Эйлера конфигурации

В некоторых случаях удобно выражать кинетическую энергию не с помощью квазикоординат, а непосредственно через производные от координат по времени. Тогда уравнения движения можно привести к специальной стандартной форме. Для конкретности обратимся к угловым координатам Эйлера <р, ф, гЗ. В этом случае имеем шесть координат, задающих положение тела в пространстве (лагранжевых координат, однозначно определяющих конфигурацию системы) [c.450]

Из изложенного следует, что параметр Л1 зависит главным образом от конфигурации граничных поверхностей, но в определенных условиях и от числа Re. Для геометрически подобных сопротивлений при одинаковых числах Re значения будут одинаковы. При малых числах Re второй член правой части формулы (6.20), т. е. Лl/Re, играет определяющую роль в величине с. но при возрастании Re этот член становится малым, и, следовательно, число Re и вязкость перестают влиять на значение Сс при Re - оо с кв- Величина как видно из формул, определяется характером распределения безразмерного давления по внутренней боковой поверхности местного сопротивления или местным числом Ей. Число Эйлера может зависеть от Re, однако с возрастанием последнего значения Ей стабилизируются и определяются только геометрическими параметрами сопротивления и граничными условиями. Поэтому при больших числах Re, когда силы вязкости практически не влияют на сопротивление, динамическое подобие, а следовательно, одинаковые значения (. обеспечиваются только геометрическим подобием и одинаковыми граничными условиями. Верхней границей такого режима течения на участке сопротивления является значение числа Re, при котором в потоке вследствие больших скоростей возникает кавитация и происходит перестройка структуры течения, а значит, Ц/распределения давления. [c.146]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Величины ()i V, q) называются параметрами Эйлера ). Они удобны для описания конфигураций твердого тела, имеющего неподвижную точку. Итак, можно перейти от какой-нибудь данной начальной конфигурации Со к конечной конфигурации С с помощью некоторого определенного вращения Л R определяется параметрами (X, ji, v, q). Будем считать (к, v, q) прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда, принимая во внимание уравнение (10.3) и запись (10.4), мы можем высказать следующие утверждения [c.43]

Е> Л- С) — прямоугольные декартовы координаты опорной точки, выбранной в теле. Конфигурационное пространство свободного тела есть произведение двух трехмерных пространств. В первом из них координатами являются ( , т), и оно имеет топологию евклидова пространства. Точка во втором пространстве соответствует конфигурации твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Это второе пространство есть пространство вращений. Обычный путь рассмотрения пространства вращений в динамике это — ввести углы Эйлера 0 , ф, г)з ( И), рассматривая ф и ij как циклические координаты, так что имеем пространство Q, в котором конгруэнтные точки в углах бесконечного ряда кубов со сторонами 2я соответствуют одной и той же конфигурации (если рассматривать при этом ф и т] как прямоугольные декартовы координаты). [c.208]

Сферический ротор имеет различные полярный и экваториальный моменты инерции. Если такой ротор вывести из положения равновесия, поворачивая его относительно некоторой произвольной горизонтальной оси, то он будет совершать колебательное движен 1е. Приближенное решение уравнений Эйлера показывает, что траектория движения центра масс, записанная в угловых координатах, представляет собой фигуру Лиссажу в виде эллипса, непрерывно изменяющего свою конфигурацию. Пример такой траектории приведен на рис. 3, а. Начальные углы колебаний (углы Эйлера) во и фо равны 10°. Ввиду различия полярного и экваториального моментов инерции колебания в направлениях 0 II ф происходят с разными частотами. При этом видно, что центр масс практически не проходит через положение равновесия — точку 0. Более того, плоскость колебаний пе остается постоянной, а менее чем за три периода разворачивается на 90°, Такое движение ие дает возможности не только определить момент прохождения центра масс близ положения равновесия, но 278 [c.278]

