К упругий - Граничные условия равновесия

Большая трудность задач теории пластичности по сравнению с задачами теории упругости вынуждает иногда обращаться даже к приближенному составлению самих дифференциальных уравнений равновесия, к приближенному начертанию условий пластичности (см. 5.1), к приближенным записям граничных условий. [c.256]

Сопоставив (10.7) и (10.8) с (7.3), видим, что изменение температуры в течение деформации приводит к появлению в граничных условиях дополнительных членов, которые могут быть истолкованы как дополнительная нормальная к поверхности тела фиктивная нагрузка, распределенная на тех участках поверхности, ограничивающей тело, где краевые условия формулируются в напряжениях. Что касается участков границы тела, где заданы перемещения, то для них формулировка краевых условий остается прежней. Из того факта, что изменение температуры в течение деформации формально эквивалентно появлению в уравнениях равновесия и граничных условиях некоторых дополнительных внешних объемных и поверхностных сил, вытекает, что путем одного только нагрева (или охлаждения) упругого тела можно вызвать в нем напряжения (коль скоро свобода теплового расширения тела будет стеснена закреплением его границ). [c.199]

Все сказанное относится, разумеется, к монокристаллам. Поликристаллические же тела с достаточно малыми размерами входящих в их состав кристаллитов можно рассматривать как изотропные тела (поскольку мы интересуемся деформациями в участках, больших по сравнению с размерами кристаллитов). Как и всякое изотропное тело, поликристалл характеризуется всего двумя модулями упругости. Можно было бы на первый взгляд подумать, что эти модули можно получить из модулей упругости отдельных кристаллитов посредством простого усреднения. В действительности, однако, это не так. Если рассматривать деформацию поликристалла как результат деформации входящих в него кристаллитов, то следовало бы в принципе решить уравнения равновесия для всех этих кристаллитов с учетом соответствующих граничных условий на поверхностях их раздела. Отсюда видно, что связь между упругими свойствами кристалла, [c.56]

Граничные условия к уравнениям равновесия не могут быть установлены в общем виде они зависят не только от упругой энергии (36,1), но и от конкретного рода взаимодействия жидкости с ограничивающей ее стенкой эта поверхностная энергия должна была бы быть включена в полную свободную энергию, минимальность которой определяют условия равновесия. Фактически эти поверхностные силы обычно настолько велики, что именно они устанавливают направление п на границе, не зависящее от характера деформации в объеме образца. Если граничная твердая [c.193]

Эффективное решение указанных в 34 граничных задач упругого равновесия в общем случае представляет большие трудности. Принцип Сен-Венана в этом отношении занимает особое место в теории упругости. Благодаря этому принципу в настоящее время мы располагаем решениями многочисленных задач теории упругости, ибо принцип Сен-Венана позволяет смягчить граничные условия заданная система сил, приложенная к небольшой части упругого тела, заменяется другой, удобной для упрощения задачи, статически эквивалентной системой сил, приложенной к той же части поверхности тела. [c.89]

Задача об упругом равновесии призматического тела при указанных условиях сводится к нахождению величин Ghr, удовлетворяющих в области, занятой телом, дифференциальным уравнениям равновесия (2.25) при отсутствии массовых сил и формулам закона Гука (4.35), а также граничным условиям на боковой поверхности и основаниях призматического тела. [c.173]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Уравнения равновесия (18) или (19) вместе с граничными условиями (20) и уравнением совместности (в одной из приведенных выше форм) дают нам систему уравнений, которая обычно достаточна для полного определения распределения напряжений в двумерной задаче ). Частные случаи, в которых понадобятся некоторые дополнительные соображения, будут рассмотрены позже (см. стр. 146). Интересно отметить, что в случае постоянных объемных сил. уравнения, определяющие распределение напряжений, не содержат упругих констант материала. Следовательно, распределение напряжений в этом случае будет одним и тем же для всех изотропных материалов, если эти уравнения достаточны для полного определения напряжений. Данное заключение обладает практической важностью позднее мы увидим, что для прозрачных материалов, таких, как стекло или целлулоид, можно определять напряжения оптическим методом, используя поляризованный свет (стр. 162). Из вышеприведенных соображений ясно, что экспериментальные результаты, полученные для какого-либо прозрачного материала, в большинстве случаев можно непосредственно применять и к любым другим материалам, например к стали. [c.49]

Условия на поверхности. При решении конкретных задач механики деформируемого твердого тела важную роль играют граничные условия или условия на поверхности. Рассмотрим равновесие выделенного в упругом теле элементарного тетраэдра (рис. 2.37), который может находиться внутри тела либо примыкать к его поверхности. Ориентация наклонной грани тетраэдра в пространстве определяется нормалью к к этой грани. Направление нормали, в свою очередь, определяется направляющими косинусами [c.168]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению трех составляющих напряжений — Ох, (jy и т у, которые должны удовлетворять двум дифференциальным уравнениям равновесия и уравнению совместности при заданных граничных условиях. Если считать, [c.10]

