Функции тензоров

Неадекватность уравнения (2-3.1) в отношении корректного предсказания поведения реальных материалов даже в течениях столь простого типа, как линейное течение Куэтта, выдвигает проблему построения реологического уравнения состояния более общего вида, в котором тензор напряжений т уже не является однозначно определенной функцией тензора растяжения. [c.73]

В силу несжимаемости, ao в уравнении (6-2.3) представляет собой произвольный скаляр. Остальные восемь скалярных коэффициентов — инвариантные функции тензоров А и А - [c.212]

Заметим, что если, скажем, желательно приближение второго порядка, т. е. с точностью до членов порядка а , то необходимое значение п равно 2, но многие из членов уравнения (6-2.3) также можно опустить, поскольку они имеют порядок а или еще более высокий. Сравнение (6-2.3) и (4-3.23) показывает, что многие члены исчезают. Кроме того, по той же причине и из-за того, что tr Ai = О, коэффициенты в уравнении (4-3.23) должны быть константами, а не инвариантными функциями тензоров А и [c.213]

Из (4,8) мы видим, что тензор деформации является линейной функцией тензора напряжений Другими словами, деформация пропорциональна приложенным к телу силам. Этот закон, имеющий место для малых деформаций, называют законом Гука ). [c.24]

Изменение свободной энергии при изотермическом сжатии кристалла является, как и у изотропных тел, квадратичной функцией тензора деформации. В противоположность тому, что имело место для изотропных тел, эта функция содержит теперь не два, а большее число независимых коэффициентов. [c.51]

Линейная вектор-функция. Тензор второго ранга. Условия его физической объективности. Простейшие операции над тензорами. Перемножение тензора и вектора. Диада и диадное представление тензора [c.115]

Формулы (146), (147), (151) имеют важное значение в теории упругости, гидродинамике и других разделах механики сплошных сред. В теории упругости тензор напряжений Р заменяется линейной функцией тензора деформаций [обобщенный закон Гука (1635—1703)], в гидродинамике вязкой жидкости — также линейной функцией тензора скоростей деформаций (обобщенный закон Ньютона). Покажем это на простом примере вязкой несжимаемой жидкости. [c.255]

Здесь необходимо отметить одно очень существенное обстоятельство. Если сравнить информацию, необходимую для однозначного определения поля температур в области элемента в случае задания на части границы температуры и ее нормальной производной и в случае задания температуры и тензора деформаций, то можно заметить, что роль скалярной функции в первом случае (градиент температуры) во втором случае выполняет тензорная функция (тензор деформаций). Отсюда ясно, что информация [c.83]

Третий член правой части уравнения (295) представляет собой воздействие на частицы потока сил трения, вызываемых вязкостью. В дальнейшем, в процессе интегрирования уравнений (294)—(298), придется найти связь напряжений трения т,-/ с полем скоростей потока. Возвращаясь к формуле (286), можно ее трактовать как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения компоненте тензора скоростей деформаций. Обобщая закон Ньютона на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде есть линейная функция тензора скоростей деформаций. Для большинства рабочих агентов энергетических машин эта гипотеза хорошо оправдывается на опыте и ее можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно считать движущуюся среду изотропной, т. е. такой, у которой физические свойства не зависят от особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций S должны быть скалярами и искомая связь будет иметь вид [c.167]

Функции тензоров. 1°. Скаляр. Функция f Q), удовлетворяющая условию [c.830]

Рассмотрим еще случай, когда удельная энергия оболочки задана как функция тензора U = G /i и тензора К, вы1>ажа- [c.91]

ЛИЙ и моментов являются изотропными функциями тензоров Ь, [c.97]

Не существует инвариантного тензора деформаций (как явной функции тензора U), материальная производная которого была бы равна d [74]. Поэтому из (1.106) следует, что в рамках определений, введенных выше, для инвариантных тензоров напряжений т и сопряженные инвариантные тензоры деформаций не существуют. [c.56]

Упражнение 4.7. Показать с помощью (4.19), (4.26), что если для ортотропной среды тензор напряжения является линейной функцией тензора деформаций, то между компонентами тензоров напряжения и деформации справедлива зависимость [c.33]

Если тензор напряжения является изотропной тензорной функцией тензора деформации, то наиболее общее выражение (4.1) для этого случая имеет вид [112] [c.35]

