Приближенное решение дифференциальных уравнений движения

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 48. Численное решение дифференциальных уравнений движения [c.140]

Такого типа приближенное решение дифференциального уравнения называется решением методом возмущения, потому что один из членов дифференциального уравнения возмущает движение, описываемое уравнением, не содержащим этого члена. [c.212]

Функция (7.22) представляет собой приближенное решение дифференциальных уравнений пограничного слоя (7.10) без градиента давления для стационарного ламинарного движения в нем. [c.117]

Динамические характеристики электропривода имеют сложную форму, которая не позволяет получить решение дифференциального уравнения движения системы. . в общем виде. Поэтому оценку влияния закона изменения движущего усилия привода произведем с помощью аналитических зависимостей, приближенно описывающих динамические характеристики привода. [c.83]

Как уже указывалось в 8 главы II, основное затруднение в решении дифференциальных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости для конкретных задач заключается в наличии в левых частях этих уравнений квадратичных членов инерции. Эти квадратичные члены инерции тождественно обращались в нуль, как это мы видели в первых параграфах предшествующей главы, лишь только тогда, когда жидкость считалась несжимаемой, а траектории частиц представляли собой либо параллельные прямые, либо концентрические окружности. Последнее обстоятельство может служить основанием к заключению о том, что для движений вязкой несжимаемой жидкости, для которых траектории частиц будут мало отличаться либо от параллельных прямых, либо от концентрических окружностей, квадратичные члены инерции будут малы и ими с некоторым приближением можно пренебречь. К такому же допущению можно подойти и с другой точки зрения. [c.155]

Дан краткий обзор развития теории интегральных инвариантов. Указаны основные направления применения этой теории нахождение новых интегралов уравнений движения исследование свойств функций, описывающих законы движения динамических систем исследование приближенных решений дифференциальных уравнений. [c.124]

Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей). Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранения. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т. д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, так как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая ломаная с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования И. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип [c.290]

Весьма часто, составляя дифференциальные уравнения движения материальной точки, мы приходим к таким уравнениям, которые не могут быть проинтегрированы при помощи известных нам функций. В таких случаях приходится отказываться от точного аналитического решения задачи и искать приближенного ее решения. Существуют численные и графические методы приближенного решения дифференциальных уравнений В этом параграфе мы изложим простой прием численного решения дифференциальных уравнений движения, дающий достаточно точные результаты и не требующий большой затраты вычислительной работы. [c.140]

Решение дифференциальных уравнений движения систем с двумя и более степенями свободы, а следовательно, и нахождение собственных частот колебаний этих систем часто бывает связано с громоздкими вычислениями. Если к тому же еще учесть, что во многих прикладных вопросах механики оказывается достаточным определение лишь приближенных [c.246]

В тех случаях, когда речь идет о численном решении задачи, она, разумеется, может быть приближенно доведена до конца, например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же, однако, речь идет о нахождении общего решения, т. е. об умении записать решение дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, то задачу такого рода можно решить лишь для отдельных частных случаев функциональных зависимостей, выражающих силы. Теория дифференциальных уравнений гарантирует лишь то, что это решение существует и является единственным (при нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на функции, выражающие силы) и что движение полностью определяется заданными начальными данными (29). [c.63]

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить — они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений. [c.207]

Теория возмущений занимает центральное место среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Однако в задачах с малым параметром е при старшей производной сколь угодно малые изменения параметра приводят к конечным приращениям решения. При в=0 понижается порядок уравнения. Различие фазовых траекторий исходной и вырожденной систем существенно усложняет получение приближенных решений. Сингулярные уравнения встречаются в механике, релятивистской теории поля и в основном теориях движения плазмы, жидкости и газа. [c.331]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Анализ уравнений (2.239) и (2.240) позволяет обнаружить подобие между распределением скорости и температуры в пограничном слое, если V = я или число Рг = 1. Уравнение движения и энергии при этом условии (Рг = 1) становятся идентичными. Это означает, что поля скоростей и температур в пограничном слое подобны, а кривые распределения безразмерной скорости и безразмерной температуры по толщине пограничного слоя одинаковы. Таким образом, физический смысл числа Прандтля состоит в подобии кинематического и теплового полей. Для газов число Прандтля практически не зависит от температуры и давления и определяется в соответствии с кинетической теорией газов атомностью газа для одноатомных газов Рг = 0,67 для двухатомных Рг = 0,72 для трехатомных Рг = 0,8 и многоатомных Рг = 1. Из приведенных значений Рг следует, что полное подобие полей скорости и температуры сохраняется лишь для многоатомных газов. В других случаях имеют место отклонения от подобия. Точные решения дифференциальных уравнений пограничного слоя отличаются большой громоздкостью и сложностью. Приближенные решения могут быть получены из интегральных уравнений пограничного слоя. [c.172]

