Параметры Эйлера

Очевидно, что параметры Эйлера удовлетворяют условию [c.97]

Согласно следствию 2.4.2 параметры Эйлера существуют для любого оператора А 50(3). [c.97]

Теорема 2.6.2. Зависимость компонент Uij матрицы оператора А Е 50(3) от. параметров Эйлера дается формулами [c.97]

Сформулируем правило вычисления параметров Эйлера уо, у, [c.98]

Теорема 2.6.3 решает задачу о вычислении параметров Эйлера по заданным элементам матрицы А в общем случае. При изменении расчетных формул, связанном с переходом от варианта к варианту, всегда может быть обеспечен непрерывный переход от одного типа решения к другому (см. пример 2.6.1). [c.102]

Теорема 2.7.4. Пусть Q SU(2). Тогда параметры Эйлера суть коэффициенты разложения [c.107]

Доказательство. С помощью углов Эйлера движение представляется в виде композиции преобразований вспомогательных базисов. Сначала происходит поворот исходного репера на угол прецессии ф вокруг третьей координатной оси. Этот поворот (см. определение 2.6.1) задается набором параметров Эйлера qo = соз( /2), = 0, [c.109]

Следующим происходит поворот на угол нутации г) вокруг первой координатной оси. Для него параметры Эйлера имеют вид до = со8( 1/2), 91 = 8ш( 1/2), 92 == 0, 93 = 0. Отсюда получается формула для матрицы Q , задающей вращение по углу нутации. [c.109]

Пример 2.7.1. Найдем формулы для параметров Эйлера, используя теорему 2.7.5. Выполнив умножение биномов [c.109]

Как и следовало ожидать, коэффициенты разложения матрицы Q по матрицам Е, а-, (Тз, (Тз совпадают с выражениями первого решения для параметров Эйлера, найденными в примере 2.6.1 для случая до Ф 0. Второе решение получится, если ко всем эйлеровым углам прибавить 2тг. [c.109]

Поскольку параметры Эйлера служат коэффициентами кватернионов из Hi, теорема 2.6.2 и теорема 2.6.3 дают возможность найти оператор А 50(3) по заданному кватерниону и обратно найти кватернион, описывающий то же движение, что и заданный оператор А е 50(3). [c.112]

Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н, задающего преобразование X —> Z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. [c.112]

Кинематические уравнения для параметров Эйлера (параметров Родрига-Гамильтона) свободны от вырождений. Вращение твердого тела (см. стр. 105) определено формулой [c.136]

Матрица Q 57/(2). По теореме 2.7.4 параметры Эйлера служат коэффициентами ее разложения по базисным матрицам [c.137]

Каким вращениям твердого тела соответствует значение параметра Эйлера до = О [c.150]

Каким вращениям твердого тела соответствуют значения параметров Эйлера 51 = 52 = 9з = О [c.150]

Пусть 9о, q, з — параметры Эйлера для А1 50(3), а q , д", I2 з — параметры Эйлера для Аз 50(3). С использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для композиции А = А1 о Аз. [c.151]

Пусть qo, 91, 92, 9з — параметры Эйлера для композиции А = А1 о Аз операторов А1 50(3) и Аз 50(3), а 9о, 9 , 92, 9з — параметры Эйлера для оператора А С использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для оператора А3. [c.151]

Выразить в скалярном виде компоненты угловой скорости твердого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, в осях, жестко связанных с телом, и в неподвижных осях через производные от параметров Эйлера. [c.152]

Вращение, представленное с помощью его оси и угла (параметры Эйлера). Упорядоченный ортогональный триэдр (/, J, к) может иметь две ориентации — правую или левую. В некоторой точке земной поверхности мы получим правый триэдр, если выберем вектор I горизонтальным и направленным на восток, J — горизонтальным и направленным на север ж К — направленным вверх. [c.42]

