Элементы точечных групп

Фундаментальным принципом собственно кристаллографии является принцип Неймана, который формулируется следующим образом [30] группа симметрии любого физического свойства должна включать в себя все элементы точечных групп кристалла. Иными словами, точечная группа либо совпадает с группой симметрии свойства, либо является ее подгруппой. При этом принцип Неймана утверждает лишь возможность существования у кристалла соответствующих свойств, но не требует их обязательного наличия. Таким образом, он определяет необходимое, но не достаточное условие. В то же время если указанное условие не соблюдается, то принцип Неймана запрещает появление соответствующего свойства. [c.153]

Решение. Равновесная структура молекулы этилена имеет три оси вращения 3-го порядка ось 2 вдоль С—С-связи, ось у, перпендикулярную z и находящуюся в плоскости молекулы, и ось X, перпендикулярную двум предыдущим. Плоскости ху, уг и XZ являются плоскостями симметрий отражения, так что точечная группа симметрии — Огь. Элементами точечной группы Dzh этилена являются [c.44]

Нахождение действия операций точечной группы на молекулу в равновесной конфигурации не представляет затруднений иначе обстоит дело с применением операций точечной группы к волновым функциям (см. [121], разд. 5.5). Элементы точечной группы молекулы приводят к вращению и (или) отражению вибронных координат (электронные координаты и координаты смещений ядер при колебаниях их вблизи равновесного положения) относительно фиксированных в молекуле осей при этом фиксированные оси остаются неподвижными. При такой интерпретации элементов группы мы будем называть ее точечной группой молекулы, в отличие от простой точечной группы трехмерного объекта, в которой операции представляют собой вращение или отражение объекта в целом. Точечная группа молекулы используется для классификации вибронных состояний молекулы действие элементов группы подробно рассматривается в гл. 11. [c.45]

Важно уточнить преобразование молекулярных координат при операциях молекулярной точечной группы и выяснить соответствие между элементами точечной группы и элементами группы молекулярной симметрии. Здесь в качестве примера мы рассмотрим молекулу воды, а затем обсудим общее правило, устанавливающее соответствие между элементами молекулярной точечной группы и группы молекулярной симметрии для произвольной нелинейной жесткой молекулы. [c.299]

Простейший и наиболее прямой путь сравнения двух групп заключается в перемножении представителей смежных классов, соответствующих элементам точечной группы лежащей в основе построения. [c.112]

Д.2.1. Метод прямой проверки. Наиболее простым и эффективным способом установления структуры тензоров нелинейных оптических восприимчивостей сред, обладающих известными симметрическими свойствами, является метод прямой проверки, заключающийся в применении операций симметрии, оставляющих инвариантной исследуемую среду (т.е. элементов точечной группы этой среды), поочередно ко всем компонентам интересующего нас тензора. В результате получаются алгебраические соотношения между компонентами искомого тензора, определяющие его структуру. [c.297]

В методе прямой проверки существенно используются два обстоятельства во-первых, то, что компоненты тензора ранга г преобразуются как произведения г компонент векторов, и, во-вторых, то, что проверке подлежит, как правило, тензор, записанный покомпонентно в главной кристаллографической системе координат, а последняя строится на элементах симметрии исследуемой среды (кристалла), так что оси симметрии и нормали к плоскостям симметрии (элементы точечной группы этой среды) совпадают с координатными осями или занимают какие-либо другие особые положения (например, вдоль биссектрис углов между осями и т.п.). При такой записи число ненулевых компонент тензоров минимально, а сама запись имеет наиболее симметричный вид. [c.297]

Как известно, элементами точечных групп кристаллов могут быть только повороты на углы = 2я/х, где х = 1,2, 3,4и6 — показатель порядка соответствующей поворотной оси симметрии. [c.298]

Для дальнейшего рассмотрения важными являются точки симметрии и линии симметрии в зоне Бриллюэна, которые инвариантны по отношению к а 0 . Если, например, вектор к инвариантен по отношению к n из g элементов точечной группы, то его звезда имеет g/n) зубцов. [c.114]

В заключительном выражении (25.9) мы рассмотрели звезду вектора к как совокупность векторов Л,-, получающихся из вектора к применением элементов точечной группы а 0 . Если точечная группа имеет элементов и звезда п различных векторов к = ак, то точечная группа может быть разделена на п частей из д/п элементов, которые переводят к в определенные к,- [c.118]