Характеристику Мд (со) можно представить в виде алгебраического выражения приближенно. Это позволит выразить дифференциальное уравнение движения агрегата в таком виде, который дает решение в конечной форме. [c.369]

Предварительные замечания. Точное интегрирование дифференциальных уравнений движения реальной механической системы возможно только в очень редких случаях. Эти случаи являются скорее исключением, чем правилом. Поэтому разработано много методов, позволяющих проводить приближенное исследование систем, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но в то же время некоторая упрощенная задача, называемая невозмущенной задачей, допускает точное решение. Совокупность этих методов образует теорию возмущений, которая находит самое широкое применение во всех областях науки и техники, где рассматриваются процессы, описываемые дифференциальными уравнениями. [c.388]

За исходное приближение периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата с самотормозящейся передачей в соединении принимаем периодическое решение линейной системы дифференциальных уравнений, соответствующей тяговому режиму. Исходное приближение может быть просто построено, если воспользоваться методом контурных интегралов. По исходному приближению нетрудно отыскать последовательность [0]), состоя-ш,ую из точек, в которых изменяется знак 5(3 t), и [0] = 0 /шахЕ [0]= Г. [c.279]

В соответствии с изложенным решение аппроксимирующей системы уравнений (47.7) является приближенным решением системы дифференциальных уравнений движения машинного агрегата. [c.309]

Для иллюстрации возможностей разработанного метода поставим задачу отыскания такой периодической функции для приведенного момента инерции J (ф), чтобы система дифференциальных уравнений движения решалась точно. Принимая это решение в качестве эталонного, можно легко оценить погрешность приближенного метода. [c.309]

Основные вычислительные сложности при построении решения системы дифференциальных уравнений движения вынужденных колебаний (6.35) обусловлены определением полюсов подынтегральной функции еР N (р) F (р) и нахождением вычетов этой функции по соответствующим полюсам. Отыскание указанных выше полюсов связано с необходимостью решать алгебраические уравнения обычно высоких порядков, что осуществимо только численными методами. Отметим, что в ряде практически важных случаев не столько необходимо знать закон движения какого-либо из звеньев привода, сколько экстремальные значения динамических характеристик (момента двигателя, момента сил упругости в рассматриваемом соединении, скоростей звеньев). Следовательно, актуальной является проблема разработки эффективных приближенных методов, позволяющих с требуемой точностью оценить решение системы дифференциальных уравнений движения. [c.191]

В другом случае, т. е. когда в течение периода колебаний механизма величины реакций в кинематических парах изменяются существенно, задача резко усложняется вследствие того, что обобщенный момент сил трения оказывается нелинейной функцией обобщенной координаты и ее производной. При этом дифференциальное уравнение движения оказывается нелинейным, точное его решение, как правило, получить невозможно и для решения этой задачи во втором приближении обычно приходится обращаться к методам приближенного или численного интегрирования. [c.193]

В работе [5] изложен аналитический метод определения критических скоростей ротора турбомашины с учетом упругой нелинейности совмещенной опоры. Частоты свободных колебаний ротора, выполненного по двухконсольной схеме (см. рис. 1), определены в результате решения системы нелинейных дифференциальных уравнений движения асимптотическим методом [6] в первом приближении и представлены в виде [c.132]

До сих пор мы непосредственно решали дифференциальное уравнение энергии пограничного слоя. Рассматривались только те граничные условия, при которых существуют автомодельные решения. При других граничных условиях дифференциальные уравнения движения и энергии всегда можно записать в конечноразностном виде и получить численное решение. Другим плодотворным методом, который часто используется для получения приближенных решений инженерных задач, является решение интегрального уравнения энергии. [c.258]

Система уравнений (19), (22) и (29) представляет собой математическую модель трехколесного ГДТ, работающего на переходных режимах. В отличие от известных, данная модель учитывает влияние ускорений насосного и турбинного колес, а также ускорения потока жидкости в относительном движении на величину углов выхода потока из лопастных колес. Как известно, эти углы входят в формулы для определения внешних и внутренних динамических характеристик ГДТ. Анализ уравнений (19), (22) и (29) показывает, что движение системы с ГДТ при работе на переходных режимах описывается совокупностью нелинейных неоднородных дифференциальных уравнений, точное решение которых невозможно. Приближенное решение этих уравнений целесообразно проводить. численным методом при помощи ЭЦВМ. [c.25]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

