Угловые координаты Эйлера

В некоторых случаях удобно выражать кинетическую энергию не с помощью квазикоординат, а непосредственно через производные от координат по времени. Тогда уравнения движения можно привести к специальной стандартной форме. Для конкретности обратимся к угловым координатам Эйлера <р, ф, гЗ. В этом случае имеем шесть координат, задающих положение тела в пространстве (лагранжевых координат, однозначно определяющих конфигурацию системы) [c.450]

Угловые координаты Эйлера. Для определения положения твердого тела, могущего свободно вращаться около неподвижной точки, [c.80]

Звено, которому приписывается одна или несколько обобщенных координат, называют начальным звеном. Например, звено /, вращающееся вокруг неподвижной точки, т, е. образующее со стойкой 2 сферическую кинематическую пару (рис. 3.1, а), имеет три степени свободы и его положение определяется тремя параметрами — тремя углами Эйлера ((i, ф , Звено 1, вращающееся вокруг неподвижной оси, т. е. образующее со стойкой 2 вращательную кинематическую пару (рис., 3.1,6), имеет одну степень свободы и его положение определяется одним параметром, например угловой координатой t . Звено, перемещающееся поступательно относительно стойки (рис. 3.1, в), имеет также одну степень свободы и его положение определяется одним параметром — координатой XII. [c.60]

Приведем еще один способ введения угловых координат, иногда более удобный, чем способ Эйлера, поскольку он позволяет исключить вырождение при 03 = ез. Пусть, как и прежде, действие оператора А состоит в том, что [c.93]

Д2, шз угловой скорости суть квазискорости, связанные с производными, например, угловых координат ф, ф, д, кинематическими уравнениями Эйлера. [c.423]

Кинематические уравнения Эйлера следует разрешить относите.пьно производных от угловых координат. Выполнив это, получим [c.449]

После того как в какой-либо задаче, касающейся свободного вращения тела, мы определим угловые скорости р, q, г вокруг главных осей инерции в функции времени t, нам еще останется отнести положение тела к неподвижным координатным осям или плоскостям в пространстве. Для этой цели можно воспользоваться координатами Эйлера (33). Имеем [c.125]

Сферический ротор имеет различные полярный и экваториальный моменты инерции. Если такой ротор вывести из положения равновесия, поворачивая его относительно некоторой произвольной горизонтальной оси, то он будет совершать колебательное движен 1е. Приближенное решение уравнений Эйлера показывает, что траектория движения центра масс, записанная в угловых координатах, представляет собой фигуру Лиссажу в виде эллипса, непрерывно изменяющего свою конфигурацию. Пример такой траектории приведен на рис. 3, а. Начальные углы колебаний (углы Эйлера) во и фо равны 10°. Ввиду различия полярного и экваториального моментов инерции колебания в направлениях 0 II ф происходят с разными частотами. При этом видно, что центр масс практически не проходит через положение равновесия — точку 0. Более того, плоскость колебаний пе остается постоянной, а менее чем за три периода разворачивается на 90°, Такое движение ие дает возможности не только определить момент прохождения центра масс близ положения равновесия, но 278 [c.278]

Следует, однако, заметить, что при повороте тела на ось чувствительности акселерометра проектируется только часть ускорения g. Для определения проекций этого вектора необходимо знать угловые координаты (например, углы Эйлера) аппарата. Такую информацию могут дать другие бортовые приборы —гироскопы. [c.161]

В качестве угловых координат твердого тела применяются не только углы Эйлера, известные молодому специалисту из курса механики, но чаще различные другие системы углов. Системы отсчета в практических задачах не изображены в виде готовых трехгранников, а должны быть выбраны самим исследователем наиболее целесообразным образом и связаны с определенными твердыми телами, входящими в состав гироскопического устройства или находящимися вне его. [c.65]

В одномерных движениях с цилиндрическими волнами в цилиндрической системе координат х, ф, г х—расстояние от оси симметрии, 2—расстояние вдоль нее, ф—угловая координата меридианной плоскости) с компонентами скорости и, и, ш проекции уравнения Эйлера имеют вид (см. [2]) [c.153]

Движение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, описывается тремя независимыми угловыми координатами. Это демонстрируется при помощи шара большого диаметра, лежащего на подставке из цилиндрической трубы, имеющей несколько меньший диаметр (рис. 1.1 в). При всех поворотах шара относительно подставки его центр остаётся на месте. На шар нанесена метка в виде стрелки, так что его положение однозначно определяется положением стрелки. Стрелка может быть переведена из одного в любое другое положение путём последовательных поворотов шара вокруг трёх осей например, две угловые координаты определяют смещение начала стрелки по шару, а третья — её угол поворота. Шар может также использоваться для иллюстрации теоремы Эйлера. [c.6]

