензор малого поворота ( >ij), [c.13]

При некоторых уелрвиях нагружения тел, у которых один размер существенно отличается от двух других измерений (тонкий длинный стержень, тонкая оболочка), могут возникать большие перемещения и при малых деформациях. В этих случаях компоненты имеют более высокий порядок малоети, чем ohj, и в формуле (1.31) необходимо сохранить квадратичные слагаемые относительно со /, т. е. компоненты тензора малой деформации будут определяться формулой [c.14]

На основании формулы (1.37) и соотношений (1.34) шесть независимых компонент тензора малой деформации в этих особых влучаях определяются следующими равенствами [c.14]

Условие (1.41) донускает пренебрежение квадратами и произведениями компонент тензора (u,j) по сравнению с их первыми степенями. При таком допущении формула (1.12) приводится к формуле (1.40). Таким образом, в случае малых перемещений деформации будут также малыми, при этом тензор малой деформации совпадает с линейным тензором деформации, который в дальнейшем называется тензором деформации. В последующем рассматриваются случаи малых перемещений, а следовательно, и малых деформаций. [c.15]

Первый (или линейный) инвариант тензора малой деформации имеет простой геометрический смысл, а именно представляет собой объемную деформацию окрестности точки тела. Действительно, вообразим в окрестности точки М (х() V элементарный параллелепипед со сторонами dxi, dXi, dXg, направленными по главным осям тензора Объем этого элемента dV = dxidxzdxg. После деформации элемент также будет прямоугольным параллелепипедом, объем которого [c.19]

Все частные производные искомых функций ui на основании равенства (1.30) определяются в зависимости от известных компонент тен-зора деформации etj и компонент тензора малого поворота oij. Последние, как легко показать, связаны с компонентами тензора деформации дифференциальными зависимостями [c.22]

Компоненты тензора малой Д. выражаются через координаты вектора перемещения точки it=uiei + - -Ц2С2-[-идвз (е,- — единичные векторы вдоль координатных осей) ф-лами [c.599]

ДИСТОРСИЯ м е X а и и ч е с к а я—изменевне взан.ч-ного расположения материал 1.ных точек среды (тела), вызванное внеш. воздействием или внутр. силами и включающее деформацию. Если и,-Х2, — координаты вектора перемещения нок-рой точки М(-г ,, гз) в прямоугольной нрямолипей[1011 системе координат Oxix- хз, то количественной мерой Д. являе-1ся тензор Д. d,y =- dui/ dxj. При djj < 1 Д. наз. малой. Симметричная часть тензора малой Д. dy,-)/2 = е/у [c.656]

ИНТЕНСИВНОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ — величина, определяющая изменение угла между волокнами, одинаково наклонёнными к гл. осям деформации в точке (ок-таэдрич. сдвиг). Через компоненты тензора малой деформации е// И. д. е выражается ф-лой [c.159]

Предполагается [47, 74], что состояние рассматриваемого деформируемого тела в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя термодинамическими функциями -активными переменными свободной энергией А=и-ТЪ, эгггропией Л, тензором напряжений с компонентами <ту и вектором плотности теплового потока с компонентами 9/. Аргументами этих функций принимают следующие реактивные переменные тензор малых деформаций с компонентами температуру Т, градиент температуры, компоненты которого 9 = 77сЬс , и [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...