Анализ бесконечно малых

Из понятия однородное вытекает понятие сплошной среды как среды, непрерывно заполняющей отведенный ей объем. Вследствие свойства непрерывности к сплошной среде может быть применен анализ бесконечно малых. [c.12]

Новый период развития механики начинается со времени великого английского математика и механика Исаака Ньютона (1643—1727), который завершил построение основ современной классической механики и, одновременно с Лейбницем, положил начало анализу бесконечно малых (около 1670 г.). [c.12]

Поскольку Юнг избегал пользоваться анализом бесконечно малых, то принятая им форма изложения закона поперечной диффузии [c.171]

Данное выше определение работы обобщим на случай силы, переменной по величине и направлению, и криволинейного пути. Характер этого обобщения основан на общих приемах анализа бесконечно малых. [c.197]

Построение расчетной схемы следует начинать со схематизации структуры и свойств материала. Общепринято рассматривать все материалы как сплошную среду, независимо от особенностей молекулярного строения вещества. Такое упрощение совершенно естественно, поскольку размеры рассматриваемых в сопротивлении материалов объектов несопоставимо больше характерных размеров межатомных расстояний. Схема сплошной среды позволяет использовать анализ бесконечно малых величин. Она весьма универсальна, поэтому ее принимают в качестве основополагающей не только в сопротивлении материалов, но и в теории упругости, пластичности, в гидро-и газодинамике. Этот цикл дисциплин поэтому и носит обобщенное название механики сплошной среды. [c.12]

Данная предпосылка позволяет, рассматривая при теоретическом анализе бесконечно малый элемент конструкции, наделять его свойствами, которыми обладает объем тела реальных размеров. [c.19]

Эти интегрирования выполняются способами, излагаемыми в курсах анализа бесконечно малых. Соответствующие вычисления приводятся, вообще говоря, к вычислениям последовательных простых интегралов, причем выбор способа приведения зависит, в частности, от конфигурации объема V. [c.64]

Эти естественные замечания подсказывают нам обобщение, которое в то же время соответствует нашей физической интуиции и духу анализа бесконечно малых. Мы можем представить себе, что тело С состоит не из однородной материи, а из смеси различных веш еств идеализируя, мы можем предположить, что материальная структура тела С изменяется от точки к точке непрерывно. Тогда отношение [c.25]

Для того чтобы освободить уравнение (79) от знака абсолютной величины, необходимо напомнить некоторые сведения из анализа бесконечно малых. Если дана плоская кривая и за параметр выбрана длина дуги s (отсчитываемая от любой ее точки), то равенства [c.234]

Яков Бернулли родился в Базеле в 1654 г., умер там же в 1705 г., был в течение многих лет профессором математики в Базельском университете. Последователь Лейбница, он способствовал распространению анализа бесконечно малых и был одним из первых основоположников систематического изложения интегрального исчисления. Применял новые методы к вопросам механики, касающимся, в частности, цепной линии, таутохроны и плоской эластики. [c.234]

В общих рассуждениях этой и следующих глав мы будем обычно обращаться к материальной системе 5 какой угодно природы, но состоящей из конечного числа N материальных точек 2,..., N). Необходимо, однако, раз навсегда заметить, что, рассматривая материальные элементы (одного, двух или трех измерений) как точки и применяя классические методы анализа бесконечно малых, мы можем считать все, что в дальнейшем будет говориться [c.220]

Пьер Ферма родился в 1608 г. близ Тулузы, умер в том же городе в 1665 г. Был судьей и вел обширную переписку с великими учеными своего времени. Известен открытиями в. теории чисел, был предшественником творцов аналитической геометрии и анализа бесконечных малых, некоторые способы которых он применял к задачам геометрии и физики. Полное собрание его сочинений издано в недавнее время (Париж, 1891—1922) в пяти томах. [c.417]

Действительно, Лагранж прежде всего математик. И для нас особенно важно, что и в его отношении к обоснованию анализа бесконечно малых проявляются те же самые формализующие тенденции. Он сомневается в современном ему обосновании анализа и устраняет эти сомнения тем, что отказывается от него (от анализа. — Л. Я.) как от общей дисциплины, понимая под ним просто собрание формальных правил, относящихся к частным специальным функциям ). [c.799]

Предпосылка о сплошности позволяет поль-Рис. 2. зоваться в дальнейшем методами анализа бесконечно малых. Естественно, что она противоречит молекулярному строению вещества и приемлема лишь до тех пор, пока рассматриваются объекты с размерами, существенно превышающими межатомные расстояния. Понятно, что это нас не связывает. Более важным является существование в материале микротрещин и меж-кристаллических пустот. Именно это обстоятельство является определяющим. Применимость понятия сплошности ограничивается относительными размерами детали по сравнению с размерами, характерными для описания структурных особенностей. [c.14]

Для отыскания экстремумов в вариационном исчислении используют обобщение основного понятия анализа бесконечно малых — дифференциала. Дифференциал [c.15]

