Сходимости решения время задачи

Сравнение МГЭ с МКЭ и МКР показало, что новый метод является конкурентоспособным и во многих задачах превосходит их по точности и достоверности результатов, по устойчивости и сходимости численного процесса, по объему занимаемой памяти, по простоте алгоритма и подготовки исходных данных, по объему программ и т.д. Например, сопоставляемые времена решения трехмерных задач по МКЭ и МГЭ при близкой точности обычно равны такому отношению [29] [c.7]

Использование описанных методов является достаточно эффективным способом решения упругопластических задач. Метод переменных параметров упругости учитывает некоторое снижение жесткости среды в процессе деформации, что ускоряет сходимость. В то же время, достоинством методов дополнительных напряжений и деформаций является отсутствие необходимости корректировки матрицы жесткости при использовании, в частности, метода конечных элементов. Однако, как показали проведенные исследования, указанные методы являются гораздо менее эффективными, а в ряде случаев, и непригодными для решения задач механики закритического деформирования. [c.241]

В условиях сформулированной задачи в [1] было построено приближенное решение в окрестности поверхности Rt, и для случая сжатия газа найдены предельные времена существования гладких потенциальных течений в зависимости от геометрии поверх ности So и закона движения поршня. Оказывается, что методом, использованным в [1], можно построить точное решение поставленной задачи в виде функционального ряда со специальными независимыми переменными. Однако вопрос об области сходимости этого ряда в общем случае остается открытым. [c.314]

Численное значение произвольного положительного а зависит от величины интервала, внутри которого требуется вычислить функцию оригинала. Универсальный алгоритм вычисления а отсутствует, что ограничивает использование предлагаемого способа численного обращения преобразования Лапласа. В то же время правильный выбор его значения является самостоятельной задачей, определяющей асимптотическую сходимость решения при t — где — момент времени, для которого необходимо получить численное значение оригинала. [c.291]

Решение поставленных задач аналитическими методами невозможно, так как они относятся к классу нелинейных задач, реализация которых осуществима лишь приближенными методами. Самыми простыми являются численные методы типа метода конечных разностей или метода конечного элемента. Достоинством этих методов является простота реализации на ПЭВМ и формализация вычислительного процесса на различных этапах решения, а основным недостатком — высокая погрешность при укрупнении временных и пространственных шагов в случае их уменьшения для увеличения точности расчетов увеличивается время счета. Возникают также проблемы с устойчивостью и сходимостью решений. [c.306]

Из краткого анализа возможных подходов к численному решению нелинейных краевых задач, конечно, трудно сделать вывод о целесообразности выбора того или иного метода. Эти трудности усугубляются тем, что в настоящее время нет достаточно надежных и практически удобных критериев сходимости методов последовательных приближений. В дальнейшем при численной реализации алгоритмов решения нелинейных задач сравнительную оценку различных методов будем проводить на конкретных примерах с тем, чтобы с помощью таких численных экспериментов оценить недостатки и преимущества каждого подхода. [c.79]

Такая запись системы ( ) имеет то преимущество что если применить для ее интегрирования метод итерации (последовательных приближений) и взять в качестве исходного приближения решения плоской задачи и уравнения Пуассона, то при переходе от ге-го шага приближений к ( +1)-му все время приходится решать плоскую задачу и уравнение Пуассона. Очевидно, при переходе от данного шага к последующему меняются лишь правые части уравнений а краевые условия после начального шага можно считать однородными. Вопрос сходимости процесса, разумеется требует особого исследования. Для обеспечения сходимости [c.87]

Отметим интересный исторический факт, заключающийся в том, что большинство исследователей, применявших итерационные схемы для решения стационарных задач, не занималось анализом устойчивости и скорости сходимости своих схем, а определяло характеристики эмпирически, хотя уже в то время из ранней работы фон Неймана был известен метод исследования устойчивости для уравнений, описывающих нестационарное течение. Возможное объяснение этого факта заключается в том, что методы расчета стационарных течений развивались из раздела численного анализа, относящегося к решению уравнения Пуассона, для которого простейшие итерационные методы не имеют ограничений, связанных с устойчивостью. [c.163]