Элементы точечных групп [c.67]

Рассмотрим теперь элементы точечных групп, содержащие инверсию . Преобразование инверсии переводит каждый вектор г в вектор -г. Так как матрица этого преобразования кратна единичной, то оно коммутирует с любым другим ортогональным преобразованием. [c.67]

Преобразование <ТйС)б( ) называют зеркальным поворотом и обозначают через 5 ( ). Таким образом, элементами точечных групп являются повороты и зеркальные повороты. [c.68]

Рассмотрим теперь, какие элементы точечной группы могут входить в один класс. С этой целью составим элемент, сопряженный с элементом Ск ф) - [c.68]

Вещество может рассматриваться в одно и то же время и как континуум и как дисконтинуум. Прерывность вещества проявляется, когда говорят о положениях отдельных атомов. Расположение атомов или ионов представляет собой совокупность элементов, которая может быть охарактеризована как симметричная точечная группа. В аспекте симметрии кристаллы классифицируются на 32 точечные и 230 пространственных групп. Свойствами симметрии можно объяснить многие свойства кристаллов. [c.72]

Нелинейная трехатомная молекула Н2О принадлежит к одной из точечных групп низшей симметрии — группе Сг . Равновесная конфигурация молекулы воды имеет следующие элементы симметрии ось симметрии второго порядка Сг и две плоскости симметрии а. Первая из них 01 проходит через все атомы молекулы, вторая 02 расположена перпендикулярно первой и проходит через [c.92]

В международные обозначения входят символ решетки Браве и операции (элементы) симметрии в определенном трехпозиционном порядке в соответствии с символом точечной группы и выбором кристаллографических осей X, Y, Z (о выборе осей см. ниже). [c.37]

Для определения множества преобразований симметрии, отвечающих подобным пространственным группам, необходимо перемножить преобразования симметрии точечных и трансляционных групп. При этом могут появиться и дополнительные элементы симметрии. Анализ показал, что число полученных таким образом пространственных групп равно 73. При получении этих групп было также учтено, что в тетрагональной, гексагональной и ромбической системах возможно несколько способов совместимого взаимного расположения элементов точечной и трансляционной симметрий. [c.151]

Под группой симметрии (по терминологии, принятой в кристаллографии, — точечной группой) понимают совокупность минимального числа элементов симметрии, характеризующих данный класс симметрии. [c.275]

Перед тем как пояснить это примером, напомним символы, с помощью которых обозначаются наиболее важные элементы симметрии. Цифры 1, 2, 3, 4, 6 и символ бесконечности оо означают оси симметрии. При этом номер оси (число) показывает, сколько раз за один полный оборот вокруг данной оси симметрии возникает состояние, совпадающее с исходным (до вращения). Те же цифры, но с черточками над ними указывают на зеркально поворотные оси. Буквой т обозначают плоскость симметрии. Точка между символами элементов симметрии означает параллельность последних, двоеточие — перпендикулярность, косой штрих — наклон их друг к другу. В символ группы симметрии (точечной группы) входит только минимальное число элементов симметрии, достаточное для обозначения соответствующего класса симметрии. Так, симметрия сдвоенного конуса обозначается символом оо т, хотя, кроме оси с -го порядка и перпендикулярной ей плоскости симметрии, фигура включает еще и центр симметрии. [c.275]

В случае HjO все операции ПИ-группы физически осуществимы, т. к. молекула HjO имеет только одну равновесную конфигурацию. Бели молекула имеет неск. равновесных конфигураций, то ПИ-группа имеет подгруппу, к-рая изоморфна точечной группе симметрии одной из равновесных конфигураций. Напр., полная ПИ-группа молекулы NHg состоит из элементов [c.516]

Здесь и далее понятие группы совпадает с математическим термином группа множество объектов или совокупность элементов, удовлетворяющих определенным положениям математической теории групп [I—3] в данном случае этими элементами являются элементы симметрии. Математически строго выводятся в кристаллографии для трехмерного пространства 14 трансляционных групп. 32 точечные группы и 230 пространственных групп. [c.95]

