Переход к уравнениям непрерывной среды

Методом динамических жесткостей выведены уравнения динамики многослойных амортизаторов. Армирующие слои считаются абсолютно жесткими. Для конструкций с большим числом слоев сделан переход к уравнениям непрерывной среды. [c.28]

ПЕРЕХОД К УРАВНЕНИЯМ НЕПРЕРЫВНОЙ СРЕДЫ [c.223]

Процессы диссипации, такие, как диффузия и трение, играют важную роль при изучении непрерывных сред. Как и для систем отдельных точек, такие процессы нелегко включить в аналитическое описание, но метод введения дополнительных систем зеркальных изображений , кратко описанный в гл. V, может быть принят и для непрерывных сред и, по-видимому, открывает интересные возможности ). В том случае когда нужно только облегчить переход к обобщенным координатам в уравнениях движения, может быть использована и диссипативная функция Рэлея. [c.135]

Совокупность критериев подобия, характеризующая движение газожидкостных систем, может быть получена из рассмотрения уравнений движения сред, граничных условий, определяющих непрерывность скорости, нормального давления и касательных напряжений при переходе от одной среды к другой [Л. 8, [c.343]

Чтобы получить из этого равенства соотношение (3), вытекающее из уравнений Эйлера, необходимо исключить о>2. В этом исключении скрыты все тонкости, которые проистекают из необходимости перехода от дискретной к непрерывной среде. В самом деле, предположим, что скорости движений внутренних и внешних точек кольца соответственно определяются соотношениями [c.59]

К. Представление о сплошности тела неявно используется во всех ранних исследованиях, начиная с работ Л. да Винчи и Г. Галилея. Лишь в 1812 г. С. Пуассон (1781-1840) предложил модель пластины как системы частиц, распределенных в ее срединной плоскости. Позже подобные модели рассматривали Л. Навье (1785-1836), О. Коши (1789-1857) и некоторые другие ученые. Однако и они используют вместо суммирования по системе частиц операцию интегрирования, неявно переходя таким образом от системы частиц к непрерывной среде. Впервые, по-видимому, уравнения упругого деформирования тела без использования каких-либо дискретных моделей, а на основе пред- [c.11]

Постоянные и 5 выразим через А2, воспользовавшись тем, что тангенциальные составляющие Я и (в рассматриваемом случае векторы Н и Е лежат в плоскости, параллельной поверхности раздела) не терпят разрыва непрерывности при переходе из одной среды и другую. Поэтому при х = =. к получим из уравнений (3-1) - (3-4) [c.38]

Этот закон неприменим к отдельным молекулам или к малому числу их. Нельзя сказать, что в этом случае он неверен, так как он вообше ничего не говорит по поводу поведения отдельной молекулы или малого числа их, ничего не утверждает по той причине, что к отдельной молекуле неприменимо понятие теплоты, ибо понятие это, равно как понятия температуры и энтропии, имеет смысл только по отношению к весьма большому количеству молекул. Это вытекает из феноменологического метода, который положен в основу термодинамики. Феноменологический метод заключается в том, что рабочее тело рассматривают не как дискретное физическое тело, состоящее из отдельных молекул, а как некоторый континуум, т. е. как сплошную среду, физические параметры которой непрерывны и изменяются на бесконечно малую величину при переходе от одной точки пространства к другой. Это дает возможность изучать совокупность действия молекул, проявляющуюся в том, что нами названо параметрами состояния рабочего тела. Так, совокупность импульсов всех молекул газа дает параметр давления совокупность кинетических энергий молекул — внутреннюю энергию газа, совокупность объемов, занимаемых молекулами в их движении, — удельный объем газа. Статистический метод является лишь дополнением к феноменологическому методу и дает свои поправки в тех случаях, когда возможно судить о закономерности поведения отдельных молекул. Примером таких поправок является уравнение состояния реального газа. [c.67]

Поверхности прочности в пространствах напряжений и деформаций не являются независимыми, поскольку из непрерывности функций в уравнениях (5) и (10) следует возможность взаимно однозначного перехода от одних независимых переменных к другим (от напряжений к деформациям и наоборот), причем связь между этими переменными дается определяющими уравнениями среды. Если используемый критерий определяет начало нелинейной области механического поведения композита, до этого подчинявшегося закону Гука, то переход от одних [c.415]