В настоящее время не вызывает сомнений большая практическая потребность в человеко-машинных процедурах решения многокритериальных задач математического программирования. Для удовлетворения этой потребности нужно использовать процедуры, имеющие большие шансы на успешное практическое применение с точки зрения трех основных критериев простоты и надежности операций получения информации от ЛПР, малой чувствительности к случайным ошибкам ЛПР и хорошей скорости сходимости к решению. [c.109]

Метод последовательных приближений представляется более предпочтительным. Во-первых, из доказанной сходимости этого метода следует, что приближенная его реализация приведет к точному решению, поскольку для той или иной конечной суммы ряда задача сводится к вычислению конечного числа несобственных интегралов, что может всегда быть осуществлено с произвольной точностью ). Во-вторых, сама же реализация метода на ЭВМ требует сохранения в оперативной памяти лишь двух итераций (т. е. 6N чисел, в то время как в методе механических квадратур чисел). [c.575]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Обратное влияние пограничного слоя на внешний поток на этапе развивающегося и перемещающегося отрыва станет заметным и приведет к появлению времени в числе аргументов скорости внешнего потока. Пользуясь сравнительной малостью продолжительности разгона и вводя время в определение толщины пограничного слоя, можно искать решение задачи в виде ряда по степеням времени, сходимость которого при достаточно малых i обеспечена. Это обстоятельство также облегчает решение. [c.516]

При сопоставлении с методом конечных разностей обнаруживается значительное сокращение числа подлежащих определению неизвестных, а также значительно более быстрая сходимость метода ГИУ, причем следует иметь в виду, что в обоих подходах использовался метод последовательных упругих решений. Эти обстоятельства должны сказаться на значительном сокращении машинного времени, хотя машинное время ни в коем случае не является ограничивающим фактором при решении задач кручения. [c.81]

Наконец отметим, что преподавание во втузах элементов теории устойчивости движения, основанной на идеях Ляпунова, имеет большое воспитательное значение бескомпромиссная научная строгость методов теории Ляпунова в настоящее время, когда математическими методами овладевают люди, создающие технику и управляющие ей, должна быть в центре внимания при обучении молодежи этим методам. Неоправданные дополнительные гипотезы по ходу решения и ради решения проблемы, приближенная постановка задачи без оговорок и без попыток оценить ее конечные результаты, отсутствие доказательств сходимости последовательных приближений и других бесконечных процессов, коль скоро ими пользуются, — вот против чего возражал Ляпунов и что должно подвергаться критике в преподавании теории устойчивости движения. [c.12]

Различие методов решения задач с дополнительными нагрузками и дополнительными деформациями показано на рис. 45 [9, 11]. Получив в результате решения задачи теории упругости точку В, дальнейшее движение по методу дополнительных нагрузок осуществляем в направлении /, в то время как по методу дополнительных деформаций — в направлении 2. Критерием сходимости указанных методов, безусловно, служит близость напряжений в предыдущем и последующем приближениях. [c.146]

При исследовании оболочек нулевой кривизны и пологих оболочек, срединная поверхность которых изометрична плоской пластинке, нередко за вспомогательное принимается состояние пластинки, что упрощает построение ядер, но вместе с тем меняет и их структуру. В последнее время выдвинута идея о применении фокусированных ядер, т. е. быстро затухающих вспомогательных состояний, для улучшения сходимости вычислительного процесса (Н. А. Кильчевский, 1960 Н. А. Кильчевский, X. X. Константинов и Н. И. Ремизова, 1966). Пока же весь этот круг вопросов характеризуется различными постановками задач, выдвижением новых способов и отсутствием конкретного опыта, добываемого прж решении задач приведения до логического конца, т. е. до определенной системы двумерных уравнений. Наибольший интерес представляет решение задач, при которых напряженное состояние оболочки должно быть найдено при помощи уравнений теории упругости (например, краевые эффекты типа Сен-Венана, состояние около сосредоточенной нагрузки, около фронтов распространения возмущений и т. д.). [c.265]

Решение уравнений (10.1) — (10.2) составляет задачу исключительной сложности, и общих рецептов здесь в настоящее время дать нельзя. В этом параграфе мы изложим простейший приближенный способ вычисления функций Грина [16], [17], основанный на разложении массового и поляризационного операторов в ряды по степеням константы связи с последующим улучшением сходимости с помощью группы перенормировки. (Предполагается, что с помощью введения той или иной системы единиц константа связи g сделана безразмерной.) Подчеркнем сразу же, что этот прием — даже при достаточно малой константе связи — имеет лишь ограниченную область применимости, ибо исключает из рассмотрения зависимости, не аналитические по g при >0 (важнейший пример задач последнего типа составляет теория [c.94]

