Группа перенормировки

В общей теории, развиваемой в следующих двух главах, мы не будем явно специализировать вида функции р (исключая рассмотрение группы перенормировки, где будет использована форма (5.35)). При решении конкретных задач в гл. IV и V, однако, мы явно воспользуемся калибровкой (5.35). [c.51]

Очевидно, преобразования (10.7) образуют группу (именуемую группой перенормировки) ). Заметим, что она может заметно упроститься при наличии каких-либо дополнительных условий (благодаря которым параметры z , 2, z могут оказаться не независимыми). Так, в случае сил электромагнитного происхождения важное соотношение вытекает из условия градиентной инвариантности. Действительно, из квантовой механики известно (см., например, [13]), что при градиентном преобразовании потенциалов (5.33) волновая функция системы (в координатном представлении) умножается на [c.93]

Решение уравнений (10.1) — (10.2) составляет задачу исключительной сложности, и общих рецептов здесь в настоящее время дать нельзя. В этом параграфе мы изложим простейший приближенный способ вычисления функций Грина [16], [17], основанный на разложении массового и поляризационного операторов в ряды по степеням константы связи с последующим улучшением сходимости с помощью группы перенормировки. (Предполагается, что с помощью введения той или иной системы единиц константа связи g сделана безразмерной.) Подчеркнем сразу же, что этот прием — даже при достаточно малой константе связи — имеет лишь ограниченную область применимости, ибо исключает из рассмотрения зависимости, не аналитические по g при >0 (важнейший пример задач последнего типа составляет теория [c.94]

Это соотношение мы и будем использовать как граничное условие при решении уравнений группы перенормировки. Последние в данном случае имеют вид (10.11) [c.99]

Это есть функциональное уравнение группы перенормировки. [c.101]

Мы будем называть выражение (11.19) инвариантным зарядом , ибо оно инвариантно относительно преобразований группы перенормировки (11.10). Очевидно, инвариантный заряд различен в различных областях пространства импульсов, и именно так и определяется истинный параметр разложения. [c.102]

Перейдем теперь в соответствии с общей схемой 11 к оценке точности принятого приближения с помощью группы перенормировки. Для выяснения существа дела достаточно ограничиться простейшим случаем изотропной квадратичной аппроксимации (19.7). [c.176]

Обратимся теперь к оценке точности принятого приближения с помощью группы перенормировки. Как и в 11 [c.183]

В настоящем параграфе мы исследуем взаимодействие электронов с акустическими фононами в рамках теории возмущений 11 (без группы перенормировки). Это приближение не учитывает эффектов сверхпроводимости, однако, для некоторых задач оно достаточно. [c.216]

СООБРАЖЕНИЯ ПОДОБИЯ И ГРУППА ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ТЕОРИИ КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ [c.238]

Все изложенное дает лишь малое представление о мощи метода группы перенормировки в теории фазовых переходов и критических явлений. В последние годы появились сотни работ, в которых этот метод применялся к широкому классу задач, относящихся к разным теоретическим моделям, реальным или гипотетическим. Было бы совершенно невозможным делом попытаться отобразить здесь всю эту быстро разрастающуюся область, не исказив состояния дел самым безнадежным образом. Во всяком случае, появилось уже много отличных обзоров на эту тему и еще больше, несомненно, появится. Возможно, стоит отметить и то, что изучение статистической механики беспорядка замещения не сводится целиком к математической теории преобразований подобия. Нас интересует здесь не только асимптотика различных термодинамических функций в непосредственной окрестности критической точки. Поэтому мы вынуждены с сожалением отойти от этой полной очарования темы и закончить главу ). [c.246]

Хотя соображения теории подобия (см. 5.12) позволяют высказать ряд утверждений о критических индексах [7], все же нельзя считать совершенно надежно установленным, что переход в данном случае абсолютно резкий [8]. Не может ли получиться так, что вмороженная в систему неупорядоченность приводит к сглаживанию фазового перехода по спиновой переменной Наиболее убедительный довод против этого дает формальное преобразование гамильтониана (12.1) к значительно более сложному виду, но ун<е обладаюш,ему трансляционной инвариантностью решетки [9]. Его исследование с помош,ью метода группы перенормировки с хорошей точностью показывает, что никаких новых особенностей в поведении системы не возникает. [c.543]

Дифференцируя это уравнение по и полагая затем х новое уравнение группы перенормировки [c.106]

Группа перенормировки впервые была обнаружена в связи с задачами квантовой теории поля. Название связано с тем, что первоначально параметры 2-1, а, 2-3 играли роль перенормировочных констант (вообще говоря, бесконечных), вводимых на предмет явного устранения расходящихся выражений из матрицы рассеяния [10]. Лишь позднее [И], [12] выяснилось, что и после устранения бесконечностей уравнения Швингера допускают мультипликативную группу (10.6)— (10.7) с конечными параметрами 2-1, га, гз. Наконец, в работе [9] было показано, что это обстоятельство вообще не связано с наличием расходимостей и не специфично для релятивистской квантовой теории поля, а представляет собой общее свойство уравнений Дайсона с весьма широким классом гамильтонианов взаимодействия. [c.93]

