Представление Эйлера

Уравнения, описывающие одномерные нестационарные течения невязкого нетеплопроводного газа как в представлении Эйлера, так и в представлении Лагранжа, составляют квазилинейную систему гиперболического типа и могут быть представлены в следующем виде [c.96]

Не следует смешивать понятие равномерного (или неравномерного) движения данной (одной) частицы жидкости с понятием одновременного равномерного (или неравномерного) движения множества жидких частиц . Кроме того, необходимо учитывать, что при определении рассматриваемых понятий применительно к случаю неустановившегося движения исходят из представлений Эйлера (а не Лагранжа см. 3-2). В связи с этим, рассматривая векторное поле скоростей, отвечающее данному моменту времени, считают, что если это поле является так сказать однородным в отношении скоростей (т. е. в пределах данного поля векторы скоростей всюду одинаковы и по их значению и по их направлению), то такое движение может быть названо равномерным в данный момент времени если же это поле скоростей является неоднородным, то отвечающее ему движение, естественно, должно быть названо неравномерным в данный момент времени. [c.92]

Представление (1.1.4) будем связывать с некоторой фиксированной, всегда отличной от натуральной начально-деформированной конфигурацией. Именно в этом смысле, для различения представлений (1.1.3) и (1.1.4), за вторым представлением в данной книге закрепляется название представление Эйлера с соответствующими им координатам Эйлера . [c.12]

Предел серии см. Ионизация Представление Лагранжа 30 Представление Эйлера 30 Преобразование единиц времени 541 [c.548]

Раздельное по фрагментам интегрирование дифференциальных уравнений довольно просто организуется лишь при использовании явных методов. Покажем это на примере решения методом Эйлера системы ОДУ, представленной в нормальной форме Коши и разделенной на две подсистемы [c.244]

Установим теперь соотношения между координатами вектора и> и производными по времени от углов Эйлера. Определение углов Эйлера дано на стр. 91, где оператор А 6 50(3) представлен в виде композиции А = о о А . Здесь Аф соответствует углу прецессии гр, Ай — углу нутации ё, А — углу собственного вращения (р. По определению вектор угловой скорости вращения вокруг некоторой оси направлен вдоль нее так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки, а модуль вектора угловой скорости равен модулю производной по времени от угла поворота. [c.135]

Тензор (2.13) определен для деформированного состояния тела в момент времени t в окрестности точки х и называется тензором напряжений Эйлера. Тензор напряжений (2.13) может быть представлен также в матричной форме в виде вектора-столбца [c.44]

Эйлерова форма принципа Эйлера —Лагранжа, Геометрические представления, связанные с принципом Эйлера — Лагранжа [c.206]

Первое из них — уравнение Эйлера, второе — уравнение адиаба-тичности, а третье — уравнение непрерывности, представленное в виде (77,1). [c.481]

Рассмотрим теперь вращательное брауновское движение. В общем случае поворот частицы описывается тремя углами Эйлера й = а, р, 7 и сферическими функциями Вигнера Пт (а, р, у), образующими неприводимые представления группы Ot трехмерных вращений (см. приложения V, VII). [c.85]

Обобщенные сферические функции, или D-функции Вигнера, у) являются элементами неприводимого представления группы трехмерных вращений 0(3). (Здесь а, , у — углы Эйлера, определяющие поворот R a, , у) =/ (—а, — , —у).) В соответствии с этим [c.224]

Получим сначала в представлении углов Эйлера 01=0, 02=ф. вз=ф и проекций угловой скорости ы/ на главные оси инерции частицы Ьу, уравнение Фоккера—Планка для двухосной частицы из уравнения эволюции [c.233]

В исходных размерных переменных в представлении углов Эйлера уравнение вращательной диффузии для двухосной частицы имеет вид [c.236]

К сожалению, встречаются случаи, когда преподаватели неверно понимают область применимости расчетов по коэффициентам ф, полагая, что это один из методов, используемых в случае неприменимости формулы Эйлера. Конечно, расчеты по коэффициенту ф применимы для всех значений гибкости, для которых составлена таблица этих коэффициентов, но применимы лишь для элементов строительных конструкций и металлоконструкций подъемно-транспортных сооружений. Нельзя рассчитывать по коэффициенту ф элементы машиностроительных конструкций, так как коэффициенты запаса для этих элементов предусмотрены более высокими. Кроме того, рассчитывая по коэффициенту ф, мы вообще не имеем представления, с каким коэффициентом запаса устойчивости будет работать проектируемый элемент. Конечно, в принципе можно составить таблицы, аналогичные существующим, для расчетов элементов машиностроительных конструкций, но их пока нет, а пользоваться таблицами из СНиПов, повторяем, недопустимо. [c.200]