Указанные выше характерные линейные размеры структуры металла — параметр решетки а и средний размер зерна d — позволяют уточнить порядок перехода от рассмотрения металлического тела как состоящего из малых дискретных частиц к рассмотрению его как сплошного тела, с применением к нему анализа бесконечно малых. Для этого важно установить еще один характерный линейный размер—параметр ориентации зерен. [c.17]

В своих Prin ipia Ньютон дает разъяснения и определения основных понятий механики массы, времени, пространства, силы, а также устанавливает основные законы движения (аксиомы), которые были приведены в 1. На основании этих понятий и аксиом, представляющих собой обобщение многочисленных опытов и наблюдений, логически строится с помощью математического анализа вся система механики. Кроме создания системы механики, Ньютону принадлежит открытие закона всемирного тяготения, который лег в основу теоретической астрономии и небесной механики. В своих исследованиях Ньютон не пользуется методами открытого им анализа бесконечно малых, а употребляет главным образом геометрические методы, строя изложение по образцу Начал Евклида. [c.12]

После появления созданного Ньютоном и Лейбницем исчисления бесконечно малых, в XVI11 веке начался быстрый рост математических наук, а с ним и механики. Период XVI11 и начала XIX века может быть справедливо назван золотым веком математических наук. Методы механики начали быстро совершенствоваться благодаря применению мощного математического аппарата — анализа бесконечно малых — и развитие механики шло вперед вместе с развитием математики. В свою очередь некоторые новые математические методы возникали и развивались в связи с решением ряда задач механики. Различия между этими двумя науками в золотой век математики не существовало. [c.13]

Систематическое и последовательное применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей творческой жизни провел в России, будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны. В работе Теория двилщния твердых тел Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых, Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлелщт первые работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного действия струи жидкости, что послужило основанием для развития теории турбин. [c.15]

Пусть R есть радиус кривизны, и X, ц, v — направляющие косинусы главной нормали к траектории. По формулам Френэ (которые доказываются в курсе анализа бесконечно малых) имеем [c.49]

Наиболее отчетливый и гибкий алгорифм для выражения и математического исследования многих проблем механики (как и других физических теорий) представляет теория векторов. Вследствие этого мы в настоявдей вводной главе изложим основные понятия и элементарные правила исчисления векторов ). Вместе с тем, читатель должен быть предупрежден, что рассуждения, которые развертываются в настоящем сочинении, предполагают отчетливое знакомство с общими курсами аналитической геометрии и анализа бесконечно-малых. [c.13]

Пользуясь языком анализа бесконечно малых, мы можем сказать, что (J. есть отношение массы бесконечно малой частицы нашего тела к соответствующему объему. Из соотношения (1) имёем [c.24]

Приведенные выше исследова1Ния процесса затвердевания и охлаждения отливок в песчаных формах и кокилях следует рассматривать как примеры, иллюстрирующие необходимость соответствия исследовательского аппарата характеру рассматриваемых задач и конкретным целям практических расчетов. Заметим, что в отличие от известных способов расчета выше ни в одно1М случае не был использован аппарат анализа бесконечно малых. Это удалось получить в результате анализа процесса теплового взаимодействия отливки и формы на основе модели малой интенсивности охлаждения отливки. [c.158]

Идея непрерывного приращения скорости это ие только исходная идея динамики Галилея, но и исходная идея всей динамики XVII в., Математических начал Ньютона и динамики следующего столетия. Более того, это центральная идея классической науки в целом. В механике Аристотеля рассматривалась лишь интегральная схема естественных мест и естественных движений и насильственных движений. Но при этом движение не рассматривали от точки к точке и от мгновения к мгновению. Теперь дело изменилось. В науке появилось дифференциальное представление о движении, об изменении скорости в данной точке, об ускорении. Отсюда — изучение проблем динамики с помощью анализа бесконечно малых. [c.120]

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом они не требуют ни построений, ни геометрических или мохапичоских рассуждезшй они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ (подразумевается математический анализ, анализ бесконечно малых.— [c.200]

Изданием в 1736 г. Механики Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил лмехаиику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствуюш их математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, эксиериментальных положений. Каковы эти положения И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики [c.202]

Допущение о сплошности позволяет использовать анализ бесконечно малых величин, считать перемещения точек тела при деформации непрерывными и дифференцируемыми фушшгнями координат и выразить компоненты деформаций через производные этих функций. [c.17]

Дюамель (J. М. С. Duhamel, 1797—1872) родился в Сен-Мало, поступил в 1814 г. в Политехническую школу, окончил ее в 1816 г. По завершении этого образования он изучал еще некоторое время юридические науки в Ренне, а затем вернулся в Париж, где начал преподавать математику в нескольких учебных заведенийх. В 1830 г. он стал преемником Кориолиса по преподаванию курса математического анализа в Политехнической школе и с этой поры оставался связанным с этой школой до конца своей педагогической карьеры (1869). Занятое им положение было очень влиятельным, II знаменитая школа приняла многие из предложенных им планов. Его руководства по анализу бесконечно малых ) и по теоретической механике ) имели широкое распространение во французских учебных заведениях. В своих оригинальных научных трудах Дюамель многим обязан своему бывшему учителю Фурье, а также Пуассону. То было время быстрого роста применений математического анализа в физике, и его труды следовали этой тенденции. [c.293]