В том случае, когда степень неоднородности двухфазной смеси (размер частиц дисперсной фазы и расстояние между частицами) меньше длины волны возмущения, по отношению к волне среда ведет себя как непрерывная. При этом для определения скорости звука можно воспользоваться уравнением Лапласа = (Эр/0p)j. При распространении акустических волн в однофазной среде имеет место явление дисперсии, проявляющееся в зависимости скорости звука от частоты звуковой волны. Зависимость эта молекулярной природы. Говоря о дисперсии скорости звука в двухфазной среде, можно отметить, по крайней мере, две формы ее проявления. Первая характерна для двухфазной среды в целом и связана с тремя происходящими в ней релаксационными явлениями с процессом массообмена между фазами - фазовым переходом, процессом теплообмена - выравниванием температур между фазами и процессом обмена количеством движения — выравниванием скоростей между фазами. Даже в случае равновесной двухфазной среды при распространении в ней звуковой волны равновесие между фазами нарушается и в ней протекают релаксационные процессы. Вторая форма возникает из-за дисперсии звука в среде-носителе и природа ее та же, что дисперсии в однофазной жидкости. Для нее характерна область высоких частот, когда длительность существования молекулярных ансамблей в жидкости или в газе соизмерима с периодом звуковой волны. [c.32]

В этой главе мы рассматривали непрерывный и переходный режимы работы лазера в первом приближении, а именно с помощью (пространственно усредненных) скоростных уравнений. Для повышения точности (и сложности) необходимо использовать следующие подходы 1) Скоростные уравнения, в которых учитываются пространственные изменения как инверсии, так и плотности электромагнитной энергии. Этот метод обсуждается в Приложении Б. 2) Последовательное полуклассическое рассмотрение, в котором среда квантуется, а электромагнитные поля резонатора описываются классически, т. е. с помощью уравнений Максвелла. Можно показать [1], что в непрерывном режиме соответствующие уравнения сводятся к скоростным. Это же справедливо и в переходном режиме, если продолжительность любого переходного процесса много больше обратной ширины лазерного перехода. Следовательно, все нестационарные случаи, рассмотренные в этой главе (за исключением синхронизации мод), могут быть адекватно рассмотрены в рамках приближения скоростных уравнений. 3) Полностью квантовый подход, при котором квантуются как среда, так и излучение. Это, рне сомнения, наиболее полное рассмотрение из всех. Оно необ- [c.326]

Следовательно, для составления дифференциальных уравнений аэромеханики с помощью молекулярно-кинетической теории надлежит прежде всего совершить переход от микроскопического описания движений индивидуальных молекул дискретной среды к непрерывному опи- [c.77]

В общем случае условия на поверхности разрыва можно получить, исходя из законов сохранения, записанных в интегральной форме. Из замкнутой системы дифференциальных уравнений, описывающих некоторые явления в рамках используемой модели поведения сплошной среды, условия на поверхности разрыва не могут быть получены предельным переходом от непрерывных движений к разрывным. При рассмотрении конкретных задач с возникающими в процессе решения разрывами используют две формы записи законов сохранения и второго закона термодинамики интегральную и дивергентную, которой соответствуют уравнения (3.6), (3.12), (3.36) и неравенство (3.44). [c.85]

При переходе от одной среды к другой уравнения Максвелла требуют непрерывности тангенциальных компонент векторов поля. В особом случае нормального падения векторы Е и Н, перпендикулярные Ог, должны оставаться непрерывными. [c.71]

Для моделей с обратимыми процессами в области непрерывных движений имеем dq — 0. Однако, как было уже отмечено вьппе, при рассмотрении сильных скачков с резким изменением характеристик движения предположение об обратимости этого явления приводит к противоречию со вторым законом термодинамики, выраженным уравнением (4.12). В общем случае нельзя заранее считать, что dq =0 при переходе частиц среды через поверхность разрыва. [c.363]

