Сходимость итерационного процесса

Введем обозначения, используемые в алгоритме величины с индексами 1,1—1 относятся к текущей и предыдущей итерации на временном этапе т — Ат, т и 2 — соответственно скорость продольной (осевой) деформации при растяжении ( i > > 0) и сжатии ( 2 < 0) образца р — параметр сходимости итерационного процесса бд — заданная погрешность вычислений остальные параметры те же, что и в подразделе 3.4.1. [c.179]

Для сравнения скорости сходимости итерационного процесса [c.315]

Исследуем условия сходимости итерационного процесса, описываемого уравнением (3.3). [c.56]

Среди различных функций ф(. г), для которых выполняется условие (3.6), лучшей будет та, которая обеспечивает более высокую скорость сходимости итерационного процесса. Очевидно, что чем меньше величина 0, тем быстрее скорость сходимости. Можно показать, что функция ф( с), определяемая выражением [c.57]

Здесь f r hx)— матрица, обратная матрице производных, эле-менты которой. Метод Ньютона всегда сходится, если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению. Основное время при вычислениях по формулам (1.84) расходуется на обращение матрицы (х< )). Для сокращения этого времени матрицу вычисленную на ( +1)-й итерации, используют для вычисления не только х< + ), но и нескольких следующих приближений. Можно один раз найти /J (х ) и вычисления по (1.84) проводить при постоянной матрице. При этом скорость сходимости итерационного процесса замедляется, однако общий выигрыш во времени может быть большим. [c.31]

Второй подход, приводящий к методу Ньютона, более сложен в реализации, но позволяет во многих случаях ускорить сходимость итерационного процесса, а иногда является и единственным способом решения, приводящим к успеху. Рассмотрим его основную идею на примере системы двух нелинейных уравнений [c.15]

Для быстрой сходимости итерационного процесса нужно удачно выбрать начальное приближение (u/+ ) . Обычно его получают с помощью явной многошаговой формулы. Тогда в целом алгоритм расчета на каждом шаге выглядит так сначала предсказывается значение а затем проводится одно или несколько уточнений начального значения по формуле (1.57), т. е. получается предсказываю-ще-исправляющий метод, который часто называют методом предиктор—корректор. [c.36]

Во второй главе изложена методика отыскания асимптотически устойчивых предельных режимов движения машинных агрегатов. С помощью принципа сжимающих отображений построен равномерно сходящийся итерационный процесс, позволяющий с любой степенью точности находить предельные режимы. Принципиальной особенностью данного метода, отличающего его от других методов, используемых в динамике машин, является то, что он совершенно не связан со случайным выбором начальных условий, величиной промежутка и шага интегрирования, а приближения к искомому режиму находятся в виде функций, определенных на всем промежутке изменения угла поворота главного вала. Исследованы характер и скорость сходимости итерационного процесса. Найдены удобные для инженерных расчетов формулы, позволяющие программировать весь процесс вычислений и на каждом шаге оценивать погрешности, с которыми получаемые приближения воспроизводят предельный режим. [c.8]

Таким образом, скорость сходимости итерационного процесса вполне характеризуется отношением 1 верхней и нижней границ крутизны приведенного люмента действуюш их сил. Предлагаемый метод будет особенно эффективным при отыскании периодических предельных режимов таких агрегатов, движения которых описываются квазилинейными дифференциальными уравнениями относительно кинетической энергии Г. [c.68]

Эта более грубая по сравнению с (4.49) оценка показывает, что скорость сходимости итерационного процесса (4.41) оказывается не медленнее скорости сходимости некоторой геометрической прогрессии со знаменателем 5=1 —О д < 1 и вполне достаточна для практических расчетов. [c.165]

Для обоснования сходимости итерационного процесса с обменными граничными условиями (4.8) используется существование линейных операторов G,-, устанавливающих для каждого из упругих тел соответствие между векторами перемещений и напряжений на фиксированной площадке взаимного контакта S [c.147]

При численном решении контактных задач итерационный процесс (4.10) соответствует попеременному решению краевых задач для тел 1 и 2 с граничными условиями (4.8), и в этом случае вычисление матриц податливости и жесткости, являющихся дискретными аналогами соответственно операторов Gj и, не нужно. Что касается проверки достаточного условия сходимости итерационного процесса 1И <1, или Л<, <1, то в этом также нет необходимости, так как расходимость обнаруживается в течение первых итераций, после чего надо изменить направление процесса. Итерационный процесс заканчивают, если выполнено, например, условие тзх. upi 0 - заданная величина относи- [c.148]

