Эйлера в пространстве конфигураций

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Теперь не представляет труда ответить на поставленный выше вопрос о различии в показаниях первых и вторых счетчиков. Это различие состоит в том, что в то время, как отдельное показание счетчиков углов Эйлера ф, 0 определяет положение твердого тела, отдельное показание счетчиков квазикоординат Р, Q, / , напротив, ничего не говорит о положении тела. Точкам пространства квазикоординат Р, Q, R не соответствуют никакие определенные положения твердого тела с закрепленной точкой, но это вовсе не лишает нас возможности изображать в нем, как и в пространстве конфигураций, то или иное движение твердого тела. Так, например, регулярная прецессия, определяемая уравнениями [c.46]

В некоторых случаях удобно выражать кинетическую энергию не с помощью квазикоординат, а непосредственно через производные от координат по времени. Тогда уравнения движения можно привести к специальной стандартной форме. Для конкретности обратимся к угловым координатам Эйлера <р, ф, гЗ. В этом случае имеем шесть координат, задающих положение тела в пространстве (лагранжевых координат, однозначно определяющих конфигурацию системы) [c.450]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Если молекула воды перемещается в пространстве, находясь в своей равновесной конфигурации, то нетрудно найти ориентацию осей х, у, z) и углы Эйлера по координатам, используя [c.160]

Линейная молекула имеет всего две вращательные степени свободы, соответствующие двум углам Эйлера 0 и необходимым для описания ориентации молекулярной оси (т.е. оси г) в пространстве, и отсутствие третьего угла Эйлера вызывает определенные трудности. [Здесь для читателя было бы полезно еще раз вернуться к гл. 7 и прочитать раздел о двухатомной молекуле см. формулы (7.65) — (7.116)]. Так как в равновесной конфигурации линейной молекулы координаты х а у ядер равны нулю, из формул (7.127) — (7.129) мы получаем всего два условия Эккарта [c.365]

Величины ()i V, q) называются параметрами Эйлера ). Они удобны для описания конфигураций твердого тела, имеющего неподвижную точку. Итак, можно перейти от какой-нибудь данной начальной конфигурации Со к конечной конфигурации С с помощью некоторого определенного вращения Л R определяется параметрами (X, ji, v, q). Будем считать (к, v, q) прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда, принимая во внимание уравнение (10.3) и запись (10.4), мы можем высказать следующие утверждения [c.43]

Е> Л- С) — прямоугольные декартовы координаты опорной точки, выбранной в теле. Конфигурационное пространство свободного тела есть произведение двух трехмерных пространств. В первом из них координатами являются ( , т), и оно имеет топологию евклидова пространства. Точка во втором пространстве соответствует конфигурации твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Это второе пространство есть пространство вращений. Обычный путь рассмотрения пространства вращений в динамике это — ввести углы Эйлера 0 , ф, г)з ( И), рассматривая ф и ij как циклические координаты, так что имеем пространство Q, в котором конгруэнтные точки в углах бесконечного ряда кубов со сторонами 2я соответствуют одной и той же конфигурации (если рассматривать при этом ф и т] как прямоугольные декартовы координаты). [c.208]

Остановимся на этом вопросе подробнее. Пусть ф, ), 0 изменяются так, что изображаюш ая точка в пространстве конфигураций при этом описывает замкнутую кривую Г. Найдем изменения АР, AQ и А/ квазикоординат Р, Q, Я, соответствуюш,ие обходу этого замкнутого контура. Пользуясь кинематическими формулами Эйлера (8.1), непосредственно найдем, что величины изменения квазикоординат равны [c.45]

Если цептросимметричпая молекула находится в своей равновесной конфигурации, то операция (5, не изменяет положения ядер в пространстве, и поэтому она не изменяет углов Эйлера. Операция Oi обращает знаки вибропных координат и переставляет спины в парах ядер ЛЛ, ВВ, СС, . .., Л/Л/. Следовательно, операция О,- группы молекулярной симметрии и операция i молекулярной точечной группы связаны соотношением [ср. с (П.Пв)] [c.306]

Как показано в теореме 2.3-1, из аксиом баланса сил и моментов вытекает, что тензор напряжений Коши Г является решением некоторой краевой задачи, записанной посредством переменных Эйлера д в деформированной конфигурации и включающей в себя дифференциальное уравнение с частными производными — div Г = f в Q и граничное условие 2 л = на Г1. Эта краевая задача обладает одним замечательным свойством, а именно, благодаря своему дивергентному виду она, как мы сейчас покажем, может быть записана в вариационной форме (обоснование такой терминологии будет дано в 2.6). В дальнейшем через u v = UiVi обозначается скалярное произведение векторов эвклидова пространства, через А В = АцВц = г А В — скалярное произведение матриц, а через V e- — матрица с элементами [c.102]

МНОГООБРАЗИЕ — множество, точки к-рого задаются набором чисел (координат), причём при переходе от точки к точке координаты меняются непрерывно. Локально, т. е. в пек-рой окрестности каждой точки, М. устроено так же, как евклидово пространство К" (элементы к-рого представляют собой наборы п вещественных чисел. .., л ")). М. являются конфигурац. и фазовые пространства динамических систем, Напр., положение твёрдого тела, закреплённого в одной точке, задаётся углами Эйлера б, р, ф, так что его конфигу- [c.161]

В последнее время в связи с интенсивным изучением и освоением космического пространства значительно возрос интерес к знаменитой классической задаче трех тел (точек), движущихся под действием их взаимного гравитационного притяжения. Так как эта задача в общем виде неинтегрируема, то большой интерес престав-ляет изучение ее частных решений. В 1767 году Л. Эйлер [124] обратил внимание на то, что задача трех тел имеет три частных решения, для которых гравигирующие точки во все время движения расположены на одной прямой. Через пять лет, в 1772 г., Ж. Лагранж показал [148], что существуют еще два частных решения, соответствующие таким движениям, для которых три тела образуют равносторонний треугольник. Для пяти этих частных решений притягивающие тела движутся по подобным орбитам относительно своего барицентра, образуя во все время движения неизменную конфигурацию. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...