Решение объемной задачи теории упругости сводится к определению шести компонентов напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия, уравнениям совместности и граничным условиям. [c.12]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений двух уравнений равновесия (17.10) и уравнения неразрывности деформаций (17.19) при выполнении статических граничных условий (17.12) на поверхности тела. [c.350]

Во многих случаях определение граничных условий, необходимых для интегрирования дифференциальных уравнений равновесия, оказывается затрудненным. На рис. 18 схематично показан процесс плоского прессования. К верхней границе листа, на которой задана нагрузка, примыкает упругая область, в которой нельзя определить деформации методом делительных сеток. Получим необходимое для расшифровки экспериментальных данных граничное условие из интегрального уравнения равновесия, записанного для луча АВ [c.69]

Находясь в рамках применимости линейной теории, можно сформулировать другой вариационный принцип, двойственный к вариационному принципу виртуальной работы для задачи теории упругости, поставленной в 1.1. Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия при заданных массовых силах и граничных условиях, и обозначим компоненты деформации и перемещений в этом теле через е .,. .., и и, v, w соответственно. Очевидно, что [c.34]

Присоединяя к (У,5) и (У.б) в качестве предварительных соотношения упругости, условия равновесия и статические граничные условия, получаем [c.84]

Обычно аналитические решения ищут для жестко-пластической деформации, когда упругие компоненты сведены к нулю. В данном случае решение имеет вид поля линий скольжения, содержащего два семейства ортогональных линий (линий постоянных напряжений сдвига Ту, или в изотропном материале линий разрыва скоростей), удовлетворяющих условиям равновесия, совместности и граничным условиям. [c.36]

Как следует из гл. I данной монографии, решение задачи сводится к установлению растягивающих напряжений Ог (г, 0) в области перешейка трещины. Используя условие симметричности напряженно-деформированного состояния в цилиндре относительно плоскости трещины, задачу сведем к определению упругого равновесия для полубесконечного цилиндра со следующими граничными условиями [c.28]

В параграфах 6.6.—6.8 выявляются преимущества применения использованного подхода к изучению возмущения равновесной конфигурации. Так, соотношения закона упругости для возмущений связывают лишь возмущения компонент деформации и напряжений (не содержат возмущений углов поворота). При следящей нагрузке уравнения равновесия и статические граничные условия не содержат возмущений углов поворота. [c.80]

Представленное выше обсуждение ясно показало необходимость новых подходов для анализа напряжений в слоистых композитах, так как все предложенные к 1978 г. приближенные теории основываются на тех или иных предположениях относительно полей перемещений, которые приводят к неправдоподобным результатам. Поэтому были сформулированы следующие требования, которым должна удовлетворять приемлемая теория для анализа полей напряжений и перемещений в слоистых композитах 1) в общем случае все шесть компонент напряжений не равны нулю 2) выполняются условия непрерывности напряжений и перемещений на границах раздела слоев 3) справедлив принцип равновесия слоя . В соответствии с этими требованиями была разработана самосогласованная модель [31]. Этот принцип определяется следующим образом. Рассмотрим область внутри слоистого композита, расположенную произвольно, за исключением того, что она ограничивается любыми двумя параллельными поверхностями раздела слоев в композите. Требуется, чтобы расчетное поле напряжений, действующих на поверхностях произвольной области, согласно заданным граничным условиям для напряжений (в каждой точке, в смысле теории упругости), тождественно удовлетворяло условиям обращения в нуль результирующей силы и момента на тех частях внешней границы слоистого композита, которые находятся в данной области. Таким образом, каждый слой должен удовлетворять этому [c.40]

Ось направим по прямой, параллельной образующим цилиндра. Заметим, что компонентами напряжения, которые могут давать изгибающий или крутящий моменты или перерезывающую силу, являются X g, Уг и Zg. Компоненты Xjf, Yy, Ху не оказывают влияния на эти усилия и приводят к увеличению упругой энергии. Отсюда, согласно принципу минимума упругой энергии, мы можем заключить, что эти компоненты напряжения равны нулю, если только они не необходимы для удовлетворения уравнений равновесия в напряжениях или граничных условий ). [c.419]

В принципе мембранные усилия не зависят от изгиба и полностью определены условиями статического равновесия. Методы определения этих усилий составляют содержание так называемой мембранной теории оболочек . Однако реактивные силы и деформации, находимые по этой теории у границ оболочки, оказываются обычно несовместимыми с реальными граничными условиями. Для того чтобы устранить это несоответствие, следует учесть эффект изгиба оболочки в ее краевой зоне, способный оказать некоторое влияние на величину начально вычисленных мембранных усилий. Этот изгиб, однако, носит обычно лишь локальный характер ) и поддается анализу на основе тех же допущений, что принимаются в случае малых прогибов тонкой пластинки. Приходится, однако, встречаться с задачами, в особенности относящимися к упругой устойчивости оболочек, для которых гипотеза малых прогибов перестает быть допустимой и где следует опираться на теорию больших прогибов. [c.13]

