Момент вектора угловой скорости относительно центра точки

Пусть вектор мгновенной угловой скорости вращения волчка направлен по осп симметрии волчка. Вектор момента количества движения К относительно центра масс волчка определяется распределением скоростей и масс точек системы. В случае симметричного волчка вектор К оказывается направленным по оси симметрии волчка. Точка контакта S, расположенная на ножке волчка, проскальзывает по плоскости. Этому проскальзыванию препятствует сила трения, направленная в сторону, противоположную скорости точки S (рис. 199). На основании теоремы об изменении момента количества движения, момент силы трения Ртр относительно центра тяжести поднимает ось волчка. Этот факт хорошо всем известен из наблюдений. Как бы ни был запущен волчок, при достаточно большой скорости вращения его ось стремится принять вертикальное положение. [c.338]

Поместим описанный выше гироскопический шар Бобылева — Жуковского на горизонтальную плоскость, по которой он может кататься без проскальзывания, и свяжем с ним движущуюся поступательно ортогональную систему координат Ахуг с началом в точке опоры шара о плоскость и осью Л г, направленной вертикально вверх. Вектор угловой скорости шара й направим вдоль оси мгновенного вращения, которая проходит через точку Л, так как в силу отсутствия проскальзывания скорость этой точки шара равна нулю. Пусть и Оэ — проекции угловой скорости И на ось динамической симметрии шара и на его экваториальную плоскость (О — угловая скорость вращения гироскопа вокруг собственной оси, т. е. проекция угловой скорости гироскопа на его ось. Обозначим через Лш, Сш и Лг, Сг соответственно экваториальные и полярные моменты инерции шара и гироскопа относительно их общего центра. [c.68]

Рассмотрим вопрос об уравновешивании динамических нагрузок на стойку и фундамент механизма. Как известно, любая система сил, приложенных к твердому телу, приводится к одной силе, приложенной в произвольно выбранной точке, и к одной паре, причем вектор этой результирующей силы равен главному вектору данной системы сил, а момент пары равен главному моменту данной системы сил относительно выбранного центра приведения. Пусть дан механизм АВС (рис. 489), установленный на фундаменте Ф. Пользуясь принципом отвердевания, мы можем силы инерции всех звеньев механизма также привести к силе и паре. Выбираем какую-либо точку О механизма за центр приведения и за начало координат. Такой точкой удобно выбрать точку, лежащую где-либо на оси вращения ведущего звена /, вращающегося с угловой скоростью ш. Из точки О проводим взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу и Ог. Проекции на оси координат главного вектора всех сил инерции механизма [c.385]

Пусть входным колесом, к которому приложен уравновешивающий момент Afy, является колесо /, а выходным, к которому приложен момент — колесо 2. Момент представляет собой результирующий момент от внешних сил и пары сил инерции. По направлению вектора V скорости точки С (рис. 13.20) определяем направления угловых скоростей (Oj и Wa колес J и 2. Направление действия момента Му должно совпадать с направлением угловой скорости о)т, так как колесо I является входным. Направление действия момента Мз должно быть противоположным направлению угловой скорости 0)2, потому что колесо 2 является выходным. Где бы ни происходило касание профилей и зубьев колес / и 2, нормаль п — п к этим профилям будет проходить через точку С касания начальных окружностей, являющуюся мгновенным центром в относительном движении колес 1 vi 2. В дальнейшем удобно будет всегда считать силы или F12 приложенными в точке С и направленными по нормали п — п. Для определения того, в какую сторону надо откладывать угол а (рис. 13.20,а) между нормалью п — пи касательной t — t к начальным окружностям в точке С, будем руководствоваться простым правилом. [c.269]

Можно упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения, используя теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек в задачах, где главный вектор и главный момент сил, приложенных к твердому телу, постоянны либо зависят от положений точек (угла поворота) твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят масса и момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через его центр инерции перпендикулярно к неподвижной плоскости, силы, приложенные к твердому телу, перемещения точек твердого тела (угловые перемещения), скорости точек твердого тела (угловые скорости) в начале и в конце этих перемещений. [c.542]

Угловая скорость П результирующего вращательного движения равна главному вектору всей системы угловых скоростей, включая угловые скорости, появляющиеся при замене поступательных движений парами вращений. За точку приложения вектора П можно принять любой центр приведения О. Тогда результирующее поступательное движение тела будет и.меть скорость Ъо, равную главному моменту относительно центра О системы векторов, выражающих угловые скорости первоначально данной системы вращений, т. е. [c.199]

