Инварианты уравнения, определяющего

Инварианты уравнения, определяющего главные напряжения 211. [c.446]

Как мы увидим, для голономной системы число п можно взять равным числу степеней свободы к. Для неголономной системы наименьшее значение п равно к I, где I есть инвариант системы, определяемый уравнениями связи. [c.59]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Замечание. Из доказанного ранее следует, что интеграл [— Hdt- -pdq] является интегральным инвариантом группы, определяемой уравнениями [c.290]

Обратимся к исследованию уравнений, определяющих поле напряжений. Записывая условие (3) в инвариантах, получим [c.344]

Стремление сделать книгу как можно более физической диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому задачи теории турбулентности обычно не могут быть непосредственно сведены к нахождению единственного решения некоторого дифференциального уравнения (или уравнений), определяемого известными начальными и граничными значениями. В этих условиях неизбежно приходится привлекать помимо уравнений движения какие-то дополнительные соображения. Нам представляется, что среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариант ность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места особенно кратко здесь изложены классические применения полуэмпирических теорий к течениям в трубах, каналах и пограничных слоях, подробно изложенные в известных монографиях С. Гольдштейна (1938), Л. Г. Лойцянского (1941) и Г. Шлихтинга (1951) (вместе с полуэмпирическими теориями свободной турбулентности , вовсе опущенными в нашей книге). Однако мы включили все же некоторые сравнительно новые и м цее известные применения полуэмпирических теорий и рассмотрен ряд применений полуэмпирической теории турбулентной [c.29]

Почему коэффициенты кубического уравнения, определяющие главные напряжения, являются инвариантами [c.157]

Повреждение, обусловленное интенсивным порообразованием по границам зерен в материале, может приводить к значительному его разрыхлению. В этом случае проведение независимого (несвязного) анализа НДС и развития повреждений в материале дает значительные погрешности. Например, отсутствие учета разрыхления в определенных случаях приводит к существенному занижению скорости деформации ползучести и к снижению скорости накопления собственно кавитационных повреждений. В настоящее время связный анализ НДС и повреждаемости базируется в основном на феноменологических подходах, когда в реологические уравнения среды вводится параметр D, а в качестве разрушения принимается условие D = 1 [47, 50, 95, 194, 258, 259]. Дать физическую интерпретацию параметру D достаточно трудно, так как его чувствительность к факторам, определяющим развитие межзеренного повреждения, априорно предопределена той или иной феноменологической схемой. Так, во многих моделях предполагается, что D зависит только от второго инварианта тензора напряжений и деформаций и тем самым исключаются ситуации, когда повреждаемость и, как следствие, кинетика деформаций (при наличии связного анализа НДС и повреждения) являются функциями жесткости напряженного состояния. [c.168]

Сначала следует рассмотреть общие свойства независимых переменных, определяющих положения изображающих точек, движение которых определено уравнениями (11.379), в образованном этими точками многообразии. Затем надо найти те преобразования независимых переменных, которые следует положить в основу построения интегральных инвариантов. [c.386]

Уравнения (3.79), (3.80), записанные по схеме прямоугольник , порождают на верхнем слое систему уравнений, которую можно представить в виде, аналогичном (3.81), если ввести инварианты R0) и определяемые следующим образом [c.103]

Напишите уравнения связи между действительными функциями, определяющими движение толкателя, их аналогами и инвариантами подобия. [c.166]

Для обсуждения упомянутых выше требований будет использовано уравнение (1) при этом следует иметь в виду, что возможны эквивалентные формулировки через деформации, а с использованием определяющих уравнений — и через работу. Очевидно, существует очень много различных функций, которые имеют вид входящей в уравнение (1) функции и могут описывать некоторую поверхность прочности. Требование инвариантности по отношению к выбору системы координат суживает возможности выбора, так как допустимые функции должны выражаться через инварианты напряжений, главные напряжения или скалярные функции от напряжений. [c.410]

Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным qi, pf (/==1,. .., я). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре — Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре — Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смещении точек контура вдоль образующих трубки. Тогда мы докажем, что между функцией Н и функциями Qi, Pi имеют место зависимости [c.117]

Интегралы и инварианты системы обыкновенных дифференциальных УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ ИМИ УРАВНЕНИЕ [c.270]