Приведенное выше описание трубных волн на границе раздела заведомо является приближенным, С одной стороны, радиальное смещение в обеих средах при одинаковом давлении флюида различно, и, к тому же, непрерывность радиального смещения является одним из граничных условий на поверхности контакта между двумя слоями, Иа расстоянии в несколько радиусов скважин над границей раздела или ниже радиальные смещения вполне удовлетворительно описываются уравнением (5.3), Между этими двумя значениями отмечается плавный переход в интервале, который, [c.159]

В свете этих рассуждений задача нестационарного потока газов через пористую среду может быть сведена приближенно к нахождению установившегося распределения давления, а затем изменений граничных условий во времени, дополнительно к тем величинам последних, которые были первоначально установлены и которые необходимо удовлетворить полностью. Благодаря уменьшению точности решения задачи раскрытием уравнения (2), гл. IX, п. 1, мы сумели дать в предыдущих разделах настоящей главы общий способ решений установившегося состояния, соответствующих различным типам задач, подвергшихся обработке во второй части, несмотря на то, что эти решения установившегося течения не представляют большого интереса. Когда эти решения являются для нас более или менее доступными, остающаяся задача заключается в том, чтобы создать соответствующую непрерывную последовательность решений стационарного потока таким образом, чтобы они соответствовали особо интересующей нас проблеме неустановившегося перехода. [c.587]

Если конструкция содержит достаточно большое количество слоев, можно перейти от анализа устойчивости пакета как дискретной системы к уравнениям сплошной среды с приведенными упругими параметрами. Условия такого перехода в зависимости от количества слоев и граничных условий были проанализированы в упомянутой работе Р. Шепери и Д. Скала [249]. Путем сопоставления результатов расчета критических нагрузок многослойной колонны по дискретной и непрерывной моделям авторы пришли к выводу, что с приемлемой для технических приложений 6%-ной точностью использование континуальной теории возможно при числе резиновых слоев больше десяти для колонн с защемленными концами и более пяти для колонн с шарнирно опертыми концами. [c.223]

Молекулярно-кинетический подход к исследованию опирается на изучение молекулярного (микродискретно-го) строения газа и поэтому лучше соответствует реальным условиям. Однако использование дифференциальных уравнений в частных производных требует возврата к гипотезе о квазисплошности среды и квазинепрерывности полей ее характеристик. Возникающее противоречие снимается с помощью перехода к макроскопическому описанию свойств и процессов через микроскопические свойства отдельных молекул среды, структура и элементарные процессы в которой дискретны. Этот переход осуществляется с помощью функций распределения Максвелла или Больцмана. При этом свойства среды выступают как осредненные по всем молекулам и как непрерывные функции координат и времени. [c.26]

Как правило, при переходе к математической модели принятое в механике непрерывное описайие свойств среды заменяется дискретным описанием. Функции, характеризующие состояние и движение вещества, задаются на некотором конечном множестве точек. Уравнения, связывающие значения функций в различных точках среды, называются разностными уравнениями, а методы решения разностных уравнений — разностными или сеточными методами. К этим методам относится и широко применяемый для расчетов деформаций и напряжений в твердом теле метод конечных элементов. [c.213]

О разрывах напряжении. Уравнения жесткопластйческой среды допускают разрывы напряжений. Поверхность разрыва напряж ений рассматривается как предел, к которому стремится слои недаформируемого материала, когда его толщина стремится к нулю. Поэтому поверхность разрыву напряжений может только изгибаться. Пусть ось Mz направлена по нормали к поверхности разрыва напряжений в точке Л/. Если силы инерции не учитываются, то вектор напряжения на площадке, касательной к поверхности разрыва, непрерывен, т. е. контактирующие напряжения а , непрерывны. Разрывы могут претерпевать только напряжения Sy, х у Значения скачков, которые они получают при переходе через поверхность разрцва, ограничены условием пластичности. [c.74]

Уравнения для параметров геометрии фронта и лучей поверхностной волны, стохастизация поверхностных лучей, переход к вероятностному описанию. Рассмотрим неоднородное изотропное упругое полупространство О, ограниченное свободной плоскостью х — 0. Наличие граничной поверхности допускает суш ествование в среде неоднородных волн. Под неоднородной волной первого порядка будем понимать однопараметрическое семейство ориентированных поверхностей S , на которых перемепдения непрерывны, а их производные могут терпеть разрыв. На выполняются динамические, кинематические и геометрические условия совместности. В рассматриваемой среде суш,ествуют [c.807]

