Задачи теории упругости объемная

Сравнивая формулу Стокса (2.287) для оператора Ламе с (2.345), видим, что для задач теории упругости роль объемного потенциала играет интеграл [c.102]

В неоднородных уравнениях равновесия внешние объемные силы можно исключить, рассмотрев частное решение этих уравнений. Поэтому при решении плоских задач теории упругости будем исходить из системы однородных уравнений равновесия [c.26]

ОБЪЕМНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.128]

Таким образом, если интерес представляет напряженно-деформированное состояние вязкоупругого тела, выполненного из нестареющего материала, только в начальный момент времени и в бесконечно удаленный i —> оо, то решение задачи вязкоупругости сводится к решению двух задач теории упругости. В первом случае рассматривается тело с мгновенными объемным модулем упругости К и модулем сдвига G, а во втором случае — то же тело, но с длительными модулями, для которых справедливы соотношения [c.369]

В большинстве задач теории упругости можно считать объемные силы отсутствующими и полагать Fi = 0. Действительно, объемные силы выражаются обычно весьма простыми функциями от координат (например, сила тяжести), и нахождение частного решения уравнения (8.5.3) труда не составляет. Это частное решение может быть любым, вся разница будет сводиться к изменению граничных условий, которые теперь ставятся уже для однородной системы (8.5.3). Нахождение решения этой системы при заданных граничных условиях и составляет основную трудность. [c.248]

Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое решение задачи теории упругости, т. е. напряжения, деформации и перемещения, выражается линейным образом через приложенные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил. Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обобщенных сил [c.262]

Основная идея изложенного в гл. 10 метода комплексной переменной для решения плоской задачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных Ха.. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи. Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и независимо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил [c.359]

Решение задачи теории упругости в напряжениях при постоянстве объемных сил [c.45]

При решении задач теории упругости может возникнуть вопрос о том, является ли полученное решение однозначны.м, т. е. могут ли заданным объемным и поверхностным силам соответствовать одна или несколько различных систем напряжений. [c.47]

Следовательно, обе системы напряжений совпадают, и решение задачи теории упругости, когда заданы объемные и поверхностные силы, единственно. [c.49]

Задача теории пластичности ставится аналогично задаче теории упругости. Известны действующие на тело поверхностные Х , Y , Z, (включая реакции) и объемные X, Y, Z силы, а также упруго-пластические свойства тела, определяемые диаграммой [c.270]

Выше было показано, что решение двумерных задач теории упругости, когда объемные силы отсутствуют или постоянны, сводится к интегрированию дифференциального уравнения [c.53]

Мы видели (стр. 50), что в случае двумерных задач теории упругости при отсутствии объемных сил и при заданных усилиях на границе напряжения определяются функцией напряжений ф, которая удовлетворяет бигармоническому уравнению [c.539]

Часто задачи теории упругости решаются в предпо.ло ке-шш, что объемные силы отсутствуют (Х = У = 2 —0). Прп этом система уравнений (1.16) приобретает вид [c.24]

Если объемные силы и температура как функции координат известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений (5.1) с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела и таким образом решить задачу теории упругости в перемещениях. Напряжения после этого вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совместности деформаций при такой постановке задачи удовлетворяются автоматически, так как формулы, выражающие деформации через перемещения, представляют собой, как известно, общее решение уравнений совместности. [c.343]

Анализ изложенных подходов к расчету упругих характеристик композиционного материала показывает, что наиболее корректный учет сближения волокон и влияния схемы укладки арматуры на эффективные характеристики материала возможен на уровне решений граничных задач теории упругости для многосвязной области. Такой подход очень громоздок и связан с трудоемким численным анализом. Приближенные формулы можно получить из решения задач меньшей сложности. На основе обычных приближений по Фойгту и Рейссу, пренебрегая несущественными компонентами тензора напряжений, действующими в пределах типового объема материала, выведены довольно простые выражения для расчета упругих констант. В эти выражения входят параметры, характеризующие только объемное содержание и упругие свойства компонент материала. [c.56]

Существующие теории армирования, как правило, базируются на ряде допущений (см. с. 64). Отказ от некоторых из них, в частности переход от плоского напряженного состояния к объемному, приводит к усложнению расчетных выражений, но позволяет оценить соответствующие поправки. Отсутствие допущения об однородности напряженного состояния в пределах объема каждой из компонент материала повышает степень сложности расчета вследствие необходимости решения задачи теории упругости для многосвязной области. В этом случае возможен учет влияния расположения волокон в материале на расчетные значения его упругих характеристик. Однако для трехмерных структур такой анализ выполняется только с использованием численных методов решения краевых задач. [c.127]

