Уравнения Эйлера гидродинамические

Как уже было указано в начале 1, состояние движущейся жидкости определяется пятью величинами тремя компонентами скорости V и, например, давлением р и плотностью р. Соответственно этому полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для идеальной жидкости этими уравнениями являются уравнения Эйлера, уравнение непрерывности и уравнение, выражающее адиабатичность движения. [c.19]

В конце 2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводности и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-прежнему уравнение непрерывности уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса. Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2,6). В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. [c.270]

Подставляя полученное выражение в исходное равенство (88), приходим к уравнению количества движения в гидродинамической форме (первому уравнению Эйлера), согласно которому сумма проекций всех сил, приложенных к струе жидкости на любом ее участке, равна приращению проекции секундного количества движения на этом участке, или, что то же, произведению секундной массы на приращение проекции скорости [c.38]

Подставляя (96) в левую часть равенства (95), получим второе уравнение Эйлера, т. е. уравнение моментов количества движения в гидродинамической форме [c.46]

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой идеальной жидкости , т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что [c.213]

Это и является уравнением Эйлера, если Я отождествляется с давлением р. Таким образом, с точки зрения аналитической механики гидродинамическое давление р представляет реакцию, связанную с условием несжимаемости, которому должен удовлетворять выбор Я. Интеграл по поверхности, который также обращается в нуль согласно принципу Гамильтона, дает граничные условия, требующиеся для полного определения давления. [c.843]

При выводе уравнения (1.3), известного под названием турбинного уравнения Эйлера рассматривалось насосное колесо. Однако если учесть, что гидродинамическая муфта есть механизм без внешней опоры момента, то третий закон Ньютона позволит записать для нее LM = M —М2=0, т. е. момент насоса равен моменту на турбине, а так как то же самое можно сказать о всех составляющих момента гидромуфты (в том числе и о моментах сил трения), то становится очевидной справедливость записи (1.3), когда в левой части поставлена величина циркуляционного момента гидродинамической муфты. [c.19]

Основные зависимости между расходом, геометрией проточной части и кинематическими параметрами режима работы гидродинамической муфты устанавливаются турбинным уравнением Эйлера, вывод которого приведен в 3. При составлении этого уравнения характер течения, вид гидравлических сопротивлений, вязкость жидкости, а значит, и величина потерь напора не принимаются во внимание. Такое отвлечение от подробностей процесса, с одной стороны, позволило получить точное рещение задачи о связи между размерами, скоростями, расходом по колесу гидромуфты и моментом на его валу, с другой,—сделало результат для практического использования недостаточно полным. Неполнота его заключается в том, что функция расхода от режима и размеров гидродинамической муфты этим уравнением не раскрывается. Поэтому непосредственно для расчета это уравнение может быть использовано только в том случае, если его рассматривать совместно с уравнением, выражающим зависимость расхода от размеров и режима работы гидродинамической муфты. [c.31]

Для определения диаметра выхода из насоса гидродинамической муфты обратимся к уравнению Эйлера, приведенному выше ( 3). Если умножить правую и левую части этого уравнения на угловую скорость насоса шь то слева получим величину мощности (в кгм сек). Последняя величина может быть представлена как произведение Подставив это произведение в уравнение [c.32]

Рабочие лопатки, обтекаемые потоком газа, находятся под действием гидродинамических сил давления и трения, возникающих на их поверхностях. Окружные составляющие этих сил создают крутящий момент, для определения которого применимо уравнение Эйлера о моменте количества движения (см. 2.2). [c.157]

Для вывода уравнения Эйлера следует рассмотреть два положения контрольной поверхности, соответствующие моментам времени f и t+Af, как показано на рис. 1.6 сплошной и штриховой линиями. Если разбить весь объем газа на элементарные струйки и к каждой струйке применить уравнение (I. 19), то суммирование таких уравнений по всему объему газа и даст уравнение Эйлера в гидродинамической форме. [c.28]