Переходим к составлению уравнений движения в переменных поля третьего или четвертого рода, увеличивая число измере-ний функционального пространства, в котором изучается движение непрерывной среды. Для этого вновь обратимся к одной из форм принципа Журдена, выразив его в переменных поля четвертого рода, но сначала применив аксиому об освобождаемости от связей третьего и четвертого рода. [c.39]

При рассмотрении конкретных задач о структуре разрывов полная система уравнений иногда не удовлетворяет требованию (1.67), обеспечивающему непрерывность решения задачи о структуре разрыва. В большинстве случаев такой вид системы уравнений обусловлен переупрощением рассматриваемых диссипативных механизмов. Для многих задач, связанных с течениями сплошной среды, можно добиться выполнения требования (1.67), если включить в рассмотрение хотя бы малую вязкость среды. Если считать, что для описания структуры используется система уравнений с достаточно полным набором диссипативных механизмов, то условие (1.67) будет выполнено, а переход к более простой системе уравнений, для которой условие (1.67) не выполняется, можно произвести, устремляя часть диссипативных коэффициентов к нулю. При этом внутри структуры в пределе могут появляться разрывы, причем устремленные к нулю диссипативные коэффициенты будут существенны только в малой окрестности возникающих разрывов. Если соотношения на этих внутренних разрывах известны или получены путем указанного предельного перехода, то при построении структуры разрывов и нахождении дополнительных соотношений на них можно пользоваться и такими системами уравнений, которые допускают существование слабых и сильных разрывов, учитывая возможность их появления в структуре. [c.112]

Наконец, в 7.4 рассматривается переход к предельному случаю непрерывной среды. Приводится краткий вывод уравнений Лоренца в задаче Рэлея—Бенара о движении подогреваемого снизу слоя жидкости и обсуждаются условия применимости этих уравнений. В заключение описываются различные модели перехода к турбулентности в жидкости и проводится сравнение с имеющилшся экспериментальными данными. [c.411]

Прп сравнении уравнений (1.43), (1.46), (1.47) и (1.44) видно, что групповая скорость совпадает с фазовой, если направление распространения света совпадает или противоположно направлению скорости V. Без всяких вычислений это следует пз того факта, что в этом случае эфирный ветер несет элементарные волны в направлении светового луча. Все вышеизложенное справедливо и для неоднородных сред с непрерывно изменяющимся коэфф1щиентом пре-ломлен 1,я с той лишь разницей, что система отсчета 5, зависящая от величины п, изменяется при переходе от точки к точке неоднородной среды. [c.20]

В контексте физики образцом хаотического явления остается турбулентность. Например, столб поднимающегося дыма и вихри за судном или крылом самолета дают наглядные примеры хаотического движения (рис. 1.1). Однако специалисты по механике жидкостей полагают, что эти явления не случайны, потому что можно выписать уравнения физики, описывающие движение каждого жидкого элемента. Кроме того, при низких скоростях структуры в жидкости вполне регулярны и предсказуемы на основе этих уравнений. Впрочем, при скоростях, превышающих некоторую критическую, течение становится турбулентным. Большая часть усилий в области современной нелинейной динамики связана с надеждой, что этот переход от упорядоченного течения к беспорядочному можно объяснить или моделировать с помощью относительно простых уравнений. В этой книге мы надеемся показать, что подобные новые подходы к турбулентности также применимы к твердотельным и электрическим непрерывным средам. Именно осознание того, что хаотическая динамика свойственна всем неяинейш>пи физическим явлениям, вызвало ощущение революции в современной физике. [c.12]

