Метод механических квадратур

Как правило, интегральные уравнения решают численно методом последовательных приближений или методом механических квадратур [231]. Ясно, что в любом случае требуется численно вычислять сингулярные интегралы. Существуют два основных подхода к решению этого вопроса. [c.97]

При решении интегрального уравнения методом механических квадратур задача сводится к решению системы SN линейных алгебраических уравнений (N — число элементов, на которое разбивается поверхность) [c.99]

Реализация метода механических квадратур менее предпочтительна по сравнению с методом последовательных приближений. Для второй внутренней задачи получается вырожденная система, для которой требуется разработка специальных методов решения. Кроме того, вопрос о сходимости метода механических квадратур остается открытым, тогда как сходимость метода последовательных приближений доказана. [c.99]

Перейдем теперь непосредственно к методам решения интегральных уравнений. Реализация метода механических квадратур приводит к системе алгебраических уравнений порядка [c.574]

N (где N — число элементарных областей). В случае задачи 11+ система будет вырожденной, что требует для ее решения применения специальных уточненных методов. Заметим также, что остается открытым вопрос о сходимости метода механических квадратур, поскольку необходимо доказать, что при увеличении числа N получаемое приближенное (в кусочно-постоянном представлении) решение стремится к точному. [c.575]

Метод последовательных приближений представляется более предпочтительным. Во-первых, из доказанной сходимости этого метода следует, что приближенная его реализация приведет к точному решению, поскольку для той или иной конечной суммы ряда задача сводится к вычислению конечного числа несобственных интегралов, что может всегда быть осуществлено с произвольной точностью ). Во-вторых, сама же реализация метода на ЭВМ требует сохранения в оперативной памяти лишь двух итераций (т. е. 6N чисел, в то время как в методе механических квадратур чисел). [c.575]

Если для внешней и внутренней задач частота колебаний меньше первой собственной частоты для внутренней задачи, то решение интегрального уравнения может быть получено последовательными приближениями. В общем же случае целесообразно пользоваться методом механических квадратур, сводя задачу к системе алгебраических уравнений. Эта же система позволяет устанавливать значения собственных частот, поскольку они являются корнями ее определителя. [c.588]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Метод механических квадратур [c.52]

Для решения полученного эквивалентного граничного интегрального уравнения используются, как правило, два основных метода решения — метод механических квадратур и метод последовательных приближений. В теории интегральных уравнений для случая одномерных уравнений доказано, что приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных на спектре), получаемое методом механических квадратур, сходится к точному решению при уменьшении размеров элементарных областей [152]. Вопрос о сходимости метода механических квадратур для сингулярных уравнений в двух измерениях остается открытым, в то время как сходимость последовательных приближений для уравнений теории упругости доказана. [c.50]

При реализации прямого варианта МГЭ предпочтение отдается методу механических квадратур, так как метод последовательных приближений обладает рядом существенных недостатков, а именно (202] [c.55]

Метод механических квадратур. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение [c.29]

В данной главе изложен алгоритм [95, 102] расчета статической траектории распространения исходной внутренней трещины, базирующийся на решении плоской задачи теории упругости для тел с криволинейными разрезами. Приложенная к телу нагрузка и форма исходной трещины удовлетворяют некоторым условиям симметрии, так что оба ее конца развиваются одинаково. В этом случае траектория может быть построена без учета зависимости скорости роста трещины от коэффициента интенсивности напряжений в ее вершине. Аналогично может быть рассмотрено распространение краевой или полубесконечной трещины при действии любой несимметричной нагрузки. Изучены случаи развития исходной прямолинейной или двух сдвинутых параллельных трещин в бесконечной плоскости при действии растягивающих усилий на бесконечности или растягивающих сосредоточенных сил. Задачи на каждом этапе сводятся к сингулярному интегральному уравнению для гладких контуров, численное решение которого находится методом механических квадратур. [c.41]

Как и выше, численное решение уравнения (2.24) при условии (2.25) найдем с помощью метода механических квадратур. Учитывая соотношение и )=и — ), которое следует из условия симметрии задачи относительно оси Оу (1.103), систему комплексных алгебраических уравнений (2.28) при четном n = 2N можно преобразовать к виду [c.54]

Правая часть системы (5.38) содержит только гладкие функции, поэтому ее численное решение может быть найдено методом механических квадратур (см. параграф 4 первой главы). Учет симметрии задачи позволяет сократить вдвое порядок соответст-вуюш,ей системы линейных алгебраических уравнений. [c.155]

Воспользовавшись методом механических квадратур, приходим к системе N—1 линейных алгебраических уравнений (N—число квадратурных узлов на контуре трещины) [c.180]

Численное решение системы (7.19), (7.20) будем искать методом механических квадратур. Применив к ней квадратурные формулы (1.123), (1.124), (1.116), (1.117), получим систему Ni- Nz комплексных линейных алгебраических уравнений [c.189]

Для решения такой задачи имеем систему интегральных уравнений (7.47) с гладкими правыми частями, причем в выражении (7.45) для функции Q( i) следует заменить Ri на а. С помощью метода механических квадратур приходим к системе алгебраических уравнений вида (7.22), последнее уравнение которой нужно заменить условием (7.32). Безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений K nR )IP в зависимости от X=//(d—Rq) при различных значениях параметров R ld и ajb приведены в табл. 35 и 36, где над чертой даны результаты для одной трещины, под чертой — для двух. Анализ приведенных в этих таблицах численных данных показал, что с увеличением вытянутости эллипса Li [c.201]