В качестве характерного примера несущественности начальных условий рассмотрим задачу об обтекании обратного уступа (рис. 3.22). Автор данной монографии решал эту задачу, принимая в качестве начальных условий = О во всех внутренних точках и вдоль границы В 1—В 5—В 2, задавая на входной границе значение г ), соответствующее течению в пограничном слое, и считая, что граница ВЗ является крышкой , т. е. 11)(ВЗ) = = г )(1,/) для вихря всюду полагалось = 0. Такое начальное приближение кажется совершенно неразумным. Однако после первой итерации при решении уравнения Пуассона с граничными условиями на входной границе, заданными по формулам (3.478), всюду появилась отличная от нуля скорость конвекции. К моменту п = 30 формировалась вполне правдоподобная зона возвратно-циркуляционного течения, а это указывало на то, что начальное приближение оказалось лучше, чем можно было ожидать. При таком грубом подходе для окончательной сходимости при Ке > 1 потребовалось такое же машинное время, как и при общепринятом подходе, заключающемся в расчете очередного варианта при начальном приближении, взятом по результатам предыдущего варианта, полученным при ином Ке или иных условиях на входной границе. [c.274]

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом отношении метод относится к группе вариационно-разностных, Строгое доказательство таких важных ствойств, как устойчивость, сходимость и точность метода, проводится в соответствующих разделах математики и часто представляет собой непростую проблему. Тем не менее МКЭ [c.12]

После выбора системы координатных функций ф/ процедура МКЭ представляется достаточно формализованной. Выбор же фг —самый ответственный этап, так как он определяет сходимость метода, точность решения задачи, разрешимость системы (1.5). Мнение о том, что наглядность МКЭ позволяет достаточно просто строить координатные функции из чисто физических соображений, на основе интуиции и т. п., может привести к грубым ошибкам. В настоящее время создан аппарат позволяющий правильно законструировать или проверить выбранные координатные функции с точки зрения сходимости решения, обусловленности системы (1.5) и других факторов (см. п. 1.2). [c.7]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

До появления ЭВМ асимптотические методы служили основным инструментом исследования течении в соплах. Эти методы являются важными и в настоящее время и позволяют, с одной стороны, оценить точность численных расчетов, если доказана сходимость, а с другой стороны — построить решение вблизи особых точек, которые зачастую трудно рассчитать численными методами. Наконец, асимптотические методы в некоторых случаях позволяют получать достаточно достоверную качественную и даже количест-веипую информацию о течении. Ниже представлены следующие основные асимптотические методы теорпи сопла метод источников и стоков, решение обратной задачи теории сонла для иесжимаемой жидкости, разложение в ряд по функции тока, асимптотические методы в трансзвуковой области, решение в окрестности бесконечно удаленной точки в дозвуковой области сопла, метод малых возмущений для исследования течений, близких к радиальным, линейная теория для нестационарных течений газа. [c.114]

На разностной сетке в методе маркеров и ячеек составляющая скорости W определяется в точке (i,j,k /2) и т. д. Для трехмерного уравненпя Пуассона также ставятся граничные условия Неймана введение дополнительной пространственной переменной существенно снижает скорость сходимости, и в связи с этим желательно рассчитывать решение при помощи прямых методов. Даже в этом случае время, необходимое для решения задачи, очень велико. Здесь большое значение приобретают контрольные и пробные расчеты на грубой сетке. Например, Уильямс [1969] для конвективных членов применял схему Аракавы (разд. 3.1.21) и прямой метод для решения уравнения Пуассона, что позволило сократить время решения этого уравнения до 25% от общего времени решения всей задачи. На машине UNIVA 1108 для расчета одного слоя по времени потребовалось 2 секунды на сетке ИХ 14X 14 и 96 секунд на сетке [c.310]

Различные градиентные методы отличаются способом отыскания вектора кю. Наиболее простыми градиентными методами решения минимаксных задач являются методы спуска [13], обобщенного градиентного спуска [23] и их аналоги [12]. Однако эти методы обеспечивают медленную сходимость, а в некоторых случаях они не обеспечивают сходимости. Ниже описан метод е-наиско-рейшего спуска [13] и его модификация, при которой экономится машинное время за счет уменьшения времени определения направления е-наискорейшего спуска. [c.208]