Рассмотрим МГД-течение невязкого газа. Расчеты в рамках уравнений Эйлера проводились в области —5<ж<5, 0< <1. Параметр 8 изменялся от 0 до 5 (см. табл. 1, варианты 1-4). На рис. 2, а при 8 = 3 представлено поле чисел Маха в канале, дающее представление о поле газодинамического течения. Приведенные результаты соответствуют сильному МГД-взаимодействию. Основные особенности течения МГД-торможение потока в зоне его входа в поле токового витка образование большой каверны у стенки вблизи сечения х = 0 возникновение ударной волны, генерируемой левым краем каверны наличие ударной волны правее сечения х = 0, которая доходит до оси канала и взаимодействует с ней (возникает конфигурация с диском Маха). Согласно табл. 1, значительное увеличение параметра 8 от 0.75 до 5 сопровождается небольшим увеличением торможения потока (число Ме уменьшается от 2.95 до 2.5). Это связано с образованием обширной зоны с малыми скоростями у стенки канала, в результате чего область эффективного МГД-взаимодействия уменьшается. [c.395]

Применяется также и другой метод определения критической нагрузки в случаях, когда наряду с невозмущенной формой равновесия имеется смежная возмущенная форма равновесия. Если существует смежная равновесная конфигурация, то тело может внезапно перейти от одной равновесной конфигурации к другой при воздействии малых внешних возмущений. Мы будем рассматривать задачу устойчивости способом, который иногда называют эйлеровым методой, для тела, нагруженного неконсервативными внешними нагрузками [21, 23]. Заметим, что, как указано в [23], задача устойчивости для консервативных систем должна изучаться не только методом Эйлера, решающим задачу статической устойчивости, но и динамическим методом, который позволяет определить колебательные формы ухода от исходного положения равновесия системы. [c.99]

Для обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной конфигурации тела, можно использовать как знак V [9], так и V [36] в соответствии со второй формулой (1.12). В [38] используются оба обозначения, но это представляется нелогичным, так как V и V являются одним и тем же символическим вектором. В настоящей книге используется обозначение V в связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном используется для тензоров, определенных в переменных Эйлера. [c.24]

Если молекула воды перемещается в пространстве, находясь в своей равновесной конфигурации, то нетрудно найти ориентацию осей х, у, z) и углы Эйлера по координатам, используя [c.160]

Углы Эйлера для молекулы не в равновесной конфигурации можно найти тем же способом, если определить оси (дс, у, г) как мгновенные оси инерции. Однако для деформированной молекулы лучше выбрать в качестве осей (х, у, г) оси Эккарта, [c.162]

Линейная молекула имеет всего две вращательные степени свободы, соответствующие двум углам Эйлера 0 и необходимым для описания ориентации молекулярной оси (т.е. оси г) в пространстве, и отсутствие третьего угла Эйлера вызывает определенные трудности. [Здесь для читателя было бы полезно еще раз вернуться к гл. 7 и прочитать раздел о двухатомной молекуле см. формулы (7.65) — (7.116)]. Так как в равновесной конфигурации линейной молекулы координаты х а у ядер равны нулю, из формул (7.127) — (7.129) мы получаем всего два условия Эккарта [c.365]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Системы координат Лагранжа и Эйлера. В рассмотрение вводится система материальных координат [74,75]. С этой целью каждой точке сплошной среды в некоторой фиксированной ее конфигурации ставится в соответствие тройка чисел — номер, который для этой точки останется неизменным в процессе деформирования. [c.11]

Представление (1.1.4) будем связывать с некоторой фиксированной, всегда отличной от натуральной начально-деформированной конфигурацией. Именно в этом смысле, для различения представлений (1.1.3) и (1.1.4), за вторым представлением в данной книге закрепляется название представление Эйлера с соответствующими им координатам Эйлера . [c.12]

Постановка краевой задачи в координатах Эйлера . В некоторых случаях более удобным является описание процессов в системе координат, связанной с текущей или актуальной конфигурацией. Преимуществом этого подхода является возможность использования истинного тензора напряжения Коши и других, связанных с этим тензором функций, заданных в текущей конфигурации. [c.29]

В строгом смысле, этот подход обусловливает использование пространственной формы (Эйлера) описания процесса. Однако, как уже отмечалось, в данной книге используется исключительно материальное (Лагранжа) описание процесса, но относительно различных систем координат, определенных в разных конфигурациях. В данном разделе используется система координат, связанная с некоторой фиксированной начально-деформированной [c.29]