Таким образом, вблизи критической точки картина флуктуаций масштабно-независима, т. е. она должна выглядеть одинаково как на микроскопическом уровне, так и на расстояниях, сравнимых с корреляционной длиной . Чтобы понять природу неупорядоченности этого типа, рассмотрим модель Изинга при температуре, чуть меньшей 2. Как прказано в 2.4, при этих условиях область опрокинутых спинов термодинамически почти устойчива, поэтому можно было бы наивно ожидать, что флуктуации проявляются в виде капель (рис. 5.17, а), размеры которых растут, когда температура Т приближается к критической Те- Однако избыток свободной энергии, определяемый равенством (2.13) не зависит сколько-нибудь существенно от размеров области. Поэтому внутренняя часть каждой большой капли сама подвержена критическим флуктуациям и т. д.— вплоть до атомного уровня. Таким образом, картина опрокинутых спинов может оказаться топологически необычайно сложной [71] внутри капли располагаются капли поменьше, внутри которых тоже есть капли и т. д. (рис. 5.17, б). Метод группы перенормировки как раз и дает нам естественный математический язык для описания систем, в которых беспорядок охватывает очень широкий спектр длин волн — от микроскопических до макроскопических [76]. [c.243]

Феноменологические допущения, сделанные при выводе формулы (7.66), легко подвергнуть сомнению, предложив взамен альтернативные гипотезы в надежде получить лучшие результаты [31]. Сверх того, задача об исключенном объеме решалась всеми методами, известными в теории переходов от порядка к беспорядку. Использовались и вириальное разложение ( 5.10 и 6.5) по степеням силы взаимодействия, ответственного за исключенный объем [32], и диаграммное суммирование ( 5.10) производящей функции для случайных блужданий с учетом взаимодействия [33], и группа перенормировки ( 5.12) на предмет расчета критических индексов в зависимости от размерности системы [34], и другие сложные алгебраические приемы (см., например, [35]). Что удивляет, однако [5.65, 36], так это точность, с которой наилучшие аналитические приближения и численные расчеты, выполненные как методом Монте-Карло, так и другими прямыми способами, согласуются с простой формулой Флори (7.66). Обнадеживают и результаты экспериментов по вязкости и рассеянию света ( 7.4), которые согласуются с показателем степени в выражении (7.67) [9, 28]. [c.317]

Решение этих. задач облегчается использованием метода ренор.чализационной группы, в основе к-рой лежит групповой характер конечных преобразований, аналогичных сингулярным ф-лам перенормировки (14) я сопровождающих их преобразований ф-ций Грина. Этим путём удаётся эффективно просуммировать нек-рые бесь онечяые наборы вкладов фейнмановских диаграмм (, в частности, представить двойные разложения (15) в виде одинарных [c.305]

П. т. в. возникла в связи с необходимостью устранения бесконечностей, возникающих при снятии регуляризации в высших порядках ВТ в квантовой электродинамике (КЭД). Но в любых моделях КТП, содержащих расходимости, процедура перенормировки полей и констант является обязательной для получения осмысленных результатов. Методика П. т. в. допускает в принципе и конечные перенормировки, но их осуществление не обязательно и является вопросом удобства. Разл. ренормализац. схемы отличаются друг от друга конечными перенормировками (см. Ренор-мализационная группа). [c.562]

ПЕРЕНОРМИРОВКИ (ренормировки) в квантовой теории поля (КТП) — процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей. П. проводится в процессе решения квантовых ур-ний и в целом представляется в виде особого предписания, формулируемого дополнительно к осн. закону движения — ур-нию Шрёдингера. Др. значение термина П. связано с конечными изменениями параметров лагранжиана КТП, приводящими к ренормализационной группе (см. ниже). [c.563]

Существенным недостатком изложенного выше подхода к исследованию асимптотических свойств пространственной бесконечности является использование 3+1-расшепления, что нарушает, например, свойства конформной инвариантности тензора Вейля (здесь имеется ввиду его неинвариантность относительно перенормировки 3-мерной метрики) и значительно усложняет анализ. Кроме того, группа асимптотических симметрий изоморфна группе Лоренца [25], а это приводит к невозможности корректного определения момента импульса. [c.155]

Свобода выбора функции д (д) в формуле (8.50) есть частное проявление той свободы выбора, которая известна в канонической теории возмущений под названием ренор-мализационной группы (см. [5], гл. 8). Переход от к соответствует конечной перенормировке константы связи. Аналогичная свобода в принципе имеет место и при выборе массы т. Вместо того, чтобы рассматривать массу как фиксированный внешний параметр, мы могли бы так же, как в случае с д, считать ее функцией константы связи т = = т (д). Но это привело бы к значительному усложнению формализма, связанному с тем, что т явным образом (через посредство А " -функции) входит в соотношения полноты (2.36). Очевидно, что вводить такое усложнение в рассматриваемую простую модель не имеет смысла. Однако это вовсе не так для моделей с частицами нескольких сортов, где зависимость от д разностей масс может иметь важное физическое значение. Подобная ситуация рассматривается в работе [33]. [c.129]

Эффективный заряд. Ренормализа-ционная группа. Процедура перенормировки придала квант, электродинамике черты логич. замкнутости. Однако даже в этой теории проблема самосогласованности не может считаться решённой. Одно из усложнений простейших диаграмм Фейнмана (рис. 1,2) состоит в том, что каждая [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...