Анализ состава задач и их методологического обеспечения (см. таблицу задач в 4.2) позволяет сделать вывод, что большинство задач практически не разработано, а имеющиеся разработки требуют дополнительных затрат для применения их в АСУ теплоснабжения. Так, ни одна из приведенных (в табл. 3.1) программ не оформлена в соответствии с требованиями ЕСПД. Программы СЭИ часто моделируют трубопроводную систему без учета особенностей СЦТ, имеющих электронные регуляторы температуры и отопления. Программы ВТИ предназначены для анализа только двух схем присоединения потребителей. Все программы имеют довольно большое время счета и плохую сходимость вычислительного процесса. Исходя из сказанного выше, необходимо проанализировать имеющиеся решения и выработать требования к разработке математических моделей. [c.47]

Такую схему можно построить на основе метода отражений , впервые примененного Смолуховским [29] к системе из п сфер. Этот метод используется и в данной главе, хотя необходимо отметить, что до сих пор нет строгого доказательства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Поэтому в настоящее время приходится Удовольствоваться ограниченными эмпирическими свидетельствами в пользу метода. Так, метод дает согласие точным результатом Стимсона и Джеффри для осесимметричной задачи о двух сферах в некоторых других случаях имеется согласие с существующими экспериментальными данными. [c.272]

Полученный алгоритм легко программируется. Процесс определения кр,итических нагрузок сводится к вычислению определителя Л или при заданных значениях параметров т т, с, р и параметров нагрузки N, ii, Р. Критическому состоянию оболочки отвечают наименьшие значения параметров N, ti, Р, при которых определитель обращается в нуль. Процесс счета удобно организовать следующим образом. Перебирая ряд значений 3 при заданных параметрах нагрузки и геометрии оболочки и находя наименьший корень уравнения (4.24) для каждого р, получаем зависимость этих наименьших корней от р (рис. 6.2). Минимум в этой зависимости соответствует критическому состоянию оболочки. При любом числе узлов вычисления сводятся к вычислению определителя четвертого порядка. Это позволяет последовательно увеличивая т, проследить за сходимостью результата и получить точное решение задачи для любых граничных условий и любых нагрузок. Единственным ограничением может служить машинное время, которое увеличивается прямо пропорционально числу узлов. [c.94]

В последнее время используются и другие теории пластичности, позволяющие рассмотреть сложные пути нагружения. Характерные особенности применяемых методов, исследование ряда специальных вопросов (в частности, сходимости итерационных процебсав, лежащих в их основе), а также многочисленные решения задач упруго-пластического деформирования тонкостенных систем рассмотрены в обширной специальной литературе и здесь, естественно, рассмотрены быть не могут. Укажем на некоторые работы обзорного характера [41, 651. [c.223]

Хотя ряды при решении нелинейных краевых задач используются чрезвычайно широко, далеко не всегда они обладают перечисленными свойствами. Так, ряды Тейлора зачастую сходятся медленно и при этом в небольших областях, применение рядов Фурье для нелинейных уравнений приводит, как правило, к бесконечным системам нелинейных уравнений для определения коэффициентов, которые необходимо обрезать и решать затем приближенно. В то же время наличие точных методов нахождения коэффициентов рядов позволяет даже при небольшой области сходимости и медленной скорости сходимости ряда применять современную технику аналитических продолжений (например, аппроксиманты Падэ), ускорения сходимости, определять характер особенностей. Разумеется, каждый конкретный ряд позволяет получить аналитическое решение в какой-либо области в предположении, что в ней отсутствуют разрывы. Тем не менее, при построении обобщенных решений, в частности уравнений гиперболического типа, выделяя линии разрывов решений или каких-либо их производных, можно с помощью операций сшивок рядов получать конструктивные описания решений и в этих случаях. [c.238]

В методе дополнительных деформаций можно использовать промежуточные результаты решения системы в нервом приближении для получения соответствующих решений последующих приближений. Естественно, что это существенно экономит время расчета. Так, например, если при использовании метода первмвн-Шпс параметров упругости для сходимости процесса необходимо провести т приближении, то время решения задачи t — fim (ii — время одного приближения). Метод же дополнительных деформаций для решения требует значительно меньшего времени (ОД-О, 2) (т - 1) 1. [c.82]