Критерий Эйлера является критерием гид ления. На практике он используется при оп ского сопротивления каналов различной конфигурации. В этом случае Др отвечает перепаду давления на рассматриваемом участке канала. [c.300]

Теперь не представляет труда ответить на поставленный выше вопрос о различии в показаниях первых и вторых счетчиков. Это различие состоит в том, что в то время, как отдельное показание счетчиков углов Эйлера ф, 0 определяет положение твердого тела, отдельное показание счетчиков квазикоординат Р, Q, / , напротив, ничего не говорит о положении тела. Точкам пространства квазикоординат Р, Q, R не соответствуют никакие определенные положения твердого тела с закрепленной точкой, но это вовсе не лишает нас возможности изображать в нем, как и в пространстве конфигураций, то или иное движение твердого тела. Так, например, регулярная прецессия, определяемая уравнениями [c.46]

Сформулируем теперь основную вариационную задачу механики, по отношению к которой уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера. С этой целью введем предварительно понятие о конфигурационном пространстве механической системы. Пространством конфигураций механической системы будем называть (5 + 1)-мерное пространство обобщенных координат ..., 7 и време- [c.182]

Тело, которое занимает деформированную конфигурацию Я и к которому приложены объёмные силы во внутренних точках, т. е. в точках а на части ГТ = (р(Г1) его границы приложены поверхностные силы ( 2.1), находится в состоянии статического равновесия, если выполнен фундаментальный принцип Эйлера— Коши для напряжений ( 2.2). Эта аксиома является основой механики сплошных сред. Из неё вытекает знаменитая теорема Коши (теорема 2.3-1), согласно которой существует поле симметрических тензоров такое что [c.90]

Аксиома 2.2-1 (принцип напряжений Эйлера—Коши). Пусть тело занимает деформированную конфигурацию Q и на него действуют приложенные силы, которые заданы плотностями i и g -. rf R . Тогда существует векторное поле [c.93]

Голономные системы. Связи, зависящие от времени. Конфигурацию системы, состоящей из Р частиц, всегда можно описать, задав ЗР координат частиц. Однако если эти ЗР координат должны удовлетворять уравнениям связей, то достаточно меньшего числа координат. Так, если система неизменяемая и имеет ненодвижнуй точку, достаточно трех координат (например, углов Эйлера 11). Любая совокупность параметров, которая полностью определяет конфигурацию системы, называется обобщенными координатами, а скорости их изменения — обобщенными скоростями. [c.83]

Соотношение (7.33) и сформулированная теорема и следствие с соотношениями (7.34) и (7.35) и указанием о конфигурации единичных винтов бинормалей и образующих представляют обобщение теоремы Эйлера-Савари для произвольного движения твердого тела. [c.168]

МНОГООБРАЗИЕ — множество, точки к-рого задаются набором чисел (координат), причём при переходе от точки к точке координаты меняются непрерывно. Локально, т. е. в пек-рой окрестности каждой точки, М. устроено так же, как евклидово пространство К" (элементы к-рого представляют собой наборы п вещественных чисел. .., л ")). М. являются конфигурац. и фазовые пространства динамических систем, Напр., положение твёрдого тела, закреплённого в одной точке, задаётся углами Эйлера б, р, ф, так что его конфигу- [c.161]

После того как оси х, у, г) сориентированы в молекуле по уравнениям (7.119) — (7.121), можно определить координаты х, у, z) для всех ядер молекулы. Такое вычисление можно проводить для ядер в равновесной конфигурации, в результате которого получаются равновесные координаты у , zf) для каждого ядра (. Для заданной искаженной конфигурации ядер смещения Лл . = (х — х ), Д/у. = (у. — у ), Лг = (2 —являются колебательными смещениями. Было бы целесообразно выбрать функции fo, 1ф, fx уравнениях (7.119) —(7.121) таким образом, чтобы кинетическая энергия ядер, выраженная через углы Эйлера и колебательные смещения, полностью распалась на сумму вран1ательной части (завися1цей только от углов Эйлера) и колебательной части (зависящей только от координат колебательных смещений). Эту цель можно было бы достигнуть, выбран такую систему осей (х, у, г), в которой колебательный угловой момент Jv был бы равен нулю. Однако если Jv не равен нулю, то [c.154]