В общем случае различают три типа граничных задач. Первая из них заключается в определении напряжений и перемещений внутри упругого тела в состоянии равновесия, если известны перемещения точек на поверхности [S — Su)- Во второй граничной задаче известно распределение сил на поверхности S = S )-Сформулированная выше постановка относится к третьей, или смешанной, граничной задаче. Кроме того, возможны и другие комбинации граничных условий. [c.35]

Добавим к уравнениям линейной вязкоупругости (1.45), при упругой объемной деформации, уравнения равновесия, соотношения Коши и граничные условия [c.54]

При составлении системы уравнений, определяющей напряженно-деформированное состояние армированного пластика при поперечном нагружении, используется ряд исходных гипотез и граничных условий. Основным является требование совместности деформирования всех элементарных слоев, из которого следует условие постоянства напряжений в каждом элементарном слое в направлении нагружения и равновесие между напряжениями в компонентах пластика в остальных двух направлениях. В качестве закона деформирования отдельных компонентов используется обобщенный закон Гука. Совместное решение уравнений, соответствующих названным условиям, в результате интегрального перехода к средним напряжениям и деформациям всего пластика дает возможность определить коэффициенты Пуассона в плоскости армирования vm и в плоскости, перпендикулярной направлению армирования vxi, а также модуль поперечной упругости Задача сводится к аналитическому решению [12], однако аналитические зависимости получаются очень громоздкими. В результате ряда преобразований получаем [c.48]

Прежде чем приступить к решению основной задачи (7.1), рассмотрим следующую вспомогательную задачу о равновесии упругой полосы с граничными условиями [c.56]

Рассмотрим равновесие линейно-упругого пространства с полостью (в частности и трещиной-разрезом), сечение которой в плоскости Хз = О занимает область С, Пусть расстояние между поверхностями полости н (х1, Х2) однозначная функция (х Х2) Е С и мало по сравнению с характерными размерами С (уплощенная полость). Предположим, что область налегания Р С С образуется под действием объемных сил, симметричных относительно плоскости Хз = 0. Как уже отмечалось (п. 5.1.3), можно перейти от системы внешних объемных сил к поверхностным нагрузкам, считая, что из решения соответствующей задачи теории упругости для сплошного тела известны напряжения азз(х1, Х2) на плоскости (Х1, Х2). Граничные условия задачи примут вид [c.175]

Если решения (16.18) представляют собой бесконечные ряды, то возникает вопрос о сходимости их к истинному интегралу уравнения упругого равновесия, удовлетворяющему статическим граничным условиям и шести тождествам Бельтрами. Этот вопрос пока не исследован. [c.447]

И. Найти упругое равновесие тела, если заданы смещения точек его поверхности. Физически это соответствует случаю, когда подходящими усилиями, приложенными к точкам поверхности, этим точкам сообщают заданные смещения и закрепляют поверхность в этом виде. В отношении же уравнений (1), (2) это сводится к нахождению такого их решения, которое удовлетворяет на поверхности тела следующим граничным условиям [c.71]

Для большей ясности представим себе дело так, останавливаясь пока на случае А. Пусть упругая шайба предварительно наложена на отверстие в жесткой пластинке (в виде покрышки), так что ее края несколько заходят за края отверстия. Пусть, далее, при помощи подходящих усилий, приложенных к контуру шайбы, точкам этого контура сообщаются нормальные смещения Vn ) такой величины, чтобы контур шайбы совпал с контуром отверстия, после чего шайба вкладывается в отверстие и предоставляется самой себе. Шайба придет в некоторое состояние упругого равновесия, которое и требуется определить. Так как точки края шайбы могут свободно скользить по краю отверстия, то касательная компонента v смещения точки контура нам заранее не известна. Зато нам известна нормальная компонента Vn этого смещения, ибо она определяется взаимным положением контура отверстия и контура шайбы до деформации. Итак, граничные условия нашей задачи сводятся к следующим [c.477]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Таким образом, в случае плоской деформации решение задачи теории упругости существенно упрощается, так как от трехмерной задачи мы переходим к двумерной. В самом деле, поскольку Ег = Цхг = Ууг = О, а следовательно, и Ххг = = Хуг — д z/дz = 0, а таклге 2 = 0, то из трех уравнений равновесия Навье (1.16) остаются только первые два, а из шести условий совместности деформаций Сен-Венана (1.29) — только одно первое. Все остальные уравнения удовлетворяются тождественно. Задача сводится к отысканию напряжений щ, Оу, Хху, деформаций Ех, Еу, Уху из уравнений теории упругости, удовлетворяющих граничным условиям. Затем во вторую очередь определяется напряжение Ог = = р(о1 + щ). [c.64]