Vk = (орй и рй — скорость и радиус-вектор к-й точки тела относительно центра масс, со — угловая скорость тела. Так как Га = Гс + Рй (рис. 169), то искомый кинетический момент будет равен [c.195]

Таким образом, если твердое тело вращается вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью, проекции которой равны р, д, г, и если построить кинетический момент К относительно этой точки, то проекции вектора К на три главные оси инерции для центра О равны Ар, Вд, Сг, где А, В, С представляют собой три соответствующих главных момента -инерции. [c.62]

Пусть теперь (фиг. 31) для каждого из двух тел S j =, 2)mj есть масса, Vj — скорость центра тяжести Gj, Юу— угловая скорость, АСу — результирующий момент количеств движения относительно центра тяжести. Если, далее, обозначим через tij, единичный вектор нормали, внутренней для поверхности, в точке Р , в которой происходит удар, то импульс неизвестной величины /, испытываемый телом вследствие удара, можно будет представить в виде пр с другой стороны, момент Kj связан с угловой скоростью (Oj соответствующей гомографией инерции оу, так что будем иметь [c.484]

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Пусть в точках P.e g , t=l,. ... .., N, приложены силы Fi. Введем две векторные величины формальную сумму сил F = SF, и суммарный момент сил относительно точки А—Ол = Е[ЛР,хР,]. Векторы F и Gg могут зависеть от положения и ориентации тела, его угловой скорости и скорости центра масс и от времени. Уравнения движения свободного твердого тела имеют вид [c.205]

Управление несущим винтом осуществляется изменением циклического и общего шагов. Изменение общего шага соответствует изменению среднего угла атаки лопастей и величины силы тяги. Изменение циклического шага представляет собой изменение угла установки лопасти с частотой оборотов, что приводит к наклону плоскости концов лопастей. При этом вместе с плоскостью концов лопастей наклоняется вектор тяги, создавая момент относительно центра масс вертолета, лежащего ниже втулки несущего винта. На бесшарнирном несущем винте и винте с разносом ГШ лопастей одновременно с наклоном плоскости концов лопастей создается момент на втулке. Таким образом, изменение общего и циклического шагов позволяет эффективно управлять величиной и направлением вектора тяги несущего винта. При работе несущего винта с постоянной угловой скоростью для изменения тяги необходим механизм общего шага. Следовательно, введение механизма изменения циклического шага ненамного увеличивает механическую сложность несущего винта. Для изменения шага лопастей с частотой оборотов требуется автомат перекоса той или иной конструкции (см. разд. 5.1). [c.700]

Неоднородный тонкий стержень О Л длины I и массы т может свободно вращаться в пространстве вокруг своего шарнирно закрепленного конца О. Центр масс стержня находится на расстоянии а от точки О момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через точку О, равен J. Составить уравнение, которому удовлетворяет наименьшая и наибольшая высота конца Л стержня, если в начале движения известны момент импульса К стержня относительно вертикальной оси, проходящей через точку О, и его полная энергия Е. Найти пределы изменения высоты конца Л, если в начальный момент стержень был горизонтален, а вектор его угловой скорости вертикален. [c.63]

Пусть ведущим колесом, к которому приложен уравновешивающий момент Му, является колесо 1, а ведомым, к которому приложен момент М , — колесо 2. Момент М представляет собой результирующий момент от внешних сил и пары сил инерции. Строим картину скоростей механизма (рис. 480, б) и по направлению вектора скорости точки С определяем направления угловых скоростей о)1 и со, колеса 1 и колеса 2. Направление действия момента Му должно совпадать с направлением угловой скорости Ш1, так как колесо 7 является ведущим. Направление действия момента М должно быть противоположным направлению угловой скорости потому что колесо 2 является ведомым. Где бы ни происходило соприкасание профилей и 9 зубьев колес 1 и 2, нормаль п — п к этим профилям будет проходить через точку С соприкасания начальных окружностей, являющуюся мгновенным центром в относительном движении колес 1 и 2. В дальнейшем удобно всегда считать силы Рп или Рл приложенными [c.376]