Для современников основным произведением Гюйгенса была книга Маятниковые часы (1673 г.) Это классическое произведение по богатству и ценности содержания имеет мало себе равных. Прежде всего, оно, в соответствии со своим названием, содержит (в первой части) описание великого изобретения Гюйгенса — маятниковых часов. Разрабатывая теорию математического маятника, Гюйгенс показал неизохронность колебаний кругового маятнйка и для него разработал метод расчета периода колебаний, равносильный приближенному вычислению соответствующего эллиптического интеграла. Гюйгенс строго доказал точную изохронность колебаний (любой амплитуды) циклоидального маятника, дал формулу для вычисления периода этих колебаний, а также и для периода малых колебаний кругового маятника, разработал и осуществил конструкцию циклоидального маятника. В связи с этим Гюйгенс создал новый раздел дифференциальной геометрии — учение об эволютах и эвольвентах. Он изобрел часы с коническим маятником. Попутно Гюйгенс открыл явление параметрического резонанса (наблюдая установление консонанса двух маятников, прикрепленных на одной балке) и правильно объяснил его. Кроме того, в Маятниковых часах изложены многочисленные математические результаты, как, например, спрямление многих кривых, определение площадей некоторых кривых поверхностей, метод построения касательных к рулеттам и т. д. Не располагая алгоритмом анализа бесконечно малых, Гюйгенс, проявляя исключительную изобретательность, систематически применяет инфинитезимадьные методы в геометрическом оформлении — этим аппаратом он овладел в совершенстве, и в этом среди его современников никто, кроме Ньютона, не мог с ним соперничать. Но мы еще не сказали о том, что в четвертой части Маятниковых часов , под названием О центре качания , решена поставленная Мерсенном проблема определения периода колебаний физического маятника. Это — первая глава динамики твердого тела. В этой созданной Гюйгенсом главе одинаково значительны результат и метод. В ней налицо то сочетание эксперимента и теории, технической направленности и обобщающего физического мышления, которое характерно для рассматриваемого периода. Проявить это сочетание в своем творчестве дано было только деятелям экстра-класса — Галилею, Гюйгенсу, Ньютону. [c.110]

В течение XVIII в. произошло и полное изменение математического языка механики. Геометрический вариант исчисления бесконечно малых, предложенный Ньютоном в Началах , пожалуй, только у него и у первоклассных ученых мог быть методом — для менее сильных математиков даже разбор готовых решений в Началах был нелегким делом. Последователей Ньютон нашел только в Англии, и получить, следуя Ньютону, новые значительные результаты оказалось по силам лишь Маклорену.. Надо думать, что по этой причине в течение почти столетия английские ученые практически не участвовали в развитии механики. Напротив, континуальная школа располагала средствами анализа бесконечно малых в том виде, какой ему придал Лейбниц, и эта форма математического языка была использована в механике с большим успехом. Благодаря тому алгоритму математического анализа, который культивировала школа Лейбница, механика получила возможность стать аналитической и действительно стала ею. Больше всего заслуг в этом деле у Эйлера и Лагранжа. Лагранж и здесь подвел итоги и ввел в обиход самый термин аналитическая механика . [c.123]

Если Галилей и Мариотт исследовали прочность балки, то Яков Бернулли поставил задачу о вычислении ее прогибов . Решение этой задачи не диктовалось требованиями техники XVIII в. Задача ставилась и решалась как один из многочисленных примеров приложения анализа бесконечно малых к исследованию кривых линий. [c.165]

Ньютон поставил перед наукой две задачи по заданным силам определить движение тел, т. е. их положения и изменения положений, и по заданному движению тел находить действующие силы. В механике, располагающей аппаратом анализа бесконечно малых, обе эти задачи ставятся в математической форме и являются взаимно обратными. Однако, если рассматривать эти задачи в их постановке, т. е. с точки зрения того, каким образом получаются данные для их решения, то разделение этих двух задач может быть положено в основу разграничения механики и физики. Механика, исходя из заданных полей, определяла положения тел, физика — теория тяготения, затем электростатика, магнетостатика и еще позже электродинамика — исходя из положения (электродинамика — также из скоростей) тел, определяла действующие на тела силы. Но теория силового поля оставалась феноменологической. Иногда утверждали, будто механизм силового воздействия — механизм невидимых воздействий гравитационного эфира — и подобные гипотетические схемы фигурировали в качестве реликтов картезианской физики. Ученики Ньютона вслед за учителем, подчас в более аподиктичной форме, чем он, отказывались от кинетической расшифровки 387 силы. Сила фигурировала как феноменологический псевдоним взаимодействия, но все-таки оставлялась возможность вводить в теорию силы, не обязанные взаимодействию. тел. Такой возможностью воспользовались в концепции сил инерции. [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...