Уравнения двумерного пограничного слоя — уравнения парабо-.лического типа. Это означает, что главный механизм, определяющий характер течения в направлении, перпендикулярном к стенке, является механизмом диффузии момента количества движения и диффузии потока тепла в сжимаемых средах. Произвольное возмущение мгновенно передается поперек пограничного слоя, так как предполагается, что скорость диффузии бесконечно велика. Общие свойства уравнений двумерного пограничного слоя сохраняются и для трехмерного пограничного слоя. При рассмотрении, например, трехмерного пограничного слоя на осесимметическом теле под углом атаки естественно предполагать, что уравнения трехмерного пограничного слоя непрерывно переходят в уравнения двумерного пограничного слоя при стремлении угла атаки к нулю. [c.116]

Рассмотрим линию передачи, заполненную продольно-неоднородной средой, диэлектрическая и магнитная проницаемости ко-fopoй являются непрерывными фун1 циями координаты г, совпадающей с направлением распространения волны, т. е. е=е(г), р=ц(2). Переходя от уравнений Максвелла к волновым уравнениям и проектир уя последние на оси координат, получим следующие соотношения [c.35]

Соотношения (8.6) — (8.9) применимы в общем случае как для непрерывных движений, так и движений с наличием различных разрывов внутри рассматриваемого объема. Они играют фундаментальную роль в инженерной гидравлике и инженерной газовой динамике. Эти основные соотношения, уравнения и определяющие формулы положены в основу одномерной теории всевозможных расчетов газовых и гидравлических машин. Легко видеть, что для установившихся движений соотношения (8.6) — (8.9) для конечных масс среды Л1ежду сечениями и д 2 выражают собой связи той же природы, что и соотношения на сильных скачках. При сближении и совпадении сечений и б з равенства (8.6) — (8.9) переходят в условия на прямых скачках, последнее связано с принятым выше условием, что скорости в сечениях и б г перпендикулярны к ним. [c.66]

Имея разложения (38) — (39), вычисляем энергию деформации и кинетическую энергию для каждой отдельной ячейки. Последующее осреднение по ячейке дает среднюю энергию, полностью определяемую своим значением в центре волокна. После этого осуществляется завершающий этап перехода от системы дискретных ячеек к однородной континуальной модели, который состоит во введении полей кинематических и динамических переменных, непрерывных по всем координатам. Значения этих переменных на средних линиях волокон совпадают со значениями соответствующих параметров, вычисленными для системы дискретных ячеек. Следовательно, кинетическую энергию и энергию деформации, подсчитываемые так, как это описано выше, можно интерпретировать как плотности энергий для вновь введенной непрерывной и однородной среды. Плотность энергии деформации содержит не только члены, зависящие от эффективных модулей, но и члены, зависящие от некоторых констант, включающих характеристики как физических, так и геометрических свойств компонентов композита (т. е. от эффективных жесткостей ). Этим и объясняется название теории — теория эффективных жесткостей . Определяющие уравнения этой теории были получены при помощи принципа Гамильтона в совокупности с условиями непрерывности и с использованием множителей Лагранжа. Аналогичная теория для композитов, армированных упорядоченной системой прямоугольных волокон, была разработана Бартоломью и Торвиком [11]. [c.377]

Уравнения механики в дифференциальной форме содержат частные производные, которые определены на континууме точек среды. При переходе от сплошной среды к ячейкам конечной величины непрерывные функцйи заменяются функциями, заданными в узлах сетки. Одновременно дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями, содержащими значения функций в узлах сетки. Такая замена называется аппроксимацией Совокупность разностных уравнений, необходимых для определения всех неизвестнь1х величин, является вторым элементом разностной схемы. [c.214]

В однородной однофазной чистой жидкости эта мощность расходуется на преодоление внутренних микроскопических вязких сопротивлений жидкости. В суспензиях большая часть энергии диссииируется вследствие взаимодействия взвешенных частиц со свободным потоком дисперсной среды. Это проявляется в виде макроскопической вязкости, которая выран ается, например, уравнением Эйнштейна (XIV. 1), однако следует помнить, что механизм явления совершенно иной. В самом деле, микроскопическая вязкость жидкости не изменяется взвешенными частицами единственное изменение, которое при эт эм происходит, состоит в переходе от ламинарного течения к более сложному в окрестности частицы. В нашем случае, кроме этого, как только скорость сдвига превысит определенную величину (соответствующую = 25), происходит разрушение или распад вторичных частиц. При удачных столкновениях эти частицы вновь восстанавливаются, и, таким образом, устанавливается динамическое равновесие. При этом необходимо постоянно подводить энергию для того, чтобы поддерживать процесс распада в противовес тенденции частиц к восстановлению.Наблюдае-мая в таких системах макровязкость является следствием комбинированного проявления вязкости дисперсной среды, взаимодействия взвешенных частиц с ламинарным течением и непрерывного распада и восстановления вторичных частиц. Тем не менее процесс усложняется тем, что распад вторичных частиц высвобождает растворитель и этим самым понижает макровязкость. Последнее влияние преобладает над предпоследним, и результирующий эффект состоит в постепенном уменьшении вязкости с увеличением скорости сдвига [c.304]