Нам уже неоднократно приходилось сталкиваться с расходимостью степенных разложений. Первое, что пытаются сделать в подобных ситуациях, это перегруппировать члены разложения, в затем провести частичное суммирование подпоследовательностей. Именно таким образом и поступили в данном случае Кавасаки и Оппенгейм в 1965 г. Они отобрали в каждом порядке разложения наиболее расходяпщеся члены и просуммировали их. Эта идея очень похожа на используемую в теории плазмы (и была подсказана ею). Мы уже видели, как она работает в равновесной теории плазмы (разд. 6.5), а вскоре увидим, как она работает в неравновесной теории (разд. 20.5). Так как данная задача технически значительно сложнее соответствующей задачи для плазмы, мы не будем вдаваться в детали ее решения. Наиболее расходяш ие-ся интегралы порождаются некоторыми особыми многочастичными конфигурациями произвольного числа частиц. Эти интегралы отражают то обстоятельство, что частица 1 в приведенном выше примере во время своего длительного движения до повторного столкновения с определенной частищ Й в действительности испытывает столкновения с большим числом других частиц среды. Поэтому движение частицы является не свободным, а скорее затухающим вследствие взаимодействия со средой. Затухание в свою очередь обеспечивает сходимость интегралов. В результате суммирования приходим к такому, например, выражению для теплопроводности = . ш., d — Ъ. (20.4.10) [c.284]

А.М. Ляпунов [5] обосновал сходимость рядов Хилла и в то же время предложил свой метод решения задачи Хилла. Построенные им орбиты также симметричны относительно обеих гиперплоскостей Ml и М2. [c.133]

Определение параметров орбиты является классической задачей небесной механики. Однако ее решение для космических аппаратов связано с выполнением ряда специфических требований. Например, часто требуется определить параметры орбиты максимально быстро. Поэтому алгоритм вычисления, который содержит обычно итеративный процесс, должен быть весьма экономным и обеспечивать как малое число итераций, так и малое время выполнения каждой итерации. От алгоритма вычислений требуется также высокая надежность и безотказность, гаран-тируюш ая сходимость процесса даже при недостаточно удачном выборе исходного приближения. [c.271]

Появление электронных вычислительных машин коренным об разом изменило ситуацию в области решения дифференциальны уравнений с частными производными. Большинству инженеров практиков в настоящее время стало доступным численно исследо вать поставленные перед ними задачи. При этом число учитываемы членов ряда, представляющего поле напряжений или перемещений может быть велико. Используются также конечно-разностные ме тоды, в которых дифференциальные уравнения аппроксимируютс5 с помощью дискретных значений величин, заданных в выбранньс точках. Преимущество этих методов вытекает из длительной исто рии их развития, результатом которого стало появление теорел сходимости. Кроме того, возникающие в этих методах алгебраиче ские уравнения, которые необходимо численно решить, часто имею особенно простой вид. [c.16]

Этот способ решения задачи имеет общее значсзние, и мы будем время от времени к нему прибегать в дальнейшем (каждый раз выясняя, конечно, вопрос о сходимости соответствующих интегралов). [c.70]

Я считаю важным приобщать студентов к работе на ЭВМ как можно раньше. Соответственно в процессе преподавания я не придерживаюсь строго последовательности изложения материала в настоящем учебном пособии. В книге последовательно описываются схемы для решения уравнения переноса вихря, затем схемы решения эллиптического уравнения для функциитока, затем методы постановки граничных условий и, наконец, вопросы, связанные с начальными условиями и критериями сходимости вопросы, связанные с обработкой полученной информации, обсуждаются в последней главе. Однако в учебном курсе я даю задачу о течении жидкости в замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей сразу же после изложения нескольких основных схем и непродолжительного численного экспериментирования с одномерным модельным уравнением конвекции и диффузии вихря и лекции, в которой излагаются простейшие схемы решения эллиптического уравнения для функции тока и граничные условия на стенках с прилипанием. Студенты в течение нескольких недель работают над этой двумерной задачей, в то время как я продолжаю чтение лекций уже в соответствии с изложением материала в настоящей книге. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...