Остановимся на расчете многопролетных стержней с несколькими упругими промежуточными опорами (рис. 3.19, а). Решение этой задачи при переменных EJ (х), к (j ), iVo (л ) можно вести методом начальных параметров. Граничные условия при х = О а х = I формулируются так же, как и для однопролетных стержней. Жесткость промежуточных опор учитывается следующим образом. Из условия равновесия элемента стержня над i-и опорой (рис. 3.19, б) следует, что [c.106]

Уравнения равновесия армируюнщх слоев (3.1.10) и граничные условия (3.1.23) при наличии температурного поля сохраняют свой вид. Изменяется закон упругости для усилий и моментов (3.1.16), в нем нужно учесть слагаемые (3.3.5), а также нагрузочные слагаемые qi и п,, когда (3.1.10) запишем в перемещениях. В формулах (1.8), (1.9) и (1.12) — (114) функцию е нужно заменить на ё, а выражения Л е , Л е , Л Уе на (Л ё) , (К )р, У(/ ё) соответственно. Формулы (1.10) не меняются. [c.124]

Таким образом, на основании изложенного, а также условия симметричности напряженно-деформированного состояния в ци- линдре относительно плоскости трещины задача сводится к определению упругого равновесия для полубесконечного цилиндра со следуюощми граничными условиями] [c.38]

Дугообразная трещина. Рассмотрим задачу об упругом равновесии пологой оболочки с разрезом L вдоль дуги окружности, проходящей через точки z == exp (iy) п z = zt a = I exp (t 7), где у — угол наклона к оси Ох хорды длиной 2/, соединяющей начало (г = —а) и конец (z = а) разреза 61 — максимальное удаление точек трещины от этой хорды. Асимптотическое решение задачи может быть построено при любой нагрузке, однако в дальнейшем огра1шчимся случаем, когда берега трещины находятся под действием постоянного давления р, т. е. граничные условия (IX.72) принимают вид [c.300]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Во многих практических случаях безмоментное решение легко определяется. Считая т = О и () = 1, можно определить некоторое значение несущей способности оболочек удовлетворяя соответствующим граничным условиям для усилий, в этом случае определяется но меньшей мере пижпяя граница песущей способности оболочек. Таким образом, такое решение задач о равновесии оболочек получает новое качество в сравнении с известным из теории упругих тонких оболочек оно соответствует нижней границе несущей способности оболочек. Очевидно, что при удовлетворении соответствующим граничным условиям чисто моментпое напряженное состояние также приводит к нижней границе несущей способности оболочек, [c.168]

В работе Д. Н. Парфененко, А. Ф. Улитко [26] предложен аналитический метод решения задачи о гладком контакте с упругим полупространством жесткого штампа с плоским основанием в форме кругового сегмента в плане. Построение гармонической функции, входящей в общее решение уравнений равновесия, проводится в пространственных биполярных координатах с использованием интегрального преобразования типа Мелера-Фока, установленного в [25]. Последующие преобразования, связанные с удовлетворением смешанных граничных условий, приводят к системе двух функциональных уравнений Винера-Хопфа. Рассмотрены [c.143]

В обгцем случае различают три типа граничных задач. Первая из пих заключается в определепии папряжепий и пе-ремегцепий внутри упругого тела в состоянии равновесия, если известны перемегцепия точек па поверхпости (5 = б и). Во второй граничной задаче известно распределение сил на поверхпости (3 = 5 сг). Сформулированная выше постановка относится к третьей, или смешанной, граничной задаче. Кроме того, возможны и другие комбинации граничных условий. Папример, если тело содержит бесконечно удаленную точку, то к граничным условиям добавляется требование регулярности решения на бесконечности, которое, как правило, сводится к условию ограниченности. [c.56]

Победря [38] предложил новую постановку задачи теории упругости в напряжениях, которая лучихе приспособлена для использования численных методов. В ней для отыскания пхести независимых компонентов тензора напряжепий регцается шесть обобгценных уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть к трем условиям для напряжений (3.5) добавляются три уравнения равновесия (3.1), снесенные на границу области 9. [c.60]

Выпишем полную систему уравнений, добавив к уравнениям линейной вязкоупругости в форме (9.4), при упругой объемной деформации, уравпеиия равновесия, соотношения Коши и граничные условия [c.219]

Таким образом, задача упругого равновесия толстостенной трубы сводится к регнению обыкновенного дифференциального уравнения (2.7), граничные условия для которого следуют из условий [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...