При Li =0 уравнение (2.1.18) сводится к хорошо известному уравнению Эйлера для невязкой, или идеальной, жидкости. В случае безвихревого течения V X v = О получаются уравнения потенциального течения. Они представляют основу для решения многих проблем классической гидродинамической теории. Так как стационарные потенциальные течения не оказывают воздействия на неподвижные твердые тела, теория обычно правильно описывает течение жидкости только вдали от ее границ. [c.44]

Легко видеть, что решение в виде бесконечного или оборванного ряда (6.4), сходящегося в обычном или асимптотическом смысле, не может представлять общее решение. Действительно, согласно (6.4) функция распределения в какой-либо точке Ц, х) полностью определена гидродинамическими величинами я, й и Г в той же точке. Но значения гидродинамических величин в любой момент времени определяются в зависимости от приближения с помощью уравнений Эйлера, Навье — Стокса и т. д. по значениям гидродинамических величин при t = tQ. Так как гидродинамические величины являются интегралами по от функции распределения, то очевидно, что 1 одним и тем же начальным гидродинамическим данным приводит [c.129]

Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции распределения, отличается на величину порядка от асимптотического решения, к которому стремится при t— и >0 решение модельного уравнения Больцмана, хотя это последнее решение асимптотически Удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям. Действительно, запишем (6.3) и (6.4) соответственно в виде [c.130]

В правую часть интегрального уравнения (7.6) для очевидно, войдут первые временные и пространственные производные от Г / и вторые производные от Vf Частные производные по t от и можно исключить соответственно с помощью уравнений Эйлера и уравнений (7,14) для Тогда общее решение уравнения (7.6) для будет выражено через Vf ГУ и их пространственные производные и, согласно (7.9), — через Продолжая процесс далее, можно / выразить через. ....Гг и их пространственные производные до (я — k)-TO порядка соответственно для функций Но при t = Q все Гг для fe>0 и их пространственные производные равны нулю, а Г[.° = Гг. Следовательно, при г 0 функции выражаются через гидродинамические величины и их пространственные производные до и-го порядка включительно. Но момент г —О не является исключительным. Любой момент может быть принят за начальный. Следовательно, полученная зависимость /("> от гидродинамических величин справедлива в любой момент времени. Подставляя эту зависимость в определения P/j и qi через /, выразим последние через гидродинамические величины и их производные до -го порядка. Тогда, выражая в уравнениях сохранения P j и qi через Г и их производные, получим замкнутую систему уравнений для гидродинамических величин. [c.147]

Можно надеяться построить приближенное решение задачи, рассматривая течение от звуковой линии до некоторого достаточно большого числа Маха с помощью обычного невязкого гидродинамического источника и лишь далее вниз по потоку с помощью уравнения Больцмана (рис. 82). Линия склейки должна находиться в той области, где диссипативными процессами еще можно пренебречь и где решение уравнения Больцмана на некотором участке еще совпадает с решением уравнений Эйлера. В такой постановке задача рассмотрена в работе [c.425]

Тз/Го)крит можно определить, если воспользоваться теоремой Эйлера, переписав уравнение разности гидродинамических давлений в виде [c.101]

Если до сих пор для определения гидродинамических явлений мы имели нелинейные диференциальные уравнения второго порядка (уравнение Эйлера, общее уравнение Бернулли), то теперь, при потенциальном движении несжимаемой жидкости, мы имеем линейное уравнение относительно Ф. Это же влечет за собой возможность больших математических упрощений, связанных с тем, что каждая линейная комбинация частных решений является опять решением диференциального уравнения. Вследствие этого получается большая многосторонность решений, что значительно облегчает удовлетворение пограничных условий. [c.116]

Закон Дарси (10.2.10) и его обобщения, справедливые в линейной фильтрации (которые все в дальнейшем будем называть коротко законом Дарси), устанавливают зависимость между расходом жидкости, связанным с физической скоростью и скоростью фильтрации, гидродинамическим давлением, плотностью жидкости и ее вязкостью. Таким образом, это динамический закон, который в теории линейной фильтрации играет такую же роль, как и уравнение Навье—Стокса в теории движения вязкой жидкости и уравнение Эйлера в теории движения идеальной жидкости. [c.264]

