Множество бифуркационное

Рис. 32. Фазовые кривые векторного поля на плоскости, однопараметрическая деформация которого имеет счетное множество бифуркационных значений

Теорема . 1. В типичном однопараметрическом семействе векторных полей на S , г 2, k l, встречается не более счетного множества бифуркационных значений параметра (в окрестности которых семейство топологически перестраивается). При остальных значениях параметра поле грубое. [c.99]

Теорема 2. Пусть фс , еб[0, 1], — дуга диффеоморфизмов такая, что предельное множество каждого диффеоморфизма фе состоит лишь ИЗ конечного множества траекторий. Тогда Фе устойчива в том и только том случае, если на [О, 1] существует лишь конечное множество бифуркационных значений, скажем, Ьи. .., Ъ , и для каждого k) справедливы [c.126]

Определение. Множество бифуркационных точек называется дискриминантом Е (особенности / или её версальной деформации F). [c.97]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

На каждом из рисунков 15, 16 изображены бифуркационные диаграммы, под ними — фазовые портреты внизу—разбиение полуплоскости параметров (Ь, с), Ь с, на классы топологической эквивалентности легких семейств (12 ). Области, соответствующие трудным семействам, заштрихованы. Номер открытой области на бифуркационной диаграмме — это номер соответствующего фазового портрета из нижней части 2, 3. ., обозначают фазовые портреты, получаемые из 2, 3,... симметрией (х, у) (у, х). При переходе через оси ei и ег без нуля на положительных полуосях х та у рождаются из нуля особые точки или происходит обратный процесс при переходе через луч Б1 (Пг) от особой точки на оси у (на оси х) отделяется или в ней исчезает особая точка, расположенная строго внутри первого квадранта. Легкие семейства (12 ) типа 2 и 2а, а также типа 3 и За отличаются друг от друга только при нулевом значении параметра множества 0-кривых соответствующие вырожденных систем неэквивалентны (рис. 16, г, 5) [c.35]

Компоненты множества Jfi, отвечающие векторным полям с перечисленными в п.п. 1.2—1.4 вырождениями, будем называть бифуркационными поверхностями. Гладкость бифуркационных поверхностей можно доказать с помощью построения гладких функционалов, невырожденные уровни которых совпадают с этими поверхностями. Такие функционалы существуют для всех перечисленных бифуркационных поверхностей. [c.94]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Цель настоящего параграфа — описать (насколько возможно) бифуркации в типичных однопараметрических семействах векторных полей на замкнутых поверхностях, а также структуру бифуркационного множества в функциональном пространстве векторных полей. [c.97]

Типичные семейства векторных полей. Типичное семейство векторных полей — это дуга в функциональном пространстве, трансверсально пересекающая бифуркационную поверхность в типичной точке . Чтобы строго определить эти точки, необходимо выделить класс систем общего положения в множестве всех негрубых систем. [c.100]

Какова структура компонент бифуркационного множества, отвечающих системам с бесконечным неблуждающим множеством [c.110]

Следствие. Для любого семейства векторных полей Ое , пересекающего бифуркационное множество в точке Vq и не имею- [c.121]

В случае 2) после рождения тора почти для любого однопараметрического семейства векторных полей при изменении параметра число вращения меняется, следовательно, происходит бесконечное множество бифуркаций. Однако есть семейства, для которых при изменении параметра число вращения на торе не меняется — бифуркационная поверхность может быть и достижимой. [c.123]

Замечание. Все бифуркации в 4 глобальны — мы заранее не знаем конечного множества траекторий, в окрестности которого осуществляются бифуркационные явления. [c.126]

В случае, если бифуркационная поверхность является граничной для векторных полей Морса—Смейла в точке vq, то векторные поля (do различаются модулем (см. п. 6.3), но геометрически одинаковы . В неблуждающее множество добавляется лишь гомоклиническая траектория простого касания. [c.147]

Заметим, что бифуркационные поверхности , отвечающие наличию бесконечного множества неблуждающих траекторий, недостижимы во всех точках, кроме V. [c.151]

Проблеме упругой устойчивости посвящено множество книг и статей. Вместе с тем имеется сравнительно небольшое число работ, позволяющих понять суть проблемы. В отечественной литературе следует прежде всего отметить монографию В. В. Новожилова [38], в которой ясно изложены концепция упругой бифуркационной устойчивости и два подхода к отысканию критической нагрузки определение собственных чисел линеаризованной системы уравнений равновесия и использование энергетического критерия. В книге В. В. Болотина [8] проведено сопоставление статического и динамического подходов к отысканию критических нагрузок, подробно рассмотрен вопрос о неконсервативных нагрузках, изложены решения ряда важных приклад- [c.252]

Рассмотренный случай интересен еще и тем, что предельное множество бифуркационных поверхностей содержит многообразие коразмерности единица, и это делает достаточно естественным и частым пересечение с ней одномерных кривых, отвечающих изменению какого-нибудь одного скалярного нараметра динамической системы, т. е. в пространстве параметров динамической системы рассматриваемой серии бифуркаций отвечает поверхность коразмерности 1. Теперь уже довольно очевидно, что для последовательности бифуркационных значений параметра, отвечающих пересечениям с поверхностями (2.18), [c.177]