Пусть на окружности Lo в концах диаметра, перпендикулярного к линии краевых треш,ин, приложены две равные по величине растягивающие силы F, а внешний контур Li и берега трещин свободны от нагрузок (см. рис. 78, Р=0). Тогда, как и в случае кругового кольца, потенциалы Фо( ), о( ) имеют вид (7.41) и правые части (7.42) являются гладкими функциями, что дает возможность находить численное решение задачи методом механических квадратур. Для этого нужно решить систему алгебраических уравнений (7.22), в которой правые части определяются через соотношения (7.42), а последнее уравнение системы нужно заменить условием (7.32). [c.202]

Воспользовавшись методом механических квадратур, приходим к системе 2N линейных алгебраических уравнений [c.225]

Очевидно, что численная реализация уравнения Мусхелиш-вили затруднительна из-за того, что уравнение расположено на спектре. В частности, при решении методом механических квадратур получаются вырожденные системы. В [45] отмечается, что при той или иной реализации целесообразно сохранять добавки (кб) или (3.10). Из-за погрешности квадратурных формул эти добавки не будут, вообще говоря, обращаться в нуль, и поэтому они внесут некоторую (малую) погрешность. Однако при этом полностью устраняются указанные выше затруднения вычислительного порядка. [c.382]

Уравнения (5.6) также являются сингулярными уравнениями с разрывными ядрами и разрывным коэффициентом при внеинтегральном члене. Исследования условий разрешимости уравнений класса (5.6) также отсутствуют. Однако, безусловно, является полезной разработка эффективных численных методов решения уравнений (5.2), (5.5), (5.6) ). Например, не составляет труда реализация в той или иной форме метода механических квадратур. Для вычисления сингулярных интегралов, входящих в уравнения (5.2), (5.5) и (5.6), можно использовать регулярное представление (3.2) в его модифицированной форме. Если же осуществить полигонализацию поверхности, то можно воспользоваться кубатурными формулами [88, 206]. [c.597]

В том случае, когда разрез является частью плоскости симметрии задачи, ставятся смешанные граничные условия на поверхности разреза — условия для вектора напряжений, а на про-должепии его — нулевые касательные напряжения и нулевые нормальные перемещения. В такой постановке решен ряд пространственных модельных задач по определению коэффициента интенсивности напряжений [92]. Интегральное уравнение решалось методом механических квадратур [231, 271]. В таблице 14.3 [c.106]

Стандартный метод решения сингулярных интегральных уравнений состоит в их регуляризации и последующем численном решении полученных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Однако такой подход очень трудоемок. В последнее время в численных расчетах наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основа1шый на определенных формулах, для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных интегралов [30, 65, 71, 77, 94, 180, 228, 299, 314, 315, 341, 360, 4191. [c.52]

Саникидзе До/с. Г. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с суммируемой плотностью методом механических квадратур.— Укр. мат. журн., 1970, 22, № I, с. 106—114. [c.313]

Суть метода механических квадратур заключается в следующем. Представим некоторую двумерную область V в виде М плоских сегментов, а границу S разобъем на N отрезков. Для вектора смещения заранее выбранной характерной точки границы Р можно записать интегральное уравнение (П1.9). Элементы, на которые дискретизируется граница, будем называть граничными элементами (ГЭ). Геометрия элемента в общем случае произвольна, но, как правило, используются ГЭ в виде отрезков прямых, дуг окружностей либо отрезки квадратичных функций. Сегменты, на которые разделена область V, называют ячейками. Обычно ячейки выбирают в виде треугольных или четырехугольных конечных элементов. [c.56]

Решение СЛАУ (III. 12) дает нам искомые неизвестные граничные усилия и перемещения и в общей схеме реализации МГЭ является существенным моментом. Матрица [Aif], получающаяся в результате использования метода механических квадратур,— несимметричная полно-заполненная матрица размером 2Nx2N в двумерном случае и 3NX 3N — B пространственном. [c.57]

В результате численного решения системы интегральных уравнений (5.27) методом механических квадратур определяются коэ(йици [c.150]

Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений от параметра Я (К-тарировки f (Я) =Kij(/>Уя/)), полученные для различных отношений Pijp после решения уравнения (7.72) с помощью метода механических квадратур, представлены на рис. 85—87 соответственно для волок форм 9, 11 и 13 [38]. Внутреннее давление р (при 6=7 0) изменяли в пределах 392—1960 МПа с шагом 196 МПа в случае отсутствия натяга задача становится линейной по р и, следовательно, функция f K) не зависит от приложенного давления. Механические характеристики материала волоки (твердый сплав ВК6) и подкрепляющего кольца (среднеуглеродистая сталь) брали равными о=6,28-105 МПа, цо=0,22 и i=2,06X Х10 МПа, р,1=0,28 остальные данные для расчетов взяты из табл. 41. Для указанных значений параметров относительная погрешность, меньшая 1 %, достигалась при количестве узлов на трещине N—20. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...