Изложенный выше метод определения углов Эйлера и координат ядер х, у, г) по уравнениям Эккарта применим и к произвольной многоатомной молекуле, имеющей единственную равновесную конфигурацию. Однако для трехатомноп молекулы [c.164]

Рассмотрим свойства преобразований трех углов Эйлера (0, ф, х), 3N — 6 нормальных координат (Qi,. .., Qs/v-e) и 3 электронных координат xn+u , n+п) под действием перестановок ядер и инверсии для жесткой нелинейной трехатомной молекулы. Так как многоатомная молекула в равновесной конфигурации может иметь сложную структуру и много наборов тождествещ1ых ядер, трансформационные соотношения типа [c.170]

Трансформационные свойства углов Эйлера легко получаются из рис. 7.13, но если предпочтителен алгебраический подход, то те же результаты можно получить следующим образом. Обозначим расстояния ядер фтора и углерода от центра масс молекулы H3F в равновесной конфигурации через гр и гс соответственно, длину связи СН через гц, а угол а указан на рис. 7.12, а координаты х, у, г) могут быть выражены через эти четыре параметра. Используя матрицу направляющих косинусов [см. (7.50) — (7.52)], можно выразить координаты ( , т), 5) для каж- [c.174]

Чтобы попять, что такое конфигурационное вырождение и как оно возникает при наличии симметрически-эквивалентных равновесных ядерпых конфигураций, достаточно провести качественное рассмотрение решения колебательно-вращательного уравнения Шредингера. Для молекулы метана можно выбрать в качестве равновесной конфигурацию А или С (на рис. 9.2), чтобы определить оси Эккарта (х, г/, г), а следовательно, углы Эйлера и колебательные смещения Да,-. В зависимости от выбора конфигурации А или С получаем колебательно-вращательные волновые функции и энергии Еа либо с и f , где п = 1, 2, 3,. .. для последовательных собственных состояний. Если потенциальный барьер между минимумами Л и С потенциальной кривой Vn очень высок (как в случае метана), то волновые функции и локализованы соответственно в минимуме Лив мини- [c.224]

Точечная группа симметрии для равновесной конфигурации ядер в молекуле определяется легко (см. гл. 3). При использовании точечной группы для преобразования волновых функций молекулы элементы точечной группы рассматриваются как вра-н1ения и отражения вибронных переменных (колебательных смещений и электронных координат) в системе координат, закрепленной в молекуле (см, разд. 5.5 и рис. 5.7 в книге [121]). Молекулярная точечная группа является группой симметрии вибронного гамильтониана, так как расстояния между частицами при действии операций этой группы остаются неизменными. Операции молекулярной точечной группы не влияют на углы Эйлера, компоненты углового момента Ja и ядерные спиновые координаты. Если в гамильтониане мы пренебрегаем членами, связывающими вибронные координаты с другими степенями свободы (особенно с членами кориолисова взаимодействия и центробежного искажения), то мы получаем приближенный гамильтониан, который коммутирует с элементами молекулярной точечной группы. Следовательно, молекулярная точечная группа является группой приближенной симметрии полного молекулярного гамильтониана, а возмущения типа кориолисова взаимодействия и центробежного искажения являются основными эффектами, понижающими симметрию гамильтониана. Поэтому молекулярная точечная группа обычно используется для классификации колебательных и электронных состояний и для изучения вибронных взаимодействий, но не используется для классификации ровибронных состояний. Точечная группа является группой точной симметрии вибронного (и электронного) гавильтониана. [c.299]

Если цептросимметричпая молекула находится в своей равновесной конфигурации, то операция (5, не изменяет положения ядер в пространстве, и поэтому она не изменяет углов Эйлера. Операция Oi обращает знаки вибропных координат и переставляет спины в парах ядер ЛЛ, ВВ, СС, . .., Л/Л/. Следовательно, операция О,- группы молекулярной симметрии и операция i молекулярной точечной группы связаны соотношением [ср. с (П.Пв)] [c.306]