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

Установим зависимость проекций вектора угловой скорости на оси координат, скрепленные с телом, от углов Эйлера vj , 0, ф и их производных по времени. [c.496]

Входящие в уравнения (4 ) и (5 ) проекции угловой скорости на неподвижные и подвижные оси координат вычисляются по известным углам Эйлера с помощью формул [c.468]

Добавив к этим трем дифференциальным уравнениям кинематические уравнения Эйлера, выражающие зависимости между проекциями угловой скорости на соответствующие оси координат, углами Эйлера и их производными по времени [c.524]

Пусть ориентация главных осей инерции, принятых за оси координат, относительно осей системы задана с помощью матрицы направляющих косинусов а,у (г, / = 1, 2, 3), выраженных через углы Эйлера ф = < +, , >9 = и вычислена угловая скорость осей ко- [c.50]

Соотношения (89) представляют частный случай (со направлена по оси Oz) формул Эйлера, выражающих зависимости между проекциями скоростей точек вращающегося тела, координатами этих точек и проекциями вектора угловой скорости на неподвижные оси координат (см. стр. 182). [c.172]

Зависимость между проекциями скоростей точек тела, их координатами и проекциями угловой скорости выражается формулами Эйлера [c.181]

Припомним формулы Эйлера, связывающие проекции вращательной скорости точки К (х, у, г) с угловой скоростью и координатами этой точки [c.371]

Установим теперь соотношения между координатами вектора и> и производными по времени от углов Эйлера. Определение углов Эйлера дано на стр. 91, где оператор А 6 50(3) представлен в виде композиции А = о о А . Здесь Аф соответствует углу прецессии гр, Ай — углу нутации ё, А — углу собственного вращения (р. По определению вектор угловой скорости вращения вокруг некоторой оси направлен вдоль нее так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки, а модуль вектора угловой скорости равен модулю производной по времени от угла поворота. [c.135]

Получили систему кинематических уравнений Эйлера. Она позволяет вычислить угловое положение твердого тела, если проекции ац, и>2, u 3 угловой скорости на оси координат, жестко связанные с телом, заданы как функции времени. [c.136]

Проекции угловой скорости тела бз как иа подвижные, так и неподвижные оси координат можно определить также через углы Эйлера как функции времени, характеризующие положение тела относительно неподвижной системы координат. [c.170]

Таким образом, выведены искомые кинематические формулы Эйлера в подвижных осях, выражающие проекции мгновенной угловой скорости т на подвижные оси координат через углы Эйлера и производные от них по времени [c.203]

Выразим дополнительно косинусы углов оси прецессии Oz с осями координат Охуг, скрепленными с движущимся телом, через углы Эйлера. По оси прецессии Ог направлен вектор угловой скорости гр fei. Поэтому множители при гр в формулах для со , со и есть искомые косинусы указанных выше углов. Обозначая нх для краткости Yi, Y2. 7з. получаем [c.481]

Применим правило сложения угловых скоростей для вывода так называемых кинематических формул Эйлера, определяющих проекции мгновенной угловой скорости на оси системы координат — неподвижной Охуг и подвижной — через углы Эйлера (рис. 37). [c.116]

Здесь X, у, г — координаты точки. VI в неподвижной системе координат, Хо, г/о. 2о— координаты полюса О. Проекции угловой скорости <Пд., Юу, сог определяются по кинематическим формулам Эйлера. [c.128]

В общем случае главный момент внешних сил зависит от координат центра инерции твердого тела, мгновенной угловой скорости и углов Эйлера. Исключая из уравнений (III. 4) проекции мгновенной угловой скорости на основании уравнений (III.5), получим вместе с (III.1) шесть дифференциальных уравнений движения тела с координатами центра инерции и углами Эйлера в качестве неизвестных функций. Эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими математическими трудностями. [c.401]

Для составления уравнений движения гироскопа в квазикоординатах воспользуемся обобщенными уравнениями Эйлера (28), в которые подставим значения соответствующих проекций угловых скоростей вращения гироскопа и осей координат и значения проекций момента количества движения гироскопа на оси х, у, г, а именно [c.43]

Обобщенные координаты механизма. Положение твердого тела, свободно движущегося в пространстве, полностью определяется шестью независимыми координатами, за которые можно принять три координаты начала подвижной системы координат, связанной с телом, и три угла Эйлера, определяющие расположение осей подвижной системы координат относительно неподвижной. Их принято называть обобщенными, так как они определяют положение всего твердого тела. Аналогично обобщенными координатами механизма называют независимые между собой координаты (линейные или угловые), определяющие положения всех звеньев механизма относительно стойки. [c.24]