Следующая по сложности оценка строится для композита, модель которого такова шар окружен сферической оболочкой из материала матрицы, а эта оболочка в свою очередь помещена в неограниченную среду, обладающую неизвестными пока свойствами. Внутренний г, и внешний Го радиусы сферической оболочки матрицы определяются так, чтобы объемная доля армирующих элементов составляла (см. работы [52], [90], 1116]). Накладывая простые граничные условия на бесконечности и решая трехмерную задачу теории упругости, получаем [c.78]

Если (в нервом приближении) принять значения и Оо равными объемным значениям при однократном растяжении, то для определения числа циклов до разрушения необходимо найти действующие напряжения или деформации и показатели степени в уравнениях (1.4) и (1.5). Связь между напряжениями и деформациями, действующими на контакте, и условиями нагружения вытекает из решения задачи теории упругости [22] или соответственно пластичности [20] о движении с трением жесткого тела по деформируемому полупространству. Решения, полученные для индентора, моделирующего единичный фрикционный контакт, затем обобщаются на случай множественного контакта. [c.19]

Иными словами, предположение о возможности наличия двух разных напряженно-деформированных состояний, соответствующих одним и тем же силам и закреплениям, сделанное в самом начале обсуждения вопроса, является неправильным. На самом деле одной системе внешних сил (объемных и поверхностных) и закреплений в случае линейной задачи теории упругости соответствует одна и только одна система функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние тела. В этом и состоит теорема о единственности решения линейной задачи теории упругости. Вопрос о перемещениях (единственности или неединственности) будет обсужден более подробно ниже. [c.626]

Если речь идет о задаче теории упругости, то возможные вариации напряжений и объемных сил удовлетворяют во всем объеме тела дифференциальным уравнениям равновесия элемента тела и закону парности касательных напряжений (который также представляет собой три условия равновесия), а на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, — вариации напряжений и поверхностных сил удовлетворяют уравнениям равновесия элементарного тетраэдра. [c.483]

Ha первом этапе итерационного процесса разыскивается решение Uq первого из уравнений (5.5) при заданных граничных условиях. Очевидно, что система функций Uq является решением классической задачи теории упругости для заданной области. На последующих этапах находятся решения ц,-, при этом правая часть соответствующих уравнений может рассматриваться как некоторые фиктивные объемные силы или результат воздействия фиктивного температурного поля. Граничные условия на всех последующих этапах итерации однородны. Если на первом этапе в силу тех или иных причин [c.44]

Для расчета конструкций в упругой области применяются различные методы и программы решения на ЭВМ основных краевых задач теории упругости (см. гл. 3). При выполнении упругопластического расчета возникающая физически нелинейная задача решается итерационным путем таким образом, чтобы на каждой итерации задача была линейной. Такая процедура соответствует решению последовательности краевых задач для неоднородных упругих тел с одинаковыми граничными условиями и внешней объемной нагрузкой (метод переменных параметров упругости) либо задач для исходного тела с меняющейся объемной и поверхностной нагрузкой (метод дополнительных нагрузок). [c.129]

Дальнейшее уточнение методики приводит к решению объемной задачи теории упругости. Расчет пространственно-напряженного состояния диска сложной конфигурации с эксцентричными отверстиями неправильной формы требует разбиения области решения на большее число элементов. Хотя принципиальных трудностей при решении пространственной задачи МКЭ не возникает, для реализации ее требуются ЭВМ, обладающие значительным объемом оперативной памяти и быстродействием. Например, решение пространственной задачи для РК ДРОС методом конечных элементов с использованием достаточно простого разбиения на элементы (линейные призмы) и решением системы уравнений методом исключения Гаусса потребует приблизительно 2-10 байт оперативной памяти. Сокращения необходимого объема оперативной памяти можно достигнуть применением метода сопряженных градиентов вместо метода Гаусса, однако в этом случае резко увеличивается время счета (до нескольких десятков часов для ЭВМ серии ЕС). [c.106]

Решение объемной задачи теории упругости сводится к определению шести компонентов напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия, уравнениям совместности и граничным условиям. [c.12]

Задача теории пластичности ставится аналогично задаче теории упругости. Известны действующие на тело поверхностные У -, (включая реакции) и объемные X, Y, Z силы, а также упругопластические свойства тела, определяющие диаграмму а, — е . Требуется найти возникающие при этом напряжения, деформации и перемещения. Таким образом, имеется 17 неизвестных функций трех координат X, у z шесть составляющих напряжений — Оу, Ту , и [c.228]

Теперь можно решить задачу теории упругости о действии на тело объемных (11.27) и поверхностных (11.28) сил, т. е. получить во втором приближении составляющие напряжений тЦ>, [c.231]

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Следовательно, при постоянных объемных силах сумма нормальных напряжений о + а в плоской задаче теории упругости является гармонической функцией. [c.350]