Резюмируя все сказанное, можно считать центральным пунктом линейной электродинамики ММ определение трех линейных функций отклика среды и Д (или е, а и одной из величин Д), две из которых известны из обычной электродинамики. В случае же необходимости выхода за пределы линейной теории следует исходить из нелинейного обобщения соотношений (4). В рамках используемой ниже гидродинамической формулировки к такому обобщению ведут стандартные выражения для плотностей заряда и тока жидкости в сочетании с нелинейными уравнениями Эйлера и непрерывности. [c.235]

Стремясь к единообразию с последующим квантовомеханическим описанием, перепишем уравнение (8) в гидродинамической форме (см. [7]). Переходя к эйлеровой картине неподвижного наблюдателя и вводя плотность гг(х, ) и скорость у(х, ) в фиксированной точке пространства, легко прийти к уравнениям Эйлера и непрерывности [c.235]

Большую роль в развитии гидравлики в конце XIX и начале XX в. сыграли работы ряда русских ученых. Так, И. С. Громека издал в 1881 г. свое замечательное сочинение Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости , где он значительно преобразовал дифференциальные уравнения Эйлера, дал глубокий анализ различных видов движения жидкости, заложил основы теории винтового движения жидкости (так называемой поперечной циркуляции) и т. д. Н. П. Петров (1836—1920 гг.) теоретически обосновал гипотезу Ньютона о силе внутреннего трения в жидкостях, дав математическое выражение этой силы, и разработал гидродинамическую теорию смазки, получив всеобщее признание как ее основоположник. Н. Е. Жуковский (1847—1921 гг.), которого В. И. Ленин назвал отцом русской авиации, значительно развил гидроаэромеханику, разработал методы ее использования для решения многих практических вопросов, создал на основании своих замечательных исследований теорию гидравлического удара в трубах, разработал теоретические методы решения задач о фильтрации воды в грунтах, развил гидродинамическую теорию смазки, расширил учение [c.8]

Фигуры равновесия небесных тел изучаются на основе уравнений деформируемого тела (см. 1.08), динамических уравнений Эйлера и гидродинамических уравнений. Последние имеют вид [c.773]

Пусть электронный поток описывается гидродинамическими уравнениями. Будем считать, что этот поток заполняет все пространство, но движение его одномерно, т. е. в направлениях, перпендикулярных направлению движения, ничего не меняется (в СВЧ-электронике эта модель называется моделью бесконечно широкого пучка). Тогда для описания такой заряженной жидкости (столкновением частиц, т. е. вязкостью, пренебрегаем) достаточно уравнения Эйлера для скорости [c.156]

Проблема коллапса является одной из наиболее интересных проблем, связанных с вихрями, и представляет большой интерес для теоретической гидромеханики как одна из моделей, на которой может быть понят один из сценариев перехода к турбулентности, заключающийся в неединственности решений гидродинамических уравнений Эйлера. Действительно, теоремы существования и единственности для этих уравнений доказаны в предположении достаточной гладкости первоначального поля скоростей. С математической точки зрения процесс коллапса вихрей, представляющий собой слияние особых решений уравнения Эйлера типа -функции, при обращении времени будет определять распад вихрей с соответствующей потерей единственности. Поэтому большой интерес представляет изучение этой проблемы с точки зрения регуляризации столкновений аналогично тому, как это делается в классической небесной механике [3]. Для физики атмосферы явление коллапса может рассматриваться как модель формирования крупных атмосферных вихрей. [c.80]

Как известно, непременным атрибутом любой гидродинамической модели являются два уравнения — уравнение Эйлера и уравнение неразрывно- [c.185]

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана может быть подвергнуто сокращению до уравнения, описывающего только медленный гидродинамический процесс в газе, которое в разных приближениях дается соответственно уравнениями Эйлера, Навье—Стокса, Барнетта и т. д. [c.136]

Воздействие окружающей воздушной среды учитывается условием (2-10), в котором величина пульсации воздушного давления получается интегрированием линеаризированньос уравнений Эйлера, описываюш,их движение воздушного потока, и уравнения неразрывности. Интегрирование проведено с учетом наличия гидродинамического потенциала скорости. [c.30]