В сопротивлении материалов рассматриваются лишь простейшие течения, не требующие громоздких математических выкладок при этом часто система дифференциальных уравнений движения упрощается на основании дополнительных кинематических и динамических гипотез, которые позволяют получать приближенные решения в достаточно простом виде. [c.201]

Первый метод, говоря словами Ляпунова, сводится к непосредственному исследованию возмущенного движения и основан на изучении общих или частных решений дифференциальных уравнений (Ь). При выяснении важнейшего вопроса о том, когда можно судить об устойчивости по первому приближению, т. е. ограничиваясь в правых частях уравнений (Ь) линейными членами, требуется изучить поведение решений однородной линейной системы [c.125]

Представление о квазиупру-гом свойстве гироскопа, например, облегчает исследование движения гироскопа с учетом нежесткости его элементов [8, 9]. В КЛА затухание нутационных колебаний достигается путем применения поплавковых гироскопов (рис. 2.5, а), так как естественные демпфирующие моменты, действующие вокруг оси 0Y КЛА, практически весьма малы. Приближенными решениями дифференциальных уравнений движения КЛА с интегрирующим поплавковым гироскопом (2.32) при нулевых начальных условиях являются [c.33]

Третья важная область применения интегральных инвариантов — исследование приближенных решений дифференциальных уравнений движения, связанное с применением идей Пуанкаре [17], развитых А. Вилькенсом [10 [c.62]

Вопросы обоснования приближенных методов нахождения решений дифференциальных уравнений движения нелинейных систем, в частности метода усреднения, были рассмотрены в основоиолагающих работах Л. М. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), а также Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова (1934 г. и далее) ). [c.295]

Предполагается, что метод решения дифференциальных уравнений движения должен быть тесно связан с физическими особенностями движения, поэтому в восьмой главе исследуется физическая ка]ртина движения в диффузорах. Рассматривается как движение в диффузоре в целом, так и движение в турбулентном пограничном слое. Показывается, что для внутренней области - вследствие ее консервативности по отношению ко внешним возмущениям - удобно использовать метод последовательных приближений, а для менее устойчивой внешней области - методы типа Бубнова-Галеркина. В последующих главах метод по-зонного решения уравнений пограничного слоя подробно обосновывается. [c.8]

Номограмма построена П. А. Шелестом [31, с. 98—101] на основе аналитического решения дифференциального уравнения движения поезда. Она дает достаточно точное для приближенных расчетов решение тяговых задач для скоростей движения больших, чем скорости выхода тепловоза на автоматическую характеристику. При номинальной мощности дизеля эти скорости равны у тепловоза ТЭЗ — 13,5 ТЭМ2 — 9,1 ТЭМ1 и ТГМЗ — 7,1 ТГМ1 — 5,5 км ч. [c.72]

ВЫВОДЫ из дифференциальных уравнений движения, насколько можно упрощенных, но без значительного обеднения их механического содержания. Для подтверждения допустимости упрощения уравнений движения — в общем случае достаточно высокого порядка и существенно нелинейных — аналитические соображения сопровождаются результатами численных решений на вычислительных машинах (применительно к строгим уравнениям) и данными опытов. В этом бтношении теоретикам остается большое поле в области разработки средств построения приближенных решений дифференциальных уравнений со строгой оценкой погрешности, решений, которые наверняка сохранили бы нужные свойства точных решений. [c.5]

Дифференциальные уравнения решаются аналитически в явном виде редко. Использование ЭВМ дает приближенное решение дифференциального уравнения на конечном временном отрезке, что не позволяет понять поведение фазовых траекторий в целом. Поэтому важную роль приобретают методы качественного исследования дифференциальных яений. Используем введенное выше понятие фазового пространства для представления в нем совокупности движений гармонического и линейного осцилляторов. [c.83]

Исследование работы описанного устройства было выполнено PJiJBpyM6eprOM [111] на основе построения точного решения дифференциального уравнения движения груза это решение достаточно сложно. Рачительно проще получается приближенное решение путем построения основного уравнения вибрационной механики методом прямого разделения движений, если принять, однако, некоторое дополнительное предположение, представляющееся естественным. [c.224]