Из рассмотрения суш ества обратной теоремы подобия следует, что для подобия различных явлений, определяемых одинаковыми замкнутыми системами уравнений, достаточно в определенной совокупности параметрических точек явлений реализовать такое подобное преобразование искомых величин, чтобы индикаторы подобия, входящие в состав систем уравнений, были равны единице или инварианты подобия, входящие в состав относительной формы указанных систем, были равны между собой. [c.138]

Система определяющих инвариантов на основании анализа системы уравнений (16-1) — (16-9) состоит из следующих безразмерных сим плексов и комплексов (для стационарных процессов) и безразмерных функций [c.415]

Систему векторов уравнения (36), определяемую девятью величинами уравнения (33), называют тензором. Компонентами тензора служат диады Р , Р и Р3, а его инвариантами величины [c.176]

Если экспериментальные данные согласуются с модифицированным уравнением Ламэ, то период образования и распространения трещины соответствует большей части общей долговечности. В этом случае удлинение или сужение при разрушении цилиндрических образцов довольно мало по сравнению с удлинением или сужением при одноосном растяжении. Экспериментальные результаты, представленные на рис. 5.16, иллюстрируют указанный вывод. К тому же, хотя состояние образцов аналогично описанному в 1, но влияние таких факторов, как анизотропия, третий инвариант напряжения, гидростатическая компонента напряжения велико, поэтому ползучесть цилиндрических образцов под внутренним давлением происходит в большей степени прогнозируемые величины долговечности, определяемые с помощью эквивалентных напряжений Треска, наиболее соответствуют экспериментальным результатам. [c.152]

Было бы ошибкой, основываясь на записи (4.9.2), считать производную <ЭЛ/<Э/з равной нулю она является неизвестной наперед функцией инвариантов /1, /2, определяемой по уравнениям статики и условию /3 = 1. Формула (4.9.2) дает значение А на плоскости /3 = 1 пространства параметров /], /2, /3, а дА д/з — производная по нормали от А (/j, /2, /3) на этой плоскости. Возвращаясь к определениям (2.1.7), (2.4.3), имеем [c.671]

Далее будет показано ( 3.1), что вид функции Ф для выбранной фундаментальной системы безразмерных комплексов является инвариантом класса физических явлений. Это означает, что равенства определяющих критериев подобия в правой части уравнения (2.5) [c.35]

Поскольку, как это следует из уравнений (8.4), е 2 — ( 12), то в силу отсутствия других структурных деформаций значение второго инварианта тензора микродеформаций для всех слоев = у/2 С 2), что соответствует ненулевому значению третьего инварианта тензора макродеформаций — 2(ei2). Определяющие соотношения (6.41) в рассматриваемом случае сводятся к следующим [c.159]

Поскольку, как это следует из уравнений (8.2), (Тхз — (структурных напряжений значение второго инварианта тензора микронапряжений для всех слоев что соответствует ненулевому значению четвертого инварианта тензора макронапряжений — (<Т1з). Обратные по отношению к (6.41 J определяющие соотношения в рги сматриваемом случае сводятся к сле дующим [c.160]

Важно отметить, что в этом случае оказалось возможным выделить вопросы, связанные с определением оптико-геометрических инвариантов излучения в самостоятельную задачу. Бесконечный функциональный ряд (20.20), определяющий резольвенту Г(М, N), можно свести к интегральным уравнениям [c.499]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

И инварианты (14.5), определяемые из системы уравнений (14.1ба), (14.166), (14.25), (14.17) [c.209]

Перейдем от девиаторов активных и добавочных напряжений к их тензорам и повторим процедуру построения определяющих уравнений, приняв в качестве эквивалентного активного напряжения величину s , равную сумме линейного s и квадратичного s инвариантов тензора активных напряжений и тензоров анизотропии b j и ацы [c.108]

Анализ эффективного уравнения состояния твердой фазы осложняется фактическим наличием двух систем напряжений, определяющих гидростатическое сжатие сплошного материала под воздействием порового давления в жидкости и деформацию всего скелета в целом из-за фиктивных напряжений. В связи с этим введем в рассмотрение первый 0 инвариант тензора истинных средних напряжений в твердой фазе, связанный с первым инвариантом тензора фиктивных напряжений 0 = 0(1 - - 0 3 соотношением ( /д)0 = [c.38]