Фридман и Тамаркин рассматривают также вопрос о распространении разрывов в вязкой сжимаемой жидкости. В связи с тем что уравнения Навье-Стокса отличаются по форме от уравнений Эйлера для идеальной жидкости (в последние не входят производные второго порядка от компонент скорости), им приходится несколько изменить тип изучаемого разрыва. Они считают в этом случае, что производные первого порядка от слагаюгцих скорости непрерывны, а терпят эазрыв производные второго порядка. Остальные неизвестные функции ведут себя так же, как в случае разрывов первой ступени, т.е. разрыв претерпевают первые производные от давления и от удельного объема и первые или вторые производные от температуры. Такой разрыв авторы называют гидродинамическим разрывом второй ступени. [c.223]

Наличие двух чисел указывает на то, что имеются две причины, вызывающие нелинейные эффекты при распространении волн в газах и жидкостях во-первых, нетанейность уравнения непрерывности и уравнения Эйлера и, во-вторых, нелинейяость уравнения адиабаты Такое разделение до некоторой степени условно, так как система гидродинамических уравнений решается совместно, однако при сравнении газов и жидкостей оно удобно. [c.55]

Входящие сюда частные производные по t от гидродинамических величин можно исключить с помощью уравнений Эйлера (6.6). В уравнениях Эйлера отброщены величины порядка е. Поэтому, исключая производные по t из (6.7), мы отбрасываем величины порядка ё. Проделывая несколько громоздкие, но несложные выкладки, получим. Что функция распределения имеет вид [c.129]

Эта операция формальна потому, что в действительности гидродинамические величины во всех приближениях, кроме нулевого, не удовлетворяют уравнениям Эйлера. Может показаться, что исключение частных производных по с помощью уравнений Эйлера справедливо лишь с точностью до т. е. при оставлении в разложении для / только двух членов. В этом последнем случае достаточно найти с точностью до е. Так как решения точных гидродинами- [c.172]

Предыдущие парадоксы показывают, что область применимости уравнений Эйлера имеет некоторые ограничения однако эти уравнения все еще являются основным орудием практической гидромеханики. Так, они дают возможность приближенно вычислить 1) распределение давлений на лобовой поверхности препятствий 2) подъемную силу крыла самолета 3) силы при движении с кавитацией (гл. III) и наличии струй 4) гидродинамическое противодействие ускорению твердого тела в жидкости ( присоединенная масса , см. гл. VI) 5) распространение гравитационных волн, включая сейши, приливы и отливы [c.45]

Все слагаемые "в уравнениях Навье-Стокйа, так же как и в уравнениях Эйлера, имеют размерность ускорения в левые части входят проекции полного ускорения частицы, в правые части — проекции ускорения от объемных, си.ч, от сил гидродинамического дав-ления и от сил вязкостп. Отличие от уравнений Эйлера заключается в том, что здесь появляются дополнительные ускорения частицы, происходящие исключительно от вязкости и не зависящие от действия объемных сил и давления. [c.533]

Уравнения (22) называются гидродинамическими уравнениями в форме Эйлера. Уравнения Эйлера устанавливают связь между четырьмя неизвестными функциями и, V, га и р. Так как из трех уравнений (22) определить четыре неизвестных функции нельзя, то необходимо вывести еще одно соотношение, связывающее искомые функции. Это соотношение можно получить из условия неразрывности жидкости при ее движении, т. е. невозможности образования в движущейся жидкости пустот (разрывов сплошности). Рассмотрим опять параллелепипед с ребрами Ах, Ау, Аг и подсчитаем, какое количество жидкости втекает в этот параллелепипед за время At и какое количество вытекает из параллелепипеда за тот же промежуток времени. Так как мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то очевидно, что количество вытекающей жидкости должно быть равно количеству втекающей жидкости. Пусть в центре параллелепипеда проекции вектора скорости будут и, V, ау. Подсчитаем количество жидкости, втекающей через площадку А1В1С10, (фиг. 55). Проекция скорости на ось Ох в центре этой площадки равна [c.263]