Величины ()i V, q) называются параметрами Эйлера ). Они удобны для описания конфигураций твердого тела, имеющего неподвижную точку. Итак, можно перейти от какой-нибудь данной начальной конфигурации Со к конечной конфигурации С с помощью некоторого определенного вращения Л R определяется параметрами (X, ji, v, q). Будем считать (к, v, q) прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда, принимая во внимание уравнение (10.3) и запись (10.4), мы можем высказать следующие утверждения [c.43]

Сравнивая матрицу (11.5) с матрицей (10.9), легко получить параметры Эйлера, выраженные через углы Эйлера, [c.47]

Мы свяжем параметры Эйлера (X, ц., v, q) со стереографическими параметрами (р, qY), сравнив матрицы (10.9) и (13.8) ранее мы выразили К, )и, v, q) через углы Эйлера (-ft, ф, з) формулами (11.7), если е = 1. [c.52]

Существует, конечно, неопределенность в выборе знака в выражениях параметров Эйлера через стереографические параметры, потому что матрица (13.8) не изменяется, если одновременно изменить знаки р и д. Выбирая определенный знак, получим [c.52]

Унитарность матрицы Т может быть показана без труда. Выражая Т через параметры Эйлера, имеем согласно [c.57]

Параметр Эйлера выражается через параметр Маха [c.167]

Использование углов Эйлера или кардановых углов не встречает принципиальных затруднений, когда углы элементарных поворотов задаются в зависимости от времени и требуется указать, в какое положение переходит твердое тело. Однако необходимость вычисления тригонометрических функций этих углов делает расчеты по определению матрицы оператора поворота не всегда эффективными. В ряде задач предпочтительным оказывается описание углового движения твердого тела с помощью параметров Эйлера, параметров Кэли-Клейна или кватернионов. [c.96]

Опр0Д0Л0ни0 2.6.1. Скалярные величины 90, 91, 92, 9з, определяющие преобразование вращения в соответствии с теоремой 2.6.1, называются параметрами Эйлера. [c.97]

Теорома 2.6.3. Пусть А = (арк) — матрица оператора А из 50(3). Тогда параметры Эйлера уо, Уз, У2, Уз можно найти с помощью одной из следующих систем уравнений [c.98]

Установим соответствие между параметрами Кэли-Клейна и параметрами Эйлера. Пусть [c.106]

Эта формула означает в точности такое же преобразование, какое получается с помощью параметров Эйлера в теореме 2.(3.1. Чтобы убедится в этом, достаточно воспользоваться изоморфизмом пространства косоэрмитовых матриц и пространства ДЗ.О [c.108]

Следствие 2.7.1. Параметры Кэли-Клейна выражаются через параметры Эйлера посредством следующих формул (см. определение 2.7.4) [c.108]

Доказательство следует из теоремы 2.6.3, которая устанавливает правило вычисления параметров Эйлера для произвольной орто-гонапьной матрицы А.О [c.108]

Доказательство. По определению Р = 2QQ. Чтобы получить кинематическое уравнение для параметров Кэли-Клейна, достаточно справа умножить это равенство на матрицу Q/2. Далее, матрице Q соответствует кватернион Ь, а матрице Рп — кватернион Ьц. Матричное и кватернионное кинематические уравнения изоморфны. Кинематические уравнения для параметров Эйлера получаются путем сравнения коэффициентов при одинаковых базисных матрицах Е, <71, (72, <7з В соотношении [c.138]

Чтобы исследовать угловую скорость с помощью кватернионов и параметров Эйлера, положим, что кватер-нионные единицы (i, j, к) соответствуют осям, неподвижным относительно So- Положение г частицы в момент времени t определяется уравнением вида (12.6), [c.64]

В том же исследовании [129] Д. Денавит обобщил унитарные комплексные матрицы введением вместо действительных угловых параметров Эйлера дуальных или комплексных углов по А. П. Котельникову. При этом под значениями ф , и (" понимаются комплексные углы фд, = фо , oKpj , и в , = 0,, 0)0,где со — символ Клиффорда (см. гл. 9, п. 21), а уравнение замкнутости записывается как произведение комплексных матриц 2-го порядка с дуальными элементами Q1Q2Q3 -Qn [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...