Совершенно нелогична методика, по которой предварительно подбирают сечение по формуле Эйлера, а затем ведут уточненный расчет по коэффициентам ф. Экономии времени такая методика не дает, а о существе вопроса в сознании учащихся может возникнуть превратное представление. Кстати, считаем вообще полезным сказать учащимся примерно следующее Вам надо решить задачу, связанную с расчетом на устойчивость. Вы сомневаетесь, каким методом расчета воспользоваться. Вдумайтесь в условия. Если задан или надо определить коэффициент запаса устойчивости, то считайте по формуле Эйлера или по эмпирическим формулам (в зависимости от гибкости стержня). Если же задано допускаемое напряжение, расчет следует вести по коэффициентам продольного изгиба . [c.200]

Иногда приходится слышать, что в рассматриваемом случае трубка не может потерять устойчивость ни при каких условиях. Такое мнение основано на ложном представлении, что в вопросе устойчивости по Эйлеру основную роль играет наличие внутренней сжимающей силы. На самом деле это не так. [c.235]

Как видно, согласно Эйлеру, поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства. [c.73]

Уравнения динамического равновесия. Будем пренебрегать потерями напора, т. е. считать воду идеальной жидкостью как и выше, будем рассматривать русло с горизонтальным дном (i = 0). При этом приложим известные уравнения Эйлера (3-6) (которые представляют собой уравнения динамического равновесия, составленные для элементарного объема жидкости) к единице массы жидкости, заполняющей в данный момент времени параллелепипед, представленный на рис. 15-6. [c.513]

Сравним теперь с этими выводами из теории Эйлера результаты наблюдений колебаний полюса учеными различных стран. Для периода 1895-1900 гг. получается полодия, представленная на рис. 44. [c.191]

Последний принцип по существу представляет собою не что иное, как принцип Якова Бернулли, но только представленный в менее простом виде пользуясь принципами статики, нетрудно вывести один из них из другого. Позднее Эйлер его обобщил и применил к определению колебаний гибких тел соответствующая работа его была напечатана в 1740 г. в VII томе старых петербургских комментариев. [c.310]

Теорема Сильвестра. Теория свободного вращения со времен Эйлера привлекала внимание многих выдающихся математиков. Их усилия были больше направлены на развитие аналитического решения вопроса, чем на усовершенствование геометрических представлений и на вывод динамических следствий, которые облегчали бы понимание явления. [c.121]

Вращение, представленное с помощью его оси и угла (параметры Эйлера). Упорядоченный ортогональный триэдр (/, J, к) может иметь две ориентации — правую или левую. В некоторой точке земной поверхности мы получим правый триэдр, если выберем вектор I горизонтальным и направленным на восток, J — горизонтальным и направленным на север ж К — направленным вверх. [c.42]

Связи между матрицами Паули и другими способами представления вращений. Свяжем сначала матрицы Паули с углами Эйлера. Три матрицы формулы [c.56]

Рис. 74. Полодии на эллипсоиде инерции в представлении Пуансо, а также поток, задаваемый уравнениями Эйлера на уровне энергии. Видны особые точки типа центр и седло . Ассоциация с предыдущими двумя рисунками не случайна этот поток можно представить как гамильтонов

В механике жидкости и газа, напротив, был получен ряд важных общих результатов. Так, было введено четкое понятие давления в идеальной жидкости (И. Бернулли, Л. Эйлер), разработаны некоторые общие положения гидравлики идеальной жидкости, в том числе получены уравнение Бернулли (Д. и И. Бернулли, Л. Эйлер) и теорема Борда. Наконец, благодаря главным образом трудам JI. Эйлера были заложены основы гидродинамики идеальной (капельной и сжимаемой) жидкости. Замечательно, что уравнения гидродинамики были построены Эйлером при помощи вполне современного континуального подхода. Тут к его результатам трудно что-либо добавить ив 47 наши дни (конечно, если не касаться термодинамической стороны вопроса). Однако блестящая по стройности построения общая гидродинамика идеальной жидкости оказалась в XVIII в. лигпенной каких-либо приложений, если не считать акустики, опиравшейся в то время на представления И, Ньютона, эквивалентные предположению об изотермичности процесса распространения звука. Опередивйхие более чем на век требования времени, континуальные представления Эйлера в гидродинамике идеальной жидкости нуждались лишь, казалось бы, в небольшом обобщении — последовательном введении касательных напряжений,— для того чтобы обеспечить построение основ всей классической механики сплошной среды. Но, по-видимому, именно опережение Эйлером своей эпохи и практических запросов того времени повлекло за собой то, что толчок к дальнейшему развитию механики сплошной среды дали только через три четверти века феноменологические исследования, основанные на молекулярных представлениях. Чисто континуальный подход, основанный на идеях Эйлера и Коши, был последовательно развит англ [йской школой в 40-х годах и завоевал полное признание только в последней трети XIX в. [c.47]