Если равновесные конфигурации для молекулы в двух электронных состояниях Фе И Фе различны, ТО оривнтация осей (x,y,z), закрепленных в молекуле, для этих двух состояний при данном мгновенном расположении ядер также может быть различной. Это обусловлено тем, что ориентация осей определяется из условий Эккарта, которые зависят от равновесной геометрии молекулы [см. (7.127) — (7.135)]. Такой эффект называется поворотом осей [60]. Поэтому для однозначного определения ориентации осей (х, у, г) и, следовательно, величин Kat и Ма в (11.152) мы должны в качестве равновесной геометрии молекулы, которая может быть использована в условиях Эккарта, выбрать равновесную конфигурацию молекулы в одном из электронных состояний. Тогда вращательные волновые функции другого электронного состояния следует выразить через вращательные волновые функции, зависящие от углов Эйлера, определенных относительно новых осей, так как матричные элементы ЯаЕмогут содержать только один набор углов Эйлера, В результате становятся разрешенными некоторые лишние вращательные переходы, называемые переходами с поворотом осей, которые не удовлетворяют правилам отбора по К (или Ка и Кс), выведенным ниже. Этот эффект следует учитывать также при сравнении экспериментальных значений вибропных матричных элементов операторов Ма с их значениями, вычисляемыми из первых принципов. Переходы с поворотом осей обычно слабые и наблюдаются редко. [c.348]

Как и в случае атомов, наиболее устойчивой конфигурацией объекта является сферическая форма, что согласуется с теорией устойчивости Эйлера. Неслучаен поэтому тот факт, что фуллерен С о обладает наибольшей устойчивостью из всех полученных к настоящему времени фуллеренов. Его свойства приведены в таблице 3.1. Отметим, что отношение числа пятиугольников с числу шестиугольников в фуллерене Сбо отвечает золотому числу 1,618 20/12=1,67 или Ащ =0,60 (обратная величина). В соответствии с алгоритмом (3.1) Ai=0,618. [c.95]

Декартовы координаты Лагранжа и Эйлера. Зададимся некоторой декартовой, единой для всех последующих конфигураций тела, системой координат ОХ1Х2Х3 с ортонормированным базисом ii, 12, is- [c.14]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

С тех пор построением пространственных тел, оптимальных в рамках локальных моделей не только по волновому, но и по полному сопротивлению, интенсивно занимались исследователи многих стран. Однако очевидным недостатком всех полученных решений была невозможность стыковки звездообразной головной части к осесимметричному корпусу. Первый серьезный шаг в этом направлении принадлежит руководимому В. А. Левиным и Г. Г. Черным коллективу сотрудников ЛАБОРАТОРИИ и Института механики МГУ ([12] и Глава 4.7). Для обеспечения требуемой стыковки оптимальная поверхность строилась в классе линейчатых поверхностей, натягиваемых на переднюю крестовину из ТУ > 2 лучей и окружность. Боковая поверхность найденных таким способом конфигураций гладкая. Преимущества построенных головных частей над эквивалентными конусами подтвердили эксперименты и расчеты, вынолненные в рамках уравнений Эйлера. [c.360]

Остановимся на этом вопросе подробнее. Пусть ф, ), 0 изменяются так, что изображаюш ая точка в пространстве конфигураций при этом описывает замкнутую кривую Г. Найдем изменения АР, AQ и А/ квазикоординат Р, Q, Я, соответствуюш,ие обходу этого замкнутого контура. Пользуясь кинематическими формулами Эйлера (8.1), непосредственно найдем, что величины изменения квазикоординат равны [c.45]

Рис. 2.1-1. Приложенные силы бывают двух типов объёмные силы f (д ) ёд дг е 12 , и поверхностные силы (д ) ёа, дг е Г . Согласно принципу напряжений Эйлера — Кошн, помимо этих снл существуют элементарные поверхностные силы (д , ) ёа , д е дА , действующие уточках границы Л любой подобласти Л деформированной конфигурации Ц , где и " — единичный вектор внешней нормали к ЙЛ.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...