Проделанный выше переход от среднего напряжения по площадке к напряжению в точке связан с воображаемым процессом уменьшения размеров площадки ДР до нуля, необходимым для п )и-менения анализа бесконечно малых. Законность и обоснованность такого формального процесса, как уже указывалось выше, долгое время были под сомнением и являлись предметом дискуссий среди ученых однако приложение полученных основных уравнений теории упругости к решению задач физики довольно быстро показало эффективность разработанных Методов и дало ряд замечательных результатов, подтвержденных опытом это относится прежде всего к области изучения колебаний и распространения волн (например, звуковых) в упругих телах некоторые более простые задачи этого рода освещены в главах IV и IX настоящей книги. Середина XIX века была особенно богата достижениями в смысле развития теории упругости и получения решений задач, важных для физики и техники здесь главную роль сыгралк работы крупнейшего французского исследователя Сен-Венана и его учеников. В этих условиях постепенно исчезли сомнения в физической обоснованности метода теории упругости, оперирующего как бы с непрерывной, сплошной средой с этой точки зрения иногда говорят, что теория упругости основывается на гипотезе сплошного строения твердых тел. При этом, конечно, нельзя забывать, что такая гипотеза является только рабочей гипотезой-, она диктуется принятым математическим методом исследования и не вторгается в те области физики, которые непосредственно занимаются вопросами строения тел. [c.12]

Тот факт, что спонтанное движение поршня вызовет волновое движение, можно разъяснить при помощи следующих доводов. Напомним, что силовые магнитные линии в бесконечно проводящей среде ведут себя как материальные линии (см. уравнение (5.3.4)). Рассмотрим случай, когда эти силовые линии первоначально перпендикулярны поверхности раздела о. Изменение силовой магнитной линии спустя I с после начала движения магнита показано на рис. 5.14.1. Силовая линия, являясь вмороженной в среду , спустится вдоль поверхности магнита вниз на расстояние — У/. В области л > О эта силовая линия не изменится, за исключением тонкого слоя около поверхности раздела 3 о, где имеется непрерывный переход от текущего к первоначальному положению линии в области л > 0. Таким образом, в слое появляется компонента В2 магнитного поля, которой первоначально не было. Эта компонента Вг зависит от с максимальным значением на поверхности раздела, где механическая деформация наибольшая, и уменьшается до нуля на самой правой границе слоя, где нет механического скоса. Следовательно, внутри слоя дхВ2 < 0. Плотность тока в слое [c.323]

Задача этого и следующего параграфов - переход от дифференциальньгх уравнений для поля деформаций й (дг) (или для любого другого поля) к интегральным уравнениям технически очень проста. Она решается с помощью выбора соответствующей функции Грина. К сожалению, этот выбор неоднозначен, и для решения этой проблемы в научной литературе привлекаются дополнительные и очень глубокие физические принципы (принцип причинности [27], принцип предельного поглощения [28], условия излучения Зоммерфельда [29] в теории дифракции, правила обхода Ландау [30] в теории бесстолкновительной плазмы, условия временного сглаживания волновой функции Геллманна-Гольдбергера в квантовой теории рассеяния [31], граничные условия Боголюбова [32] в кинетической теории газов). Мы покажем, что без всего этого можно обойтись, поскольку однозначный выбор функции Грина определяется заданным направлением времени, непрерывностью спектра возбуждений бесконечной среды, гладкостью корреляционных функций случайных неоднородностей и условием ослабления корреляций [33]. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...