НЁЙМАНА ПРЙНЦИП — постулат, устанавливающий связь симметрии макроскопич. физ. свойств кристалла с симметрией его внеш. формы. Согласно Н. п., группа симметрии любого физ. свойства 6 (.в должна включать в себя все элементы точечной группы симметрии кристалла К, т. е. К ов- Т, о., физ. свойство может обладать более высокой си.м.метрисй, чем точечная группа кристалла. Н. п. утверждает лишь возможность существования у кристалла свойств, удовлетворяющих указанному условию, но но требует их обязат. наличия, т. е. Н. п. является необходимым, но недостаточным условием существования у кристалла конкретных физ. свойств. Сформулирован Ф. Э. Нейманом (F, Е. Neumann). [c.254]

Точечная группа симметрии для равновесной конфигурации ядер в молекуле определяется легко (см. гл. 3). При использовании точечной группы для преобразования волновых функций молекулы элементы точечной группы рассматриваются как вра-н1ения и отражения вибронных переменных (колебательных смещений и электронных координат) в системе координат, закрепленной в молекуле (см, разд. 5.5 и рис. 5.7 в книге [121]). Молекулярная точечная группа является группой симметрии вибронного гамильтониана, так как расстояния между частицами при действии операций этой группы остаются неизменными. Операции молекулярной точечной группы не влияют на углы Эйлера, компоненты углового момента Ja и ядерные спиновые координаты. Если в гамильтониане мы пренебрегаем членами, связывающими вибронные координаты с другими степенями свободы (особенно с членами кориолисова взаимодействия и центробежного искажения), то мы получаем приближенный гамильтониан, который коммутирует с элементами молекулярной точечной группы. Следовательно, молекулярная точечная группа является группой приближенной симметрии полного молекулярного гамильтониана, а возмущения типа кориолисова взаимодействия и центробежного искажения являются основными эффектами, понижающими симметрию гамильтониана. Поэтому молекулярная точечная группа обычно используется для классификации колебательных и электронных состояний и для изучения вибронных взаимодействий, но не используется для классификации ровибронных состояний. Точечная группа является группой точной симметрии вибронного (и электронного) гавильтониана. [c.299]

Теперь рассмотрим классификацию колебательных и электронных волновых, функций по типам симметрии молекулярной точечной группы для линейной молекулы. Элементами точечной группы Dooh являются [c.373]

Так как точечная группа содержит все элементы точечных групп Оз/,, Вщ и Сеу, мы можем получить типы нормальных колебаний этих менее симметричных моделей из модели Bah табл. 53). Согласно табл. 23 группа B h имеет двенадцать типов си.мметрии. Число колебаний каждого типа ) для молекулы С Ни равно [c.390]

Пусть (р, — элемент точечной группы изоморфной точеч-К [c.290]

Каждая точечная группа может быть двязана с точечной решеткой. Точечная группа, точечная решетка и связанные с элементами точечной группы непримитивные трансляции полностью определяют пространственную группу. [c.76]

Элементами точечных групп являются некоторые вращения трехмерного пространства, а также вращения, сопровождаемые инверсией. Мы знаем (см. упр. 1.1), что любой элемент группы вращений можно представить как поворот на некоторый угол р вокруг определенной оси. Если грухше принадлежит поворот на угол то ей принадлежит и поворот на угол к<р, где к — произвольное целое положительное или отрицательное число. Поэтому в конечной группе угол <р должен быть рациональной частью 2тг. Если наименьший угол поворота вокруг некоторой оси равен то такую ось называют осью п-го порядка. Преобразование поворота на угол обозначают через С или Ск ( ), где к — единичный вектор, направленный вдоль оси. Ясно, что если группа содержит поворот С , то она содержит также повороты С1, на углы [c.67]

Возможны 32 различные комбинации вышеуказанных элементов симметрии — 32 точечные группы. Они соответствуют 32 кристаллографическим классам. Эти классы объединяются в семь кристаллографичеких групп по сингониям [c.35]

Под точечной группой симметрии понимают совокупность (множество) преобразований симметрии, сохраняюш,их неподвижной хотя бы одну точку. Этот тип симметрии реализуется, например, в непрерывно заполненных веществом конечных фигурах. Для определения всех точечных групп необходимо рассмотреть все возможные сочетания элементов симметрии. Для удобства разделим все точечные группы на семейства в зависимости от того, содержат ли они только одну ось симметрии или несколько, имеют ли они плоскость или центр симметрии [l]. [c.139]

В формуле симметрии использованы применяющиеся в учебной литературе обозначения L ось, С — центр, Р — плоскость симметрии, число соответствующих элементов стоит перед их обозначением, в обозначении Шенфлиса символом D/, обозначается точечная группа, содержащая помимо оси поворота С перпендикулярные к ней л осей 2-го порядка, Dnh = V a — обозначение точечной группы, в которой к ) добавлены перпендикулярные к осям плоскости симметрии. [c.144]

