Волчок симметричный

Устойчивость спящего волчка. Симметричный волчок называется спящим, если он вращается вокруг своей оси симметрии, причем эта ось сохраняет вертикальное направление. В этом движении постоянные а, р, Е, которые входят в кубичную функцию f x) формулы (56.22), имеют следующие значения [c.178]

Волчок симметричный и несимметричный, много чертежей. Относительное движение твердого тела на врап ающейся Земле. Системы твердых тел. Гироскопическая устойчивость. [c.443]

Есть важный частный случай, когда задачу можно полностью решить — случай симметричного волчка. Симметричным или лагранжевым волчком называют закрепленное в неподвижной точке О твердое тело, у которого эллипсоид инерции в О есть эллипсоид вращения и центр тяжести лежит на оси вращения вз (рис. 125). [c.132]

В случае Лагранжа тело имеет ось симметрии А = В), внешней силой служит вес, а центр тяжести и неподвижная точка лежат на оси симметрии. К этому случаю относится, например, движение симметричного волчка в поле тяжести. [c.195]

Формула (88) и правило Жуковского легко объясняют поведение раскрученного волчка (рис. V.16). Действительно, пусть симметричный волчок вращается вокруг собственной оси если пренебречь трением в точке его касания с полом, то единственной действующей на него силой будет сила тяжести, приложенная в центре тяжести. Эта сила направлена в плоскости чертежа вниз, и чтобы выяснить направление скорости точки приложения силы, нужно разложить силу G на две составляющие вдоль оси симметрии (эта составляющая компенсируется реакцией опоры) и по перпендикуляру к этой оси. В соответствии с правилом Жуковского вторую составляющую надо повернуть на 90 по направлению вращения волчка. Поэтому скорость центра тяжести направлена перпендикулярно плоскости чертежа, например на нас . Однако, когда ось сдвинется в этом направлении, чертеж полностью сохранится, и таким образом, до тех нор, пока продолжается вращение с угловой скоростью o)i, продолжается и вращение оси волчка вокруг вертикального направления с некоторой угловой скоростью (0.2. [c.206]

Такое описание движения тяжелого симметричного волчка носит чисто качественный характер и является приближенным. В действительности в случае Лагранжа регулярная прецессия возникает лишь при вполне определенных начальных условиях. В иных случаях возникает более сложное движение угловая скорость прецессии не сохраняет постоянного значения, а ось волчка не только прецессирует вокруг вертикали, но и совершает колебания в вертикальной плоскости. Это колебательное движение соответствует изменению угла 0 и называется нутацией. [c.206]

Гироскопы. Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) — его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью ел, причем оказывается чем больше угловая скорость со вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии со. [c.159]

Пример. Симметричный волчок. Для симметричного волчка h= h Ф /з, Из (52) видно, что если не действует внешний момент вращения, то соз (и только <аз) постоянна. Уравнения (52а) и (526) приобретают вид [c.258]

Рис. 8.31. Другая задача симметричный волчок. В этом случае > N —

Приближенная теория гироскопических явлений позволяет дать элементарное объяснение движению тяжелого гироскопа (волчка). Сообщим (рис. 387) симметричному однородному телу вращения быстрое вращение вокруг его оси. Допустим, что эта ось, будучи в исследуемом положении вертикальна, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Если бы гироскоп пе вращался, то имелось бы неустойчивое положение равновесия. Быстрое вращение сообщает гироскопу свойство устойчивости. В самом деле, дадим оси толчок в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, приложив к ней в течение весьма малого промежутка времени силу F. Следствием этого, если оставаться в рамках элементарной теории, будет перемещение оси материальной симметрии тела (т. е. вектора К) на некоторый угол в направлении момента силы F относительно неподвижной точки О, т. е. в направлении, перпендикулярном к F (новое положение оси указано на рис. 387 штриховой линией). [c.371]

Рассмотрим задачу о движении симметричного тела вращения (гироскопа, волчка), опирающегося острием в неподвижной точке. Известно, что если сообщить волчку достаточно большую угловую скорость вокруг оси материальной симметрии, расположенной вертикально, то эта ось будет сохранять вертикальное положение и в том случае, когда центр тяжести волчка находится выше точки опоры ( волчок спит ). Если сообщить вращающемуся волчку небольшой толчок, то ось начнет совершать малые колебания около вертикали. [c.622]

Рис. 33.3. Выбор осей координат для симметричного волчка

При мер. Приведем общее выражение для энергии вращательного движения в случае симметричного волчка (рис. 33.3) [c.236]

Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М — массы верхнего и нижнего волчков, С н С — их моменты инерции относительно осей симметрии А и /1 —моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия с и с — расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев k— расстояние между остриями. Угловые скорости волчков S2 и й. Вывести условия устойчивости системы. [c.436]

Тяжелый симметричный волчок с одной неподвижной точкой, в качестве следующего, более сложного примера мы рассмотрим движение тяжелого симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии. К задаче о тяжелом симметричном волчке приводит исследование ряда физических систем, начиная от простого детского волчка и кончая сложными гироскопическими навигационными приборами. Поэтому как в отношении практических применений, так и для иллюстрации [c.186]

Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде [c.186]

Рис. 56. Углы Эйлера для симметричного волчка.