Отсюда видно, что при протекании только активного процесса тензор напряжения является функцией тензора деформации. Поэтому очень часто говорят, что соотношения (4.47) описывают физически нелинейную упругую среду. [c.36]

В качестве тензорных характеристик деформации могут быть использованы и функции тензора G, например, тензор 0 или тензор [c.283]

Итак, а — изотропная функция тензора, которая может быть представлена инвариантами /j, 1 , /3 (см. (1.27) и приведенное там обсуждение), [c.40]

Так как выражения (31) и. (32) представляют собой соответственно тензор и скалярную функцию тензора и скалярных аргументов, то для изотропных материалов их можно записать в наиболее общей форме, используя теоремы о представлениях. Затем остается определить соответствующие скалярные функции, входящие в полученную общую форму. [c.215]

Использование представления упругого потенциала как скалярной функции тензора деформации Коши-Грина х = x(S) позволяет представить [c.20]

Представление упругого потенциала как скалярной функции тензора деформации Коши-Грина х = x(S) используется для определения тензора Кирхгофа К (энергетического тензора), поскольку он сопряжен тензору деформации Коши-Грина S. Закон состояния с использованием тензора Кирхгофа имеет вид [c.21]

При линеаризации определяющих соотношений в начально-деформиро-ванной конфигурации необходимо исходить из уравнений движения (1.7.8) и граничных условий (1.7.9) и (1.7.10), заданных в векторном базисе актуальной конфигурации. Однако процесс варьирования в этой конфигурации представляется достаточно сложным в связи с тем, что возмущению должны подвергаться как описывающие напряженно-деформированное состояние функции (тензоры напряжений и деформаций), так и сама актуальная конфигурация (т. е. система координат, связанная с ее векторным базисом, а также определенный в этом базисе набла-оператор). [c.38]

Тензор Т является непрерывной функцией тензора деформации И и не зависит от других кинематических переменных. [c.195]

Свободную энергию рассмотрим, как функцию тензора напряжений в виде [c.307]

Таким образом, в вязкой жидкости тензор напряжений есть линейная функция тензора скорости деформации Общее соотношение между напряжениями и деформациями имеет вид [c.189]

Поэтому интерполяционный полином Лагранжа представляет собой эффективное квадратичное представление произвольной функции тензора (2), удобное для экспериментального определения вида функций (...) по простейшим опытам. [c.216]

Они представляют уравнения электростатики для потенциала (р При малых деформациях (р=ро), изотермических процессах, в предположении отсутствия потерь и , q объемную плотность внутренней энергии pQU= lJ следует считать функцией тензора деформации и вектора поляризации или D. Работа внутренних сил равна [c.273]

Па и сосредоточенной о Н перемещение границы характеризуется постоянной По м. Операторы Р, Зц — просто функции тензора деформаций [c.292]

Наличие в жидкости вязких напряжений связано с диссипацией энергии. При установлении определяющих соотношений для жидкостей в общем случае считают, что тензор вязких напряжений Тц является функцией тензора скоростей деформации Оц. Если эта функциональная связь нелинейна, что символически можно выразить формулой [c.229]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

Формулы, (4,19), (4.26) показывают, что в изотропной гипер-уп угой оболочке тензоры усилий и моментов есть изотрсшные функции тензоров iB, и Ь , а конвективные тензоры у й- [c.97]

Каждая одно-однозначная функция тензора Сар или может быть мерой деформации, например (С ) р, (In) Bij и т.д. Такие меры распространены в определенных конкретных теориях, например в теории пластичности. Целесообразность их введения состоит в том, что для определенных материалов физические зависимости, выраженные через эти новые меры, могут быть проще, чем физические зависимости, выраженные через Соф и Эти меры здесь ве обсуждаются, потому что они не вносят ничего существенно но-ного в теорию. [c.20]

Обобщая закон Ньютона (1) на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде представляет линейную функцию тензора скоростей деформаций. Эту, хорошо оправдываемую на опыте для большинства употребительных жидкостей и газов гипотезу можно было бы назвать обобш,енным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно предположить движущуюся среду изотропной , т. е. такой, что физические ее свойства не зависят от каких-либо особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором скоростей деформаций должны быть скалярами п искомая связь сводится к фор.му.те [c.471]

ВЕКТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. ТЕНЗОРЫ. ВЕКТОРНЫЕ П0ЛЯ1) [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...