Совокупность всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры называется пространственной, или федоровской, группой симметрии. Эти группы симметрии были выведены Е. С. Федоровым в 1890 г. и независимо чуть позже А. Шен-флисом за двадцать лет до экспериментального доказательства существования пространственной решетки кристалла. Различают два типа пространственных групп симметрии симморфные и не-симморфные. Симморфные группы возникают при размещении элементов симметрии точечных групп в узлах решетки Бравэ. Если обозначить федоровскую симморфную группу символом Фс, трансляционную — 7, точечную —/С, то между ними существуют следующие соотношения [c.151]

Пространственные группы симметрии определяют правильные системы точек, которые образуются из одной точки, находящейся в общем положении, т. е. не расположенной на элементе симметрии, приложением к ней всех преобразований симметрии данной группы. Точки n Tj эквивалентные по точечной группе, являются вершинами многогранника, называемого изогоном. [c.153]

Симметрия макроскопич. свойств кристалла определяется точечной группой его симметрии (G) и не может быть ниже последней Неймана принцип). Иными словами, группа собств. симметрии G материального тензора, описывающего то или иное физ. свойство такой среды (кристалла), включает элементы симметрии G, т, е. является надгруиной G (G G). Собств. симметрия тензоров часто описывается иродсльиыми группами точечной симметрии. Нек-рые величины, характеризующие свойства кристаллов (плотность, теплоёмкость), являются скалярными. Взаимосвязь между двумя векторными полями (напр., между поляризацией 1 и напряжённостью электрич. поля JS, плотностью тока. и Ш) или псевдовекториыми величинами (наир., между магн. индукцией В и напряжённостью маго. поля Н) описывается тензором 2-го ранга (тензоры ды-алектрической восприимчивости, электропроводности, [c.514]

Примрры расположения элементов симметрии в некоторых точечных группах личных сингонпй (а) и соответствующая им огранка кристаллов (б). [c.519]

Число точечных групп ( бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможни только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го в кристаллич. решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков). Операции точечной симметрии и соответствующие им элементы симметрии обозначаются символами оси 1, 2, 3, 4,6, инверсионные оси Т (центр симметрии или центр инверсии), 2 (она же — плоскость симметрии т), 3, 4, 6 (рис. 4). [c.510]

Точечные группы симметрии молекул. Как было указано выше, симметрия равновесной конфигурации молекулы описывается точечной группой, к-рая может быть изоморфна подгруппе ПИ-группы или самой ПИ-группе. Точечные группы состоят из чисто геоя, операций поворотов и отражений, переводяпщх равновесную конфигурацию молекулы в саму себя. Точечными эти группы паз. потому, что по крайней мере одна точка молекулы при операциях точечной группы симметрии остаётся неподвижной. Элементами таких групп кроме идентичной операции могут быть поворот С вокруг оси симметрии п-то порядка, отражение Ощ на плоскости, содержащей ось С , отражение о на плоскости, перпендикулярной к оси С , я инверсия i (не следует путать i с 1). Напр., группа состоит из Е, поворота вокруг оси g на 180° и двух отражений на взаимно перпендикулярных плоскостях с осью пересечения на g группа Сд состоит из Е, поворотов [c.516]

Совокупность элементов симметрии континуума (пп. 1—4, табл. 5.1), действующих на точку, определяет точечную группу или лауэв-ский класс симметрии кристалла. Поскольку од на точка объекта при таких преобразованиях [c.98]

Полупроводниковые фазы типа А В определенного стехиометрического состава не являются чисто ковалентными кристаллами, так как из-за различия в валентности элементов в них наряду с ковалентными возникают и ионные связи. Кристаллическая решетка таких соединений аналогична решетке алмаза. Из соединений типа А В применяют соединения с сурьмой — антимониды (например, ZnSb) и с мышьяком — ар-сениды (например, GaAs). Они имеют определенный химический состав, поэтому неосновные носители электрического тока возникают из-за примесей, точечных дефектов и разупорядоченности. Примеси П1 и V групп мало влияют на проводимость. Примеси П группы являются акцепторными, VI — донорными. Элементы IV группы в тех случаях, когда они замеш ают атомы А — доноры, если замещают атомы В — акцепторы. [c.589]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...