Решая повторно задачу теории упругости с новыми объемными силами (Х+Х ), (y+Y ), (z+Z ) и поверхностными нагрузками (Px +Pxv), (Pyv+Pjv), (Prv+Z v), находим второе приближение которое в дальнейшем используется [c.514]

В уравнениях (1.4.27) в круглых скобках под знаком интеграла стоят соответственно основные уравнения равновесия объемной задачи теории упругости и силовые (естественные) граничные условия. [c.46]

Ниже на примере решения объемной задачи теории упругости продемонстрировано использование принципа возможных перемещений для построения конечно-элементных соотношений. [c.63]

Соотношения (7.19в) получены [29] в предположении наличия в зоне вершины кольцевой трещины условий плоской деформации в результате решения краевой задачи теории упругости. Однако, согласно решению Г. Нейбера [35], условия плоской деформации реализуются для образцов с малой глубиной трещины, и с увеличением й/О объемность напряженного состояния повышается. Изменение жесткости напряженного состояния при варьировании й / О приводит к изменению условий начала пластического деформирования в вершине надреза (трещины), так как величина предела текучести а.р является функцией параметров жесткости напряженного состояния. В связи с этим условия (7.19в) следует считать необходимыми, но не достаточными для получения величин KJ(,, если последние рассматривать как характеристику материала, а не образца. [c.217]

Гриффитс отмечает, что рост трещины в растянутой пластинке возможен без работы внешних сил лишь при увеличении поверхностной энергии тела, вызванном приращением площади поверхности трещины, компенсирующемся уменьшением объемной потенциальной энергии деформации. Исходным толчком для этой работы послужило, по-видимому, известное несоответствие теоретической и реальной прочности кристаллов. Это несоответствие Б определенных пределах объясняется по теории Гриффитса наличием исходных дефектов. Условие Гриффитса являлось дополнительным к уравнениям теории упругости условием , при помощи которого задачи теории упругости о концентрации напряжений для тел с разрезами (граница которых состоит из одних и тех же индивидуальных точек) можно формулировать как задачи теории трещин, т. е. разрезов, способных распространяться. Таким образом, переход от расчета тел с разрезами к расчету тел с трещинами осуществляется после введения некоторого дополнительного положения о механизме разрушения [49, 97]. [c.8]

Далее принимается, что внешние силы (массовые и поверхностные) отсутствуют. В предположении, что задача теплопроводности может рассматриваться независимо от задачи теории упругости (см. п. 3.5 гл. III), это не идет в ущерб общности, так как линейность задачи для тела, подчиняющегося закону Гука, допускает наложение напряженных состояний, вызываемых действием объемных сил, поверхностных сил и изменением температуры и определяемых по отдельности для каждого из перечисленных факторов. [c.146]

Если рассматривается плоская задача теории упругости с учетом действия объемных сил, то уравнения равновесия имеют вид (4.1). Тогда, полагая, что объемные силы имеют потенциал V, так что X —дШдх, а V <= —дШду, через функцию напряжений представляют разности между напряжениями и потенциалом объемных сил, т, е. [c.70]

Метод конечных элементов применяется не только при решении двумерных задач прикладной теории упругости (пластины, оболочки и конструкции, составленные из пластинчатых и оболочечных элементов), но и объемных (трехмерных) задач теории упругости. Для лучшей аппроксима-цпи сложной формы копструкцип применяются наряду с прямоугольными конечными элементами также конечные элементы других форм. Этот метод может применяться не только в форме метода перемещений, когда за неизвестные принимаются узловые перемещения и определяются они из уравнений равновесия, но и в форме метода сил, когда за неизвестные принимаются узловые внутренние усилия а определяются они из условия совместности перемещений в узловых точках. [c.228]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Монография является методическим руководством по исследованию при помощи поляризационно-оптического метода напряженного состояния деталей машин,различных копструкцийи сооружений. В книге изложены теоретические и экспериментальные основы метода, приведены спосооы определения разности главных напряжений и способы их разделения для плоских и объемных задач теории упругости описаны оптико-механические свойства и технология изготовления оптически чувствительных материалов дана краткая информация об измерительной аппаратуре и оаорудозании, применяемых пря экспериментальных исследованиях. [c.4]

Следовательно, уравнения плоской задачи теории упругости для односвязных тел (13), (14) и (15) в случае отсутствия или наличия постоянных объемных сил не содержат упругих постоянных материала Е ж l (теоредш Мориса Леви). [c.11]

Следовательно, решение плоской задачи теории упругости при постоянстве объемных сил сведено к интегрированию трех уравнений двух уравнений равновесия (б.2) и уравнения неразрывности деформаций (6.9) при обязательном удовлетворении слови11 на поверхности [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...