Шар проскальзывает в точке контакта с опорной плоскостью. Это означает, что в точке контакта с поверхностью скорость шара не равна нулю. Тогда возникает сила трения, которая будет влиять на движение шара. Примем, что в точке контакта приложена сила сухого кулоновского трения скольжения Г,.р = — m5Vш/ vш , где к — коэффициент трения (см. пример 3.4.3). Относительно точки контакта шара с плоскостью будет справедлив, как и в предыдущем случае, векторный интеграл кинетического момента К = а. Умножив обе части этого равенства справа векторно на Гп и приняв во внимание выражение вектора К через угловую скорость и скорость центра масс шара, найдем [c.516]

Равнодействующая имеет момент, равный сумме моментов векторов Ах и Аа, так как сумма моментов векторов В и —В относительно произвольной точки равна нулю. Если взять центр моментов на прямолинейном основании равнодействующей, то момент равнодействующей относительно такого центра равен нулю. Это позволяет вновь написать соотношения, аналогичные соотношениям (а) — (с) и (11.155а) — (11.158) предыдущего параграфа, заменив в них линейные скорости моментами скользящих векторов, а угловые скорости — векторами А и вектором А — их равнодействующей. [c.162]

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Ог, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси Ол , У12 5, проходящие через неподвижную точку, причем ось Ос, параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Ог по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Ог и Л — момент инерции относительно Ох момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Ог. Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера О, ф и (р при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с [c.158]

Хотя объем данной книги не позволяет подробно остановиться на многочисленных технических приложениях гироскопов, мы все же кратко коснемся этого вопроса. Под гироскопом обычно понимают симметричный волчок, установленный в кардано-вом подвесе таким образом, что центр тяжести его остается неподвижным, а ось может занимать любое положение в пространстве. В этом случае на волчок не действуют гравитационные моменты относительно его центра тяжести, и поэтому вектор его кинетического момента остается постоянным. Если гироскопу будет сообщена угловая скорость вокруг собственной оси и эта ось будет вначале неподвижной (и поэтому будет совпадать по направлению с вектором кинетического момента), то в дальнейшем она будет все время сохранять свое направление в пространстве. Поэтому такой гироскоп можно использовать в качестве указателя неизменного направления, так как движение экипажа, несущего гироскоп, не будет влиять на направление его оси. [c.198]

Отметим некоторые свойства быстро вращающегося гироскопа. Пусть гироскоп закреплен так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой О. Такой гироскоп называют уравновешенным. Пусть он вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью Так как в данном случае ось симметрии является главной центральной осью инерции, то кинетический момент Ко гироскопа направлен по оси симметрии, причем Ко = oJi. Последнее равенство является не приближенным, а точным. Если момент внешних сил относительно центра тяжести равен нулю, то вектор Ко постоянен, и ось гироскопа сохраняет свое начальное направление в неподвижной системе координат. [c.210]

Движение отнесем к системе Gxyz, образованной главными центральными осями инерции. Пусть а — радиус, А, В, С — моменты инерции относительно осей Сж, Gy, Gz, am — масса шара. Если v = vx Vy, Vz) — скорость центра шара, а о = (р, q, г) — угловая скорость, п = (71, 72, 73) — единичный вектор, направленный вертикально вверх, то условие отсутствия скольжения равенство нулю абсолютной скорости точки D шара, которой он касается плоскости) запишется в виде [c.321]

В учебных задачах, как правило, встречаются не материальные точки, а твердые тела. В этом случае при вычислении импульса кинетического момента или кинетической энергии тела надо исходить из того, что пространственное твердое тело характеризуется массой М, положением центра масс S, тремя главными центральными направлениями е, е, е" и соответствующими главными центральными моментами инерции А, В, С. Пусть в некоторой неподвижной системе координат Oxyz точка S имеет радиус-вектор s = OS, и пусть угловая скорость тела относительно Oxyz разложена по (правому) главному реперу [c.110]

ТЕОРЕМА (Ирншоу система неподвижных точечных зарядов электрических, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой Карно термический КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и являегся функцией абсолютных температур нагревателя и холодильника Кастильяно частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы Кельвина сила (или градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние между соседними поверхностями уровня меньше Кенига кинетическая энергия системы равна сумме двух слагаемых — кинетической энергии поступательного движения центра инерции системы и кинетической энергии системы в ее движении относительно центра инерции Клеро с уменьшением радиуса параллели поверхности вращения увеличивается отклонение геодезической линии от меридиана Кориолнса абсолютное ускорение материальной точки рав1Ю векторной сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений Лармора единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и вектора орбитального магнитного момента электрона с некоторой угловой скоростью, зависящей от внешнего магнитного поля, вокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору индукции магнитного поля Остроградского — Гаусса [для магнитного поля магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю для электростатического поля <в вакууме поток напряженности его сквозь произвольную [c.283]