Проекциями уравнения (6.2) и служат гидродинамические уравнения Эйлера. Примб1 яя известное из векторного анализа преобразование [c.54]

Совершенствование гидродинамических нодшинников, широко применяемых в различных приложениях [1-3], связано с проблемой оптимального профилирования зазора. Начало исследованиям в этом нанравлеппи положил Релей [4] он нашел, что в приближении несжимаемой вязкой жидкости максимум Сдг цилиндрического ползуна дает кусочно-постоянный зазор с одной ступенькой. На начальном его участке - УДЭ1 высота зазора /г = /гд > 1 удовлетворяет уравнению Эйлера. Концевой участок /г = 1, где Н отнесено к минимально допустимой по постановке задачи высоте Нт, является участком краевого экстремума (УКЭ1). Ступенчатую структуру имеет и решение ЗР для [c.570]

Подставляя ряд (1.4) в уравнение Больцмана и приравнивая коэффициенты при равных степенях получают рекуррентную систему уравнений для определения и т. д. При построении решения методом Знскога — Чепмена /<°) " /о функция выражается через производные от гидродинамических величин п, и и Т и т. д. Зная функции можно выписать любые гидродинамические (макроскопические) величины в частности, это позволяет выразить тензор напряжений и вектор потока тепйа через п, ии Т и их производные. Заменяя в общих уравнениях сохранения тензор напряжений и вектор потока тепла через гидродинамические величины, при оставлении в ряде (1.4) одного члена получим уравнения Эйлера, при двух — уравнения Навье—Стокса, при трех—уравнения Барнетта и т. д. ). Важно отметить, что кинетическая теория позволяет не только найти связи между тензором напряжения и вектором потока тепла и производными от гидродинамических величин, но и выразить входящие в эти связи коэффициенты пропорциональности (коэффициенты переноса) через известные свойства молекул. Этот метод используется для определения коэффициентов вязкости, теплопроводности и других переносных свойств газов и газовых смесей в широком диапазоне давлений и температур, для которых чрезвычайно трудно получить экспериментальные значения. [c.426]

Проблема исправления уравнений гидродинамики была поставлена впервые Н. П. Кастериным еще в 1937 г. Н. П. Кастерин считал, что уравнения Эйлера являются лишь первым приближением для описания картины вихревых течений. Во втором приближении надо учитывать дискретность структуры газа и прерывистость изменений основных гидродинамических величин. Например, в рамках идеальной жидкости следует предположить, что на границе потенциального и вихревого течений существует разрыв гидродинамической скорости. Взяв за основу эту идею о разрывном изменении скоростей, Н. П. Кастерин получил новые уравнения для описания вихревого поля в идеальной жидкости [Л. 1-12]. [c.60]

В работе [25] предложена простая теория усилителя, близкая по форме построения к теории неустойчивости Гельмгольца. Суть ее в следующем. Рассматривается односкоростной цилиндрический ламинарный поток несжимаемой жидкости с плотностью ро, который описывается гидродинамическими уравнениями Эйлера для радиальной vr) и продольной (г>г) компонент скорости. Возмущениями по азимутальной координате (р пренебрегают. В предположении, что под действием начального возмущения возникающие переменные величины изменяются по закону ex]) iuit — ikz), где ш — действительная величина, линеаризованные уравнения движения имеют вид [c.174]

Решение Римана, как уже говорилось, есть точное решение системы уравнений Эйлера. Но гидродинамические уравнения без учета вязкости и теплопроводности — и это известно давно — плохо отражают свойства реальных сред (достаточно вспомнить парадокс Эйлера — Далам-бера о равенстве нулю суммарной силы, действующей на обтекаемое тело). Точно так же римановское решение унаследовало все недостатки исходных уравнений. Оно несправедливо в области неоднозначности, и, кроме того, реальную ценность представляет не само решение, а его разложение в, ряд по числу Маха. Это связано с необходимостью учета диссипативных процессов в соответствующих членах разложения. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...