Теория прочности должна формулироваться уравнениями, удобными для практического применения. Это требование, на первый взгляд кажущееся второстепенным, иногда бывает определяющим при решении конкретных задач. Дело в том, что при некоторых расчетах, например в пластической области или при расчетах на ползучесть, использование сложных инвариантных функций вызывает значительные математические трудности. В ряде случаев отдают предпочтение теориям прочности, в которых компоненты тензора напряжений представлены в виде независимых инвариантов тензора напряжений. [c.88]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Если имеется функция запасённой энергии, выраженная через главные инварианты матрицы F F, оказывается возможным записать в удобной форме соответствующие определяющие уравнения. Это сделано в следующей теореме, которую также нужно сопоставить с теоремой 3.6-2. [c.183]

Свойство безразмерности инвариантов подобия дает возможность в ряде случаев отыскать инварианты подобия данного явления, не выписывая замкнутой системы уравнений, определяющей явление. [c.153]

Можно показать, что все три корня векового уравнения (главные напряжепия)—вегцествеипые. Их величины определяются характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей должны оставаться неизменными и коэффициенты Jl, J2, Jз в вековом уравнении, определяемые формулами (1.16). В связи с этим их называют инвариантами тензора напряжений. [c.26]

На основе дифференциальных уравнений составляют безразмерные симплексы и комплексы, называемые критериями, или инвариантами подобия, а затем, обычно экспериментальным путем, изыскивают обобщенные зависимости между ними, или критериальные уравнения. Определяющие критерии, в которые входят все известные величины, составляющие условия однозначности, в подобных явлениях одинаковы (idem — одни и те же). Искомые характеристики входят в неопределяющие критерии. Критериальные уравнения представляют зависимости неопределяющих критериев от определяющих и являются решениями для частных случаев подобных явлений. [c.31]

Интегральные инварианты ). Рассмотрим снова автономную систему. Оператор Tt определяет преобразование, переводящее точку а — положение изображающей точки в момент it = О — в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Будем рассматривать теперь не одпу начальную точку а, а совокупность точек, образующих кривую уо- Будем предполагать, что эта кривая имеет непрерывно изменяющуюся касательную всюду, за исключением, быть может, конечного числа угловых точек. Преобразование Те, определяемое дифференциальными уравнениями (21.1.1), переводит каждую точку а, лежащую в момент = О на кривой Yo в точку х, соответствующую моменту it эти последние точки в совокупности и образуют кривую [c.410]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Поскольку аналитическое решение приведенной системы весьма затруднительно, то приходится прибегать к ее анализу с позиций теории подобия и находить за-виоимости между безразмерными инвариантами на основании результатов экспериментов. Обработка системы уравнений с помощью аппарата теории подобия позволяет представить безразмерные поля всех переменных величин как функцию определяющих критериев, входящих в условия однозначности. [c.414]

Тензорно-линейные определяющие уравнения содержат тензор по врежденности четвертого ранга, зависящий для склерономных сред от линейных и квадратичных инвариантов тензора деформаций, а критерии разрушения представляют собой условия достижения мерами тензора поврежденности своих предельных значений. Построенные определяющие соотношения и модели разрушения по совокупности критериев позволяют ставить и решать краевые задачи для многостадийных и многоуровневых процессов накопления повреждений с учетом перераспределения напряжений. [c.11]

Возможен также другой путь получения определяющих уравнений. Пользуясь принципами термодинамики, можно написать дифференциальные уравнения для базисных инвариантов тензора напряжений, рассматриваемых/Как функции базисных инвариантов тензора деформации и температуры. Экспериментальное получение условий Коши для таких уравнений проще, чем в случае дифференциальных уравнений для-термодинамических потенциалов. Вместе с тем в упомянутой работе показано, что если известны зависимости базисных инвариантов тензора напряжений от инвариантов тензора деформации и температуры, то в случае изотропных сред могут быть автоматически написаны определяющие уравнения, связывающие тензор напряжений тензор деформации и тёмпературу. Этот метод может быть обобщен и на случай анизотропных сред. [c.57]

Тогда инварианты напряженного состояния, определяемые выражениями (11.1.15), будут равны Л = 100 МПа, J2 = —4100 МПа , J3 = 0. Кубическое уравнение относительно главных напряжений (см. выражение (11.1.14)) запишется в виде — ЮОсг — 4100<т = О, откуда = О, = [c.511]

В 17 рассмотрен полулинейный материал. Самостоятельное значение представляет уравнение состояния (17,7J, когда удельная потенциальная энергия деформации предстанлсна ф нкцие11 инвариантов тензора искажений, в частности, (17.9) для полулинейного материала. Неравенство, определяющее безопасное нагружение, приводится к виду (17.14). [c.506]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...