Нам осталось выяснить вид траектории точки А при различных значениях параметра к. (При изменении величины а, также входящей в параметрическое уравнение (4.12), траектория движения претерпевает лишь подобное изменение.) Наиболее простой случай движения саней Чаплыгина имеет место при а == О (и, следовательно, к = оо), когда проекция центра масс на плоскость я совпадает с точкой опоры лезвия. Для рассмотрения этого вырожденного случая полученные нами формулы непосредственно неприменимы, поскольку при замене (4.7) и уже при написании уравнений (4.5) предполагалось, что величина к отлична от нуля и бесконечности. Разумеется, нужные формулы для этого случая могли бы быть найдены путем предельного перехода. Однако проще провести рассмотрение заново, тем более, что оно является элементарным. Действительно, при а = О момент силы реакции R относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс, равен нулю, поэтому ф = onst. Из постоянства кинетической энергии отсюда следует также, что и а = onst. К таким же выводам приводят и дифференциальные уравнения (4.1) и (4.2). Таким образом, точка А прикосновения лезвия движется с постоянной по величине скоростью, вектор которой вращается также с постоянной угловой скоростью со. Совершенно ясно, что точка А описывает при этом окружность радиуса г = . [c.78]

Пример 5. Рассмотрим задачу Чаплыгина о качении по горизонтальной плоскости динамически несимметричного шара, центр масс.которого совпадает с его геометрическим центром. Пусть о — точка касания шара с плоскостью, Ко — его кинетический момент относительно точки о. Задача Чаплыгина допускает группу поворотов 50(3) вокруг точки касания. Момент /so(3) равен, конечно /Со, а момент сил Фо = 0. Следовательно, по теореме 6, /Со = onst. Это замечание позволит нам составить замкнутую систему дифференциальных уравнений качения шара. Пусть ко — кинетический момент в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, ш—угловая скорость вращения шара, V — единичный вектор вертикали. Постоянство векторов ко н у в неподвижном пространстве эквивалентно уравнениям [c.96]

Бифуркационные множества и интегральные многооб разня в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Пусть л 1 — главные моменты инерции твердого тела, хи Хг, хз — координаты центра масс относительно осей инерции. Если ш — угловая скорость тела, е — единичный вертикальный вектор (заданные в подвижном пространстве), то Н=<А(й, (л>12+е(.х, е> и /=<Лй), е>, где А = =(Над(Ль Лг, Лз). Наша задача — описать бифуркационную диаграмму 2 в плоскости / = Л, с и топологическое строение приведенных интегральных многообразий 7 , . Полезно сначала рассмотреть вырожденный частный случай, когда е=0 (задача Эйлера). Положения относительных равновесий — суть критические точки приведенного потенциала 7/с=с / /2<Ле, е> на единичной сфере <е, е> = 1. Если тело несимметрично (Л1>Л2>Лз), то таких точек ровно шесть ( 1,0,0), (О, 1, [c.119]

Что касается врагцаюгцнхся систем, то нас интересуют прежде всего конфигурации относительного равновесия, где вся система устойчиво вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, как если бы она являлась твердым телом. В таком состоянии относительное движение частей отсутствует, так что диссипации энергии нет, и система находится в стационарном состоянии. Если но какой-либо причине относительные движения возникают, то единая угловая скорость системы в общем случае отсутствует, хотя направление вектора углового момента может задать фиксированное направление из центра масс. В таком случае можно взять систему прямоугольных вращающихся осей с началом в этой точке, причем третья ось будет неподвижна, а оставшиеся две будут вращаться вокруг неё. Тогда положения частиц можно относить к данной вращающейся системе координат. [c.34]

Рассмотренная картина движения спутника около центра масс выявляет своеобразную гироскопическую стабилизацию относительно направления перигейной касательной, то есть относительно направления скорости центра масс в точке наибольшей интенсивности аэродинамических сил. В самом деле, хотя перигейная касательная вследствие эволюции орбиты поворачивается в абсолютном пространстве, угловое расстояние между вектором кинетического момента и перигейной касательной изменяется относительно начального значения несущественно, так что ось спутника совершает прецессионно-нутационное движение относительно изменяющегося со временем направления перигейной касательной. [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...