Представление (1.1.3) принято называть материальным или представлением Лагранжа, представление (1.1.4) — пространственным или представлением Эйлера. Однако эти названия (Лагранжа и Эйлера) не оправданы исторически, поскольку, как отмечал Терстон [116] ссылаясь на Лэмба, "Эйлер раньше Лагранжа использовал оба вида представлений". [c.12]

При такой пос гановке вопроса сразу возникает дилемма, полностью спогветствующая обоим методам представления — Эйлера и Лагранжа. Можно спрашивать или о том, как изменяется рассматриваемая величина, например скорость в определенной точке г заполненного жидкостью пространства, или о том, как изменяется скорость некоторой двигающейся в пространстве частицы 5. В первом случае (при фиксированной пространственной точке Г) говорит о л о к а л ь н о й п р о и з в о д н о й, во втором же случае (при фиксиронанной частице жидкости 5)--о субстанциальной производной. Если за переменную величину, зависящую от времени (а в общем случае и от места), взять, например, температуру 7, то в эйлеровом представлении лля локальной производной получается [c.87]

Если подвижное звено соединено с источником (или потребителем механической энергии --- в зависимости от направления потока энергии) посредством муфты (рис. 5.5, а), то внешним силовым фактором является неизвестный момент М. Если же подвод (или отвод) энергии осуществляется через зубчатую или фрикционную передачу (рис. 5.5, б,в), то внешним силовым фактором будет не известная но модулю сила f. Расположение линии действия силы f определяется либо геометрией зубчатой передачи (углом зацепления (t,.), либо проходит через точку соприкосновения фрикционных катков касательно к их рабочим поверхностям. При ременной передаче (рис. 5.5, г) внешний силовой фактор представлен уже не одной, а двумя неизвестными по модулю силами fi и F2, связанными между собой формулой Эйлера [1]. Поэтому внешний силовой фактор по-прежнему один раз неизвестен. Линии действия сил fi и / > определяются положением ведущей и ведомой ветвей ременной передачи. Если же подвижное звено первичного механизма совершает прямолинейно поступательное движение (рис. 5.5, д), то внешним силовым фактором является неизвестная по модулю сила F, действующая обычно вдоль направляющей поверхности. Таким образом, и здесь внешний силовой фактор один раз неизвестен. [c.185]

До конца XIX в. случаи движения твердого тела, исследованные Эйлером и Лагранжем, были единственными, в которых было проведено полное интегрирование системы дифференциальных уравнений (III. 12) и (III. 14). На протяжении большей части минувшего столетия изучались разные свойства движений в указанных двух классических случаях. При этом были найдены результаты, о характере которых дает представление интерпретация Пуансо движения по инерции твердого тела вокруг закрепленной точки. В этом направлении работали Максвелл, Сильвестр, Мак-Куллах, Якоби, Сомов, Дарбу и др. [c.448]

В течение всего XVIII века корпускулярная теория света (теория истечения) занимала господствующее положение в науке, однако острая борьба между этой и волновой теориями света не прекращалась. Убежденными противниками теории истечения были Эйлер ( Новая теория света и цветов , 1746 г.) и Ломоносов ( Слово о происхождении света, новую теорию о цветах представляющее , 1756 г.) они оба отстаивали и развивали представление о свете как о волнообразных колебаниях эфира. [c.20]

Наибольшего развития волновые представления о свете в XVIII веке достигли у Эйлера. Согласно Эйлеру свет представляет собой колебания эфира, подобно тому как звук есть колебания воздуха, причем различным его цветам соответствуют колебания различной частоты. Сравнение скорости света со скоростью звука позволило Эйлеру утверждать, что эфир есть субстанция, значительно более тонкая и упругая, чем обыкновенный воздух . Эйлер, подобно Ломоносову, высказывает мысль, что источником всех электрических явлений служит тот же светоносный эфир. Согласно Эйлеру электричество есть не что иное, как нарушение равновесия эфира тела, в которых плотность эфира становится больше, чем в телах окружающих, оказываются наэлектризованными положительно отрицательная электризация связана с уменьшением плотности эфира. Эйлер не распространял свою теорию на магнитные явления, поскольку электрическая природа магнетизма не была еще известна. Эти соображения были развиты Эйлером в его знаменитых Письмах к немецкой принцессе , написанных в 1760— 1761 гг. и изданных в Петербурге (1768—1772 гг.) во время второго пребывания Эйлера в России, куда он прибыл уже после смерти Ломоносова, с которым он состоял в постоянной дружеской научной переписке. Поэтому не исключено, что указанные представления сложились у Эйлера под влиянием идей Ломоносова. [c.23]