Продолжая итерационный процесс дальше, можно получить решение задачи с любой степенью точности. Критерием сходимости итерационного процесса является достаточно быстрое затухание разности получаемых величин в предыдущем и последующем приближениях. Возможно, что для практических задач будет достаточно первого или второго приближения, поскольку функция f(M) с самого начала учитывает оптическую и термическую неоднородность для заданных по условию величин. Кроме того, сами итерационные формулы предполагают учет оптической неоднородности зон, и в качестве нулевого приближения используются результаты расчета по зональному методу, в котором на начальном этапе также частично учитываются термические и оптические неоднородности. [c.243]

Общих методов решения краевых задач теории упругости, которые сводили бы решение к вычисле- нию квадратур, как известно, не существует. Например, при решении пространственной краевой задачи в перемещениях методом Папковича-Нейбера предварительно требуется найти три гармонические функции. Эта задача может быть сведена к вычислению ряда квадратур, если известна одна гармоническая функция — регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа (метод одной гармонической функции [1]). Однако общие условия сходимости итерационного процесса до сих пор недостаточно хорошо изучены. Поэтому возможность применения метода одной гармонической функции к решению конкретных задач целесообразно иллюстрировать на примерах. [c.8]

Анализ моделей гидравлического режима показывает необходимость разработки математического метода, обеспечивающего быструю сходимость итерационного процесса. [c.131]

Такой способ учета ограничений весьма прост для программирования па ЦВМ. Он универсален, т. е. пригоден для ограничений любого вида. Начальный режим ГЭС при этом способе может быть задан в зоне нарушения ограничений — далее в процессе решения задачи эти нарушения ограничений будут ликвидированы (последнее важно потому, что весьма трудно задать в допустимой области начальный режим сложного каскада ГЭС). Вместе с тем учет ограничений с помощью штрафных функций ухудшает сходимость итерационного процесса решения задачи (по сравнению со случаем отсутствия режимных ограничений). [c.32]

Известно, что сходимость итерационного процесса решения при минимизации целевой функции со штрафами существенно понижается по сравнению со случаем минимизации целевой функции без штрафов. Поэтому в методе штрафных функций особенно желательно использовать возможные способы убыстрения сходимости итерационного процесса решения задачи. Рассмотрим такие способы. [c.49]

Для ускорения сходимости итерационного процесса воспользуемся энергетическими соотношениями. Вектор перемещений, определяемый из уравнений равновесия (3.24), должен удовлетворять также и закону сохранения энергии. Для каждого шага нагружения можно записать [c.96]

Условием сходимости итерационного процесса, определяемого [c.103]

Последовательность решений м ", w " должна сходиться к искомому решению упруго-пластической задачи. Как показано в многочисленных расчетах, скорость сходимости итерационного процесса в значительной степени зависит от вида диаграммы а 8 . При большом упрочнении, когда диаграмма не сильно отличается от линейной, часто достаточно трех, четырех итераций для получения результатов с удовлетворительной точностью. [c.514]

H,(M = W+a (H.-wW) (А = 0.1,2....), где а , а , сх (0<сх <1, 0<а <1, О<а < 1)-параметры, обеспечивающие сходимость итерационного процесса. Вектор u u,v,w) определяется из решения системы линейных уравнений, описывающих изгиб и растяжение пластины [c.73]

Для иллюстрации возможностей и оценки эффективности предложенного в 3.2 алгоритма приведены результаты решения задач изгиба гибких линейно-упругих пластин различной формы при граничных условиях шарнирного закрепления и жесткой заделки и их комбинациях, находящихся под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок. Дан численный анализ скорости сходимости итерационного процесса в зависимости от выбора параметров релаксации а , а , а, . Проведено сравнение результатов с решениями, имеющимися в литературе. [c.79]

В таблице 3.9 приведены результаты исследования сходимости итерационного процесса (3.2.6) для этой же задачи, для случая, когда в качестве параметра, определяющего деформацию оболочки, принята поперечная нагрузка. [c.96]

Поэтому для того, чтобы шаг t был не слишком мелким и в то же время сходимость итерационного процесса была обеспечена, при практической реализации дискретного продолжения решения обычно достаточно следить за выполнением на первом шаге итерационного процесса условия вида [c.43]

Сходимость итерационного процесса к решению обеспечивается единственностью решения линеаризованной задачи механики оболочек и выполнением для каждого приближения по Ньютону условия равновесия штампа. [c.46]

Итерационная процедура заканчивается, как только выполняются некоторые критерии сходимости итерационного процесса и вектор становится малой величиной. [c.187]

Для решения систем нелинейных конечных уравнений используют диакоптический вариант метода Ньютона с контролем сходимости итерационного процесса отдельно по выделенным фрагментам. Выполнение условий сходимости в г-м фрагменте является основанием для прекращения вычислений по уравнениям этого фрагмента. Очевидно, что раздельное интегрирование означает и раздельное решение подсистем ЛАУ, относящихся к отдельным фрагментам. [c.244]