Вновь рассмотрим дифференциальное уравнение колебаний маятника (II. 230а). Будем искать приближенное решение этого уравнения, предполагая, что колебательное движение маятника приближается к стационарным автоколебаниям. Б этом случае амплитуда колебаний маятника должна мало отличаться от постоянной величины. Обозначим эту амплитуду a(t) и положим [c.288]

НИИ точных или приближенных решений этих уравнений. Тот или иной метод может быть построен на одной из указанных моделей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения стрюится расчетная модель или расчетная схема данного явления, в которой по возможности полно учитываются его существенные черты и игнорируются остальные. Общие уравнения движения упрощаются на основе учета характерных особенностей данного явления или задачи, и выбирается подходящий математический метод решения полученных таким путем уравнений. Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одна и та же задача, неразрешимая в произвольно выбранной системе, может быть решена, если выбрана подходящая специальная система координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но в качестве разделов математики, наиболее широко используемых, можно назвать обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.26]

Снова обращаясь к точным нелинейным дифференциальным уравнениям движения гироскопа в кар-дановом подвесе, находим решение этих уравнений во втором приближении. Для этого полагаем, что Р = Ро + Р> подставляем новое значение р в нелинейные дифференциальные уравнения (VI. 13) и пренебрегаем утроенными про изведениями малых величин а, Р и их производных и членами, содержащими более высокие степени этих величин [c.133]

С возрастанием v величина члена быстро уменьшается. На осносе вычисленных значений можно выразить прогиб у, что к является решением задачи. Следует иметь в виду, что описанный метод не ограничивается только применением собственных функций он пригоден и при применении других ортогональных функций, которые удовлетворяют заданным граничным условиям. Его можно рассматривать как метод, дающий лишь приближенные результаты, поскольку для выражения прогибов применяются функции, удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие дифференциальному уравнению движения. При вычислении второй производной функции лучше всего применить описанный выше способ Рейснера. В заключение следует вкратце упомянуть [c.99]

ЛИЯ ИСКОМОГО решения в виде суммы конечного числа членов бесконечных рядов [1.14—1.18]. Этот метод отличается от метода нормальных форм тем, что он применяется для как бы дискретных моделей, для которых уравнения движения также лриближенны, или, точнее, физическая модель конструкции приближенно представляется в виде конечной системы масс и жесткостей, описываемых чаще линейными алгебраическими уравнениями по пространственным координатам, а не дифференциальными уравнениями. Метод нахождения решения в виде бесконечных рядов в основном аналогичен прямому методу. Решение однородного уравнения движения соответствует F x,t) = = 0. Так же, как и в прямом методе, решение представляется в форме w x,t) = A x Kx/LШ) и отыскиваются значения Я, при которых А Фа (т. е. существуют нетривиальные реше-лия). Это может иметь место только при выполнении соотношения [c.24]

Неприятрюсти часто возникают из-за сложности геометрии ансамбля частиц произвольной формы. И хотя основные дифференциальные уравнения движения вполне поддаются интерпретации, тем не менее получить точные и даже приближенные решения необычайно трудно, если не считать самых простых случаев. Граничные задачи для систем со многими частицами решают главным образом двумя методами, а именно методом отражений и методом единичной ячейки. [c.17]

С математической точки зрения решить вопрос о движении материальной точки — это значит определить траекторию (путь) этой точки и, кроме того, указать, какую скорость приобретает она в каждой точке своей траектории. Решение этой задачи осуш,ествляется путем построения дифференциальных уравнений движения изучаемой материальной точки и их интегрирования результатом последней операции и является определение искомой траектории. Заметим, что решение дифференциальных уравнений, иначе выражаясь — их интегри-эование, есть задача не элементарная и, в обгцем виде, выходягцая за пределы возможности современного математического анализа. Только некоторые вполне определенные классы дифференциальных уравнений допускают точное или хотя бы приближенное решение. [c.105]

Аналогично получаются приближения высшего порядка иг, 3,. . . . Указанный метод применим не только для неустано-вившегося течения из состояния покоя, но и для периодического течения. Однако решение дифференциального уравнения этим методом затруднительно, причем трудности возрастают с увеличением порядка аппроксимаций, ограничивая применимость метода. Далее более подробно будет изучен отрыв, который возникает при внезапном возникновении движения и при движении с постоянным ускорением. Вследствие недостатка информации отрыв при периодическом движении здесь не рассматривается. [c.214]

Можно было бы построить общее решение системы дифференциальных уравнений, но это будет связано с громоздкими вычислениями. Поэтому воспользуемся приближенным методом интегрирования уравнений движения — методом последовательных n )n6-лижений Пикара. [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...