В первых двух параграфах настоящей статьи изложен взгляд на состояние дел в инфинитезимальной теории установившихся гравитационных волн. Обсуждение этой теории началось еще в XIX веке. Однака ее первый результат был получен только в 1921 г.— это знаменитая теорема Некрасова. С тех пор прошло почти 50 лет. Мне кажется, что основные вопросы, которые стояли перед ней,— вопросы существования решения, количества возможных решений, исследование множества бифуркационных значений параметров — в основном исчерпаны. Разумеется, можно заниматься усовершенствованием доказательств, видоизменением постановок — и это будет определенным вкладом в теоретическую гидродинамику. Но основное в этой теории уже понятно. [c.60]

Достижение условий, при которых реализуется ветвление трещины, отвечает реализации бифуркационной неустойчивости трещины. В этой критической точке реализуется принцин подчинения, когда множество переменных подчиняется одной (или нескольким) переменным. Его реализация связана с достижением верхней границы разрушения отрывом и перес фойкой диссипативных струкгур. На этой границе система сама выбирае оптимальные механизмы диссипации энергии, так что процесс носит автомодельный характер -на ег о развитие не требуется внешняя энергия, а перестройка диссипативных структур носит самоорганизующий характер (за счет накопленной внутренней энергии). В этих условиях динамика свободного разрушения определяется самоподобным ростом микротрещины, обеспечивающим локальный отток энтропии из системы. [c.299]

Очевидно, бифуркационное множество содержит векторные поля, имеющие негиперболические особые точки или негипер.-болические циклы, а также векторные поля, имеющие гиперболические особые точки и (или) циклы, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются нетрансверсально. [c.87]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы. Ясно, что для любой поверхности можно выделить класс однопараметрических семейств векторных полей функциональном пространстве, пересекающих бифуркационное множество лишь в точках множества квазиобщих векторных полей. Это сделано в [169], где приведена схема доказательства открытости такого класса в множестве всех однопараметрических семейств. Изо- [c.102]

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф - -(Л ) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф (5 ), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S , проективной плоскости и бутылки Клейна К , в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракций систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S , Р , К , которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62—63). Для систем на справедлив следующий результат. [c.103]

Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами. Для диффеоморфизмов утверждение пункта 6.4 было усилено в [178], [180] было показано, что в окрестности точки на бифуркационной поверхности существуют диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А Смейла, с нульмерными нетривиальными базисными множествами. Точнее, пусть [c.141]

Теорема ([66], [67]). В окрестности векторного поля, удовлетворяющего условиям теоремы пункта 6.8, но не являющегося граничным для векторных полей Морса—Смейла, на бифуркационной поверхности всюду плотны векторные поля, обладающие 1) предельным циклом типа седло-узел 2) предельным циклом типа неориентируемый узел (с мультипликатором, равным (—1)) 3) бесконечным множеством устойчивых предельных циклов. [c.147]

Беляков Л. А.. О бифуркационном множестве в системе с гомоклиничв ской кривой седла. Мат. заметки, 1980, 28, вып. 6, 911—922 [c.211]

Однако если не учитывать, что рассматриваемая система обменивается энергией и веществом с окружающей средой, то возникают серьезные трудности в математическом описании этого процесса и установлении критерия ветвления. Условия, при которых происходит ветвление трещины, соответствуют возникновению ее бифуркационной неустойчивости. Поведение системы в этой точке контролируется принципом подчинения, когда множество переменных подчиняется одной (или нескольким) переменным. Неустойчивость трещины при К = связана с достижением верхней границы разрушения отрьтом в условиях плоской деформации. В этой точке система сама выбирает оптимальные механизмы диссипации энергии, так что процесс носит автомодельный характер — на его развитие не требуется дополнительная энергия, а перестройка диссипативных структур носит самоорганизующий характер — происходит за счет накопления внутренней энергии. В этих условиях динамика самоподобного разрушения определяется самоподобным ростом микротрещин, обеспечивающим локальный отток энтропии из системы. [c.146]

Серии бифуркаций, связанные с числом вращения Пуанкаре. По-видимому, первым объектом, разрушившим прежние представления о бифуркационном множестве, было взаимооднозначное точечное преобразование окружности в себя вида [c.168]

В заключение отметам работу [38], посвященную анализу структуры бифуркационной диаграммы для динамических систем, содержащих седловое состояние равновесия, неустойчивое многообразие которого состоит из двух симметричных одномерных сепаратрис. Примером может служить система галеркинских уравнений, описывающая режимы тепловой конвекции в поле вибрации при слабом нарушении инверсионной симметрии. Рассмотрена ситуация, когда возникающие в системе го-моклинные петли являются притягивающими. В области регулярного поведения обнаружены, помимо периодических, квазипериодические режимы, которым соответствуют инвариантные множества канторотора Граница области хаоса оказывается фрактальной. [c.292]

Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). Естественное условие в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов ж 4- -Ь -Ь + ЯдЖ -Ь Я4. [c.434]

Смотреть страницы где упоминается термин Множество бифуркационное : [c.250] [c.151] [c.151] [c.301] [c.252] [c.26] [c.95] [c.97] [c.101] [c.101] [c.102] [c.107] [c.114] [c.147] [c.150] [c.245] [c.163] [c.210] [c.210] [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...