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с w, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями (Оф = ф, со0 = 0, = Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трех отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы <0ф, <ое, расположены несимметрично вектор Шф направлен вдоль неподвижной оси 2, вектор (00—вдоль линии узлов, а — вдоль подвижной оси г, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. 4.4). [c.153]

Показать, что составляющие угловой скорости по осям неподвижной системы координат выражаются через углы Эйлера следующим образом [c.160]

Резюме. Уравнения Эйлера, описывающие величину изменения вектора угловой скорости вращения твердого тела относительно осей координат, жестко связанных с телом и направленных вдоль его главных осей инерции, могут быть интерпретированы как условия обращения в нуль результирующего момента сил следующих трех категорий сил Эйлера, центробежных сил и внешних сил. [c.130]

Физические представления о структуре кристаллических тел и микромеханизме их деформирования позволяют подойти к построению математической модели неупругого деформирования поликристаллического материала. Как и при анализе осредненных характеристик поликристалла (см. 2.4), рассматриваемый объем материала представим в виде совокупности большого числа хаотически ориентированных кристаллических зерен. Ориентация кристаллографических микроосей зерен k = , 2, 3 относительно макроосей Xi, i = , 2, 3 поликристалла задана угловыми координатами Эйлера 9, oj) и ф (см, рис. 2.5) и для каждого зерна может быть представлена матрицей (2.19) с компонентами определяемыми согласно (2.21). Рассмотрим сравнительно малые неупругие деформации, так что ориентацию зерен в процессе деформирования можно принять неизменной. [c.97]

Для того, чтобы установить соответствие между параметрами Кэли-Клейна и элементами матрицы. Д, совсем не обязательно сначала определять углы Эйлера или какие-либо другие угловые координаты. Используя изоморфизм, отмеченный в следствии 2.7.1, можно непосредственно применить теоремы 2.6.2 и 2.6.3. [c.110]

Компоненты угловой скорости в общем случае могут не быть производными по времени от каких-либо координат, определяющих угловое положение твердого тела относительно репера Лехвавз. Тогда эти компоненты следует рассматривать как квазискорости и указать их связь с производными по времени от выбранных угловых координат. Пусть, например, это будут углы Эйлера (см. 2.15). Кинематические уравнения Эйлера можно представить в виде [c.447]

Рассмотрим задачу об устойчивости равновесия упругой слоистой анизотропной оболочки вращения, нагруженной осесимметричной системой внешних сил, интенсивности которых пропорциональны одному параметру. Докритическое равновесное состояние оболочки определяем на основе линеаризованных уравнений статики, а его устойчивость исследуем в рамках статической концепции Эйлера о разветвлении фop равновесия, позволяющей трактовать (см. параграф 3.3) задачу устойчивости как линейную краевую задачу на собственные значения для системы дифференциальных уравнений с частными производными. Решение этой задачи строим в форме тригонометрических рядов Фурье по угловой координате (см. параграф 3.6) с коэффициентами, зависящими от меридиональной координаты. Отделяя угловую координату и вводя 2х-мерный вектор j>(x) вариаций безразмерных кинематических и силовых характеристик напряженно-деформированного состояния оболочки (см. параграф 3.6), приходим к линейной краеюй задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которую запишем в векторной форме [c.205]

Эти величины уже не являются функциями положения материальной системы и не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поясним это на примере. Как известно ), проекции угловой скорости твердого телн, имеющего одну неподвижную точку, па оси, жестко связанные с телом, выражаются ( формулами Эйлера [c.80]

Припомним формулы Эйлера (48), связывающие проекщ и скорости точки К вращающегося тела с угловой скоростью со этого гела и координатами х, у и 2 SToii точки [c.177]

При изменении положения в теле полюса О углы Эйлера не изменяются. Следовательно, не изменяются ни угловая скорость вращательной части движения твердого тела, ни угловое ускорение. Действительно, всякое изменение положения в теле полюса О можно связать с некоторым параллельным перенесением координатной системы О т] в новое начало. При таком преобразовании координат не изменяются углы между положительными направлениями осей неподвижной Oi xyz и подвижной 0 г систем координат. Следовательно, не изменяются и углы Эйлера (рис. 46). [c.126]

Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть введены дополнительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую сторону уравнения Эйлера. Центробежная сила может быть пр е,дставлена в виде градиента V [Or] 2/2, где Q — вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой —Vp/p, введя эффективное давление [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...