Заметим, что углы ф и не входят явным образом в лагранжиан. Следовательно, они являются циклическими координатами, указывающими на неизменность соответствующих обобщенных импульсов. Но мы знаем, что обобщенный импульс, соответствующий какому-либо углу поворота, представляет собой составляющую полного кинетического момента относительно соответствующей оси вращения, какой для угла ф является вертикальная ось, а для угла 1з —ось 2, связанная с телом. Поэтому составляющие кинетического момента относительно этих осей должны оставаться постоянными. В сущности то, что эти составляющие кинетического момента должны быть постоянными, можно показать, исходя из элементарных принципов. Действительно, момент силы тяжести симметричного волчка направлен вдоль линии узлов. Следовательно, кинетические моменты волчка относительно вертикали и относительно его собственной оси должны быть равны нулю, так как согласно определению этих осей они перпендикулярны к линии узлов. [c.187]

ТЯЖЕЛЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ [c.189]

Рис. 57. Расположение корней функции f и) для тяжелого симметричного волчка.

Прецессия заряженных тел в магнитном поле. Из предыдущего параграфа видно, что движение симметричного волчка в гравитационном поле является в общем случае весьма сложным. В противоположность этому движение вращающегося заряженного тела, находящегося в однородном магнитном поле, имеет сравнительно простой характер. Тем не менее, мы рассмотрим это движение, так как оно играет важную роль в атомной физике. Вместо уравнений Лагранжа в данном случае проще [c.198]

Пусть на симметричный волчок не действуют внешние силы. Пользуясь задачами (а) и (Ь), показать, что его движение можно воспроизвести с помощью конуса, связанного с волчком и имеющего ось, совпадающую с осью симметрии волчка, если заставить этот конус катиться по неподвижному конусу, ось которого направлена вдоль вектора кинетического момента. Вектор угловой скорости будет при этом направлен вдоль общей образующей этих конусов. Показать, что такое представление непосредственно следует из интерпретации Пуансо. [c.202]

Получить из уравнений движения Эйлера условие (5.70) для симметричного волчка в поле силы тяжести, накладывая требование, чтобы движение волчка представляло собой равномерную прецессию без нутации. [c.202]

Показать, что величину кинетического момента тяжелого симметричного волчка можно представить как функцию одного только 0 и постоянных движения. Доказать, что вектор кинетического момента прецессирует равномерно только тогда, когда имеет место равномерная прецессия оси симметрии [c.202]

Показать, что гамильтониан симметричного заряженного волчка, находящегося в однородном магнитном поле, совпадает с его кинетической энергией и является постоянной движения. Отсюда следует, что это поле не совершает работы над рассматриваемой системой [это видно также из силы Лоренца (1.56)] в противоположность тому, что имеет место в случае тяжелого волчка, когда сила тяжести сообщает ему дополнительную кинетическую энергию прецессии. Показать, что энергия прецессии магнитного волчка появляется за счет уменьшения скорости его собственного вращения и что при этом возникает нутация. [c.204]

Хотя мы не рекомендуем эту книгу для систематического изучения динамики твердого тела, тем не менее, в ней содержится много материала, который нелегко найти в других источниках. В частности, в главе VII этой книги содержится полное и подробное описание движения Пуансо, а также движения тяжелого симметричного волчка, причем получены точные решения, выраженные через эллиптические функции. Кроме того, заслуживает внимания глава, посвященная некоторым сложным задачам, связанным с качением твердых тел. [c.205]

Основанный на элементарных принципах, этот учебник содержит все же подробное описание движения Пуансо и движения тяжелого симметричного волчка. Кроме того, в этой книге имеются некоторые точные формулы, описывающие движение волчка с помощью эллиптических функций. Некоторые небольшие разделы этой книги посвящены качению твердых тел и техническим применениям гироскопов (главным образом гирокомпасу). [c.205]

Том II этой книги посвящен подробному исследованию движения тяжелого симметричного волчка, однако в нем уделяется много внимания и движению Пуансо. Этот том содержит все, что было в то время известно по теории симметричного волчка. Именно здесь было впервые введено понятие [c.206]

Рассмотрите задачу о тяжелом симметричном волчке с одной неподвижной точкой, пользуясь методом Гамильтона — Якоби. Полечите для нее формальное решение (5.56). [c.343]

Е константа движения тяжелого симметричного волчка, [c.407]

I расстояние от неподвижной точки до центра тяжести симметричного волчка, [c.408]

Пусть начало О и векторы еь абсолютного ортонормирован-ного репера Оехезез принадлежат гладкой горизонтальной опорной плоскости. Направление ез вертикально. Начало ортонормированно-го подвижного репера Сте е зез, жестко связанного с телом, примем в центре масс тела Сг. Волчок (абсолютно твердое тело) будем считать динамически симметричным (как в случае Лагранжа, 6.8) [c.501]

