Инварианты уравнения, определяющего главные напряжения

Напряженное состояние в точке — физическое состояние, которое не может зависеть от выбора координатных осей. Поэтому коэффициенты кубического уравнения, из которого определяются главные напряжения, также не должны зависеть от выбора осей, т. е. величины /j, /g, /3 являются инвариантами тензора напряжения по отношению к повороту координатных осей. Это ясно и из соотношений (1.6), которые определяют величины / , /3 через значения главных напряжений. [c.32]

Понятно, что главные напряжения, т. е. корни уравнения (7.7), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, какая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте исходной системы осей х, у, г коэффициенты 1, Л и уравнения (7.7) должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния. [c.238]

Следует ясно осознавать, что для любой заданной уравновешенной системы сил, действующей на тело, главные напряжения и главные площадки определяются единственным образом и что они не должны зависеть от выбора системы декартовых координат. Поэтому коэффициенты в уравнении (4.23) постоянны, или инвариантны относительно ориентации координатных осей. Эти коэффициенты называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами напряжений (см. стр. 217 работы [1]) [c.93]

Вообще все, что было ранее сказано по поводу напряженного состояния в точке, полностью переносится и на деформированное состояние. Деформированное состояние в точке, как и напряженное, определяется шестью компонентами и представляет собой тензор второго ранга. Главные деформации определяются из кубического уравнения, коэффициенты которого являются инвариантами деформированного состояния. [c.38]

Поверхность и кривая текучести для изотропного материала. Поскольку свойства изотропного материала одинаковы во всех направлениях, уравнение поверхности текучести можно выразить через главные нормальные напряжения ( i. < 21 F3) = 0. Так как ai, 02, 03 выражаются по формулам (IV.37) через инварианты Т , то уравнение поверхности текучести можно представить в виде /т ( 0) h Та), /3 (Т ст)] == 0. Опыты показывают, что среднее напряжение о — (Г /З практически не влияет на возникновение пластических деформаций, поэтому можно принять, что оно определяется инвариантами девиатора напряжений. -Тогда /т [ 2 Фа). и Фа)1 = О- Это уравнение цилиндра, осью которого является прямая = [c.193]

Из последних двух равенств (2.88) и (2.89) очевидно, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю, т. е. Skk =0. Главные значения девиатора напряжений могут быть определены из решения характеристического уравнения, аналогичного уравнению (2.86) [c.61]

Несжимаемые шела. Известно, что многие упругие при конечных деформациях материалы деформируются без заметного-изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов. Кроме того что все движения несжимаемых материалов происходят без изменения объема, их характерной особенностью-является то, что тензор напряжений не полностью определяется деформацией. Действительно, ясно, что к напряжениям в деформированном несжимаемом материале можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т. е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное приложение гидростатического давления к несжимаемому упругому телу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или, для гиперупругих материалов, энергию деформации. Поскольку изохорическим движениям соответствует равенство единице третьего главного инварианта /д, уравнение состояния для несжимаемых материалов имеет вид [c.249]

Определим главные напряжения и установим, что же это за напряженное состояние. Начнем с определения инвариантов. Легко установить, что = За /2 = 0 /3 = О, и уравнение (4) принимает вид — 3 rS2 = 0. [c.27]

Таким образом, если в какой-либо прямоугольной системе координат заданы компоненты тензора напряжений о,- , то м ож-но, вычислив предварительно по формулам (1.8) — (1.10) оенов--ные инварианты этого тензора, решением уравнения (1.7) определить главные напряжения. Главные направления находятся решением оистемы уравнений (1.4), (1.5), в которые вместо [c.9]

Решение этого уравнения дает три вещественных корня оц Ог, Оз (при этом 01>а2>(Тз)- Эти три напряжения называются главными. Внося последовательно эти корни в уравнения (1.4) и присоединив к ним уравнение (1.5), находят величины направляющих косинусов для каждого главного напряжения. Определив напрявляющие косинусы, можно заключить, что главные площадки, соответствующие значениям главных напряжений о, 02, Оз, являются взаимно перпендикулярными. Значения главных напряжений не могут зависеть от направления осей координат, поэтому коэффициенты уравнения (1.4) Яь аг, аз должны сохранить свои величины при любом выборе осей координат. Многочлены, образующие эти коэффициенты, называют инвариантами преобразования координат. [c.10]

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые действуют главные нормальные напря>кения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что коэффициенты /j, 1 и /3 кубического уравнения не меняют своего значения при изменении системы координат. Отсюда можно сделать вывод, что указанные коэффициенты являются соответственно первым (/j), вторым (I ) и третьим I3) инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.15]

Следовательно, и его коэффициенты Ji, J2, J3 также не зависят от выбора системы координат, хотя компоненты напряженного состояния Gx-, сгу-, (Jzi Тху Tyzi Tzx конечно определяются системой координат. Поэтому главные напряжения ai, (J2, СГ3 и коэффициенты характеристического уравнения Ji, J2, J3 называют инвариантами напряженного состояния. [c.334]

Можно показать, что все три корня векового уравнения (главные напряжепия)—вегцествеипые. Их величины определяются характером внешней нагрузки и не зависят от первоначальной ориентации системы координат. Поэтому при повороте осей должны оставаться неизменными и коэффициенты Jl, J2, Jз в вековом уравнении, определяемые формулами (1.16). В связи с этим их называют инвариантами тензора напряжений. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...