Оказывается, что этот итерационный процесс может расходиться, если значения некоторых щ (или всех) близки к равновесным значениям. Это связано с тем, что релаксационные уравнения (4.16) вблизи равновесия являются уравнениями с малым параметром. Вблизи ])авновесия функции Fi очень чувствительны к изменениям щ и Т. Нарушение сходимости итерационного процесса связано с тем, что при использовании уравнения (4.20) приходится вычислят1 Fi в точке 3 по значениям параметров предыдущей итерации. Для сходимости итераций нужно использовать более мелкую сетку, чем это требуется для решения газодинамических уравнений. [c.119]

Рассмотрим характер сходимости итерационного процесса (4.8) на примере двумерной задачи о сжатии двух цилиндров с различными модулями упругости EilEx = l. Дискретизация области, величина нагрузки и [c.148]

Пусть х —однокомпонентная величина (it= 1) и х—неподвижная точка отображения (10), л=/(х). Точка х асимптотически устойчива, если в ней (df/dx)x=x < U и неустойчива, если знак неравенства противоположный. Тем самым асиптотическая У. неподвижной точки л эквивалентна сходимости итерационного процесса (10) решения ур-ния х-/ х)=0. [c.256]

Из математики известно [Л. 30], что в сравнении с другими методами (например, методом штрафных функций) проекционный метод учета ограничений в оптимизационных задачах нелинейного программирования обеспечивает сходимость итерационного процесса решения за меньшее число итераций, особенно при линейных или близких к линейным ограничениям, что имеет место и в нашей задаче. Однако проекционный метод может дать выигрыш во времени решения задачи в целом лишь тогда, когда трудоемкость проектирования вектора-антиградиента на поверхность ограничений невелика. [c.48]

Блок-схема алгоритма шагово-итерационного расчета геометрически и физически нелинейных тонкостенных подкрепленных конструкций (рис. 7.21 построена на основе уравнений, приведенных в 3.2. Физическая нелинейносп. учитывается в рамках теории течения с использованием уравнений состояния описанных в 2.4 для различных типов материалов. Алгоритм предусмагривас i возможность нагружения конструкции с переменным шагом по нагрузке, а также возможность энергетической коррекции решения на каждой итерации равновесия для ускорения сходимости итерационного процесса. [c.146]

Такую схему можно построить на основе метода отражений , впервые примененного Смолуховским [29] к системе из п сфер. Этот метод используется и в данной главе, хотя необходимо отметить, что до сих пор нет строгого доказательства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Поэтому в настоящее время приходится Удовольствоваться ограниченными эмпирическими свидетельствами в пользу метода. Так, метод дает согласие точным результатом Стимсона и Джеффри для осесимметричной задачи о двух сферах в некоторых других случаях имеется согласие с существующими экспериментальными данными. [c.272]

Решение задачи с нелинейными определяющими соотношениям для компонентов композита производили согласно методу переменных параметров упругости. На каждом шаге итерации вычисляется маг трица жесткости суперэлемента (центральной ячейки и области ws), которая содержит переменные параметры, зависящие от достигнув того уровня пластических деформаций. Считали, что при переходе к следующему шагу матрицы влияния всех ячеек области us одина ковы. Итерационный процесс по граничным условиям с однородно , распределенными напряжениями осуществляли аналогично тому, как зто было сделано в 5.3, причем одновременно с изменением матриц влияния. Эти условия ускоряют сходимость итерационного процесса, когда на каждом шаге итерации решается краевая задача с новымй граничными условиями и матрицами влияния блоков. Итерационный [c.98]

Остановимся подробнее на вопросе сходимости итерационного процесса (5.16), Пользуясь ювестными теоремами линейной алгебры [5.2], можно показать, что существует невырожденная матрица Н, такая, что [c.95]

Истолкование рассмотренных выше итерационных процессов как процессов совместного решения основной оютемы уравнений с дополнительным уравнением позволяет рассматривать их с обшей точки зрения на метод Ньютона — Рафсона, которая подробно развивается во многих монографиях ([366,35,481,212] и др.). В них детально об< ждены вопросы сходимости ь№тода. Мы только отметим, что для сходимости итерационного процесса метода Ньютона — Рафсона начальное прибдижение обычно не должно слишком сильно отличаться от искомого решения. В построенных выше итерационных алгоритмах по самому смыслу метода продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно малых величинах шага t по параметру продолжения X. [c.40]

Более эффективный в смысле сходимости итерационный процесс метод Ньютона Рафсона (1.5.12) использовался в работах [475—478,408, 394, 506, 390, 414, 515, 269, 439, 431, 406, 480]. Однако этот метод требует корректировки касательнш матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопрово ается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итераций модификации метода Ньютона (1.5.13), так как при зтом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. Такой подход к организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру применялся в работах [420,318,517, 515 476,518,1,397, 535,191,134,303, 536]. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...