Рассмотрим движение в поле силы тяжести симметричного волчка, который (в рассматриваемом нами случае) вращается С угловой скоростью (оз вокруг горизонтальной оси. Ось волчка может поворачиваться вокруг некоторой точки практически без Йгрения. Сила тяжести создает определенный момент вращения N (Относительно этой точки. Направление N перпендикулярно к оси волчка и К вертикальной оси, В дальнейшем мы придем к пора- [c.262]

Вращательные уровни энергии — это уровни, связанные с вращательным движением молекулы как целого. Вращение молекул приближенно рассматривают как свободное вращение твердого тела с тремя моментами инерции вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. При этом возможны три случая 1) сферический волчок (все три момента инерции одинаковы) 2) симметричный волчок (два момента инерции одинаковы, третий отличен от них) 3) асимметричный волчок (все три момента инерции различны). Разности энергий соседних вращательных уровней составляют от сотых долей электрон-вольта для самых легких молекул до стотысячных долей электрон-вольта для наиболее тяжелых молекул. Вращательные переходы непосредственно изучаются методами инфракрасной спектроскопии и комбинационного рассеяния света, а также методами радиоспектроскопии. Колебательно-вращательные спектры получаются в ре-дультате того, что изменение колебательной энергии сопровождается одновременными изменениями вращательной энергии. Такие изменения происходят и при электронно-колебательных переходах, что и обусловливает вращательную структуру электронно-колебательных спектров. [c.228]

Хотя объем данной книги не позволяет подробно остановиться на многочисленных технических приложениях гироскопов, мы все же кратко коснемся этого вопроса. Под гироскопом обычно понимают симметричный волчок, установленный в кардано-вом подвесе таким образом, что центр тяжести его остается неподвижным, а ось может занимать любое положение в пространстве. В этом случае на волчок не действуют гравитационные моменты относительно его центра тяжести, и поэтому вектор его кинетического момента остается постоянным. Если гироскопу будет сообщена угловая скорость вокруг собственной оси и эта ось будет вначале неподвижной (и поэтому будет совпадать по направлению с вектором кинетического момента), то в дальнейшем она будет все время сохранять свое направление в пространстве. Поэтому такой гироскоп можно использовать в качестве указателя неизменного направления, так как движение экипажа, несущего гироскоп, не будет влиять на направление его оси. [c.198]

В 5.6 вычислялась прецессия оси вращения Земли вокруг полюса в предположении, что на Землю не действуют никакие моменты. С другой стороны, предыдущая задача показывает, что Земля подвергается вынужденной прецессии под действием гравитационных моментов Солнца и Луны. Можно, одиако, показать, что движение оси вращения Земли вокруг ее оси симметрии выглядит как нутация Земли и ее вынужденной прецессии. Для доказательства этого достаточно вычислить функции 6(/) и ф(/) для тяжелого симметричного волчка, у которого начальная скорость фо велика по сравнению со скоростью регулярной прецессии р/2а, но мала по сравнению с <02. При этих условиях граничные окрун<ности апекса будут близки друг к другу, но орбита апекса будет выглядеть так, как показано на рис. 58,6, т. е. будет иметь большие петли, медленно поворачивающиеся вокруг вертикали. Покажите, что равенство (5.64) будет в этом случае справедливым, [c.203]

По динамике твердых тел имеется весьма обширная литература, представленная не только книгами, специально посвященными этому вопросу, но и общими курсами механики. Большинство таких книг относится к концу прошлого столетия или близко к этому времени, и авторы их следуют традиционному изложению динамики твердого тела, развитой к тому времени. Одной из лучших книг этих лет является рекомендуемый общий курс Вебстера (первое издание вышло в 1904 г.). По сравнению с учебником Уиттекера книга Вебстера охватывает больший круг вопросов (она содержит теорию потенциала, теорию упругости и гидродинамику), но общий уровень ее является более элементарным. Тем не менее, в ней затрагиваются многие современные вопросы. Изложение ее является логически последовательным и в меньшей степени формальным, чем у Уиттекера, а также более физическим и более изящным. Векторным аппаратом автор не пользуется, так как в то время, когда писалась эта книга, векторное исчисление практически только зарождалось. Вторая часть этой книги посвящена динамике твердого тела и содержит подробное исследование движения симметричного волчка при отсутствии сил. Движение тяжелого волчка исследуется здесь методом, подобным изложенному в настоящей главе, но более длинно. [c.205]

Основной интерес здесь представляет подробное и ясное исследование движений некоторых тел волчка, не подверженного действию сил, тяжелого симметричного волчка с одной неподвижной точкой, бильярдных шаров, вращающейся монеты и т. п. Большой раздел, посвященный движению гироскопа во вращающейся системе координат (например, на поверхности Земли), будет, к сожалению, недоступен для большинства читателей, так как автор использует необычное векторное понятие — так называемый motor . [c.205]

Вычислите гамильтониан тяжелого симметричного волчка с одной неподвижной точкой и напишите для него уравнения Гамильтона. Сравните их с ураанениями движения, рассмотренными в 5.7. Покажите, как свести решение этой задачи, к квадратурам. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...