В 37 уже было дано понятие о векторе-гда цднге скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве [c.332]

Движение жидкостей и газов можно изучать двумя методами. В первол из них прослеживают двияге ние отдельных частиц жидкости в пространстве со временем и определяют кинематические характеристики их движения (перемещение, скорость, ускорение). Зная кинематические характеристики различных частиц жидкости, можно составить представление о движении конечных объемов жидкости способ Лагранжа). Но можно поступить иначе — сле-дитг> ие за частицами жидкости, а за отде.чьнымм неподвижными точками пространства, определяя скорости проходящих через них частиц жидкости (способ Эйлера). [c.134]

По современным представлениям уравнения Эйлера (1.2) описывают движение только идеальной (невязкой) среды. Уравнения Навье-Стокса (1.3) решены для частных случаев ламинарного движения вязкой среды. Уравнения О. Рейнольдса (1.4), полученные с целью описания турбулентного движения вязкой среды, отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными членами, обусловленными турбулентным пульсацион-ньш движением. Дополнительные члены в уравнениях Рейнольдса рассматривают /125/как компоненты тензора напряжения, возникающего в [c.15]

Решение по схеме Рунге—Кутта. Перейдем к программе решения задачи (1.63), (1.64) по схеме Рунге—Кутта четвертого порядка. Она строится на основе описанной в 1.5 стандартной подпрограммы R KGS, в которую уже заложен цикл по времени. Поэтому в головной программе (рис. 1.9) реализуется лишь задание размерности массивов, ввод исходных данных и обращение к R KGS. Форма представления исходных данных совпадает с использованной в предыдущей программе для схемы Эйлера, а для ввода применяется та же подпрограмма VVOD. Входными данными для подпрограммы RKGS являются начальные значения температур (массив Т), весовые коэффициенты фг, полагаемые равными для всех неизвестных (массив DER Y), число неизвестных (N1), а также массив PRMT, содержащий четыре значения начальное и конечное значения времени (О и ТМАХ), начальный шаг (TAU), допустимую локальную погрешность (0,01). [c.48]

Кинематика оформилась как самостоятельная наука сравнительно недавно. Уже Даламбер указал на важность изучения законов движения как такового. Но первый, кто показал необходимость предпослать динамике теорию геометрических свойств движения тел, был Ампер. Эти свойства были представлены в 1838 г. Факультету наук в Париже Понселе. В этом представлении содержались, в частности, и теоремы о непрерывном перемещении твердого тела в пространстве, за исключением понятия мгновенной винтовой оси, которое было введено Шалем. Формулы, дающие вариации координат точек движущегося в пространстве тела, принадлежат Эйлеру (Берлинская Академия, 1750). Кинематика допускает многочисленные геометрические приложения. К ним относится, например, метод Роберваля построения касательных, теория мгновенных центров вращения, введенная Шалем, частный случай которой был дан уже Декартом в связи с задачей о касательной к циклоиде. К ним же относятся установленные Шалем свойства систем прямых, плоскостей и точек, связанные с движением твердого тела и приводящие наиболее простым образом к понятию комплекса прямых первого порядка. В 1862 г. Резаль выпустил курс Чистой кинематики . С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась в качестве самостоятельной науки. [c.56]

Наблюдаемую полодию, представленную на рис. 44, можно понимать как наложение 1) колебаний, происходящих с периодом Чандлера, 2) годичных колебаний, очевидно метеорологического происхождения, и 3) нерегулярных отклонений указывающих, по-видимому, на ка-кие-то единовременные перемещения масс. По поводу десятимесячного периода Эйлера который был получен как результат идеализированного представления о Земле, как о твердом теле, у нас никаких дополнительных замечаний нет. [c.192]

Если составить вектор о = ( jx, z) с компонентами, заданными в системе координат OaXYZ, то результат умножения матрицы АА на вектор г может быть представлен в виде векторного произведения V X г. Отсюда и из (5) следует формула (4). Попутно показана справедливость равенства (называемого формулой Эйлера) [c.58]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...