Уравнение возмущающего движения дифференциально

P = Pr + Pi—комплексный параметр, вещественная часть которого Р, определяет круговую частоту возмущений, а Р — коэффициент нарастания, причем Р,-]>0 означает нарастание, а Р <0 — затухание возмущений, то-из уравнений Навье — Стокса получаем дифференциальное уравнение возмущающего движения, линейное относительно [c.12]

Дифференциальное уравнение возмущающего движения без пограничного слоя приняло бы вид [c.13]

Это уравнение, называемое дифференциальным уравнением возмущающего движения или уравнением Орра — Зоммерфельда, является исходным пунктом теории устойчивости ламинарного течения. Подчеркнем, что уравнение [c.425]

Задача на собственные значения. Исследование устойчивости ламинарного течения представляет собой не что иное, как задачу на собственные значения дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14) при граничных условиях (16.15). Если основное течение С/ (у) задано, то уравнение (16.14) содержит четыре параметра, а именно Ре, а, Сг и Из этих параметров число Рейнольдса основного течения, по существу, также задано. Кроме того, можно считать заданной и длину волны X = 2л/а возмущающего движения. В таком случае дифференциальное уравнение [c.426]

Рис. 16.8. Нейтральные кривые для плоского пограничного слоя при двумерных возмущениях, а) Невязкая неустойчивость. Для профилей скоростей типа о (с точкой перегиба Р) нейтральная кривая имеет тип а асимптоты нейтральной кривой а (для Re -> оо) получаются из дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16). б) Вязкая неустойчивость. Для профилей скоростей типа б (без точки перегиба) нейтральная кривая имеет тип б.

Общие свойства дифференциального уравнения возмущающего движения. Имеющиеся экспериментальные результаты дают основание считать, что предел устойчивости = О достигается при больших числах Рейнольдса поэтому естественно попытаться упростить общее дифференциальное уравнение возмущающего движения (16.14), отбросив в нем все члены правой части. В самом деле, эти члены, зависящие от вязкости, содержат малый множитель 1/Ре, а потому ими можно пренебречь по сравнению с инерционными членами, входящими в левую часть уравнения. Тогда мы получим уравнение [c.428]

Отбрасывание в уравнении Орра — Зоммерфельда членов, зависящих от вязкости, представляет собой операцию, чреватую очень серьезными последствиями. В самом деле, понижая порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго, мы, возможно, теряем важные свойства общего дифференциального уравнения возмущающего движения. К этому случаю применимы все соображения, высказанные в главе IV по поводу перехода от дифференциальных уравнений Навье — Стокса для вязкой жидкости к уравнениям Эйлера для жидкости без трения. [c.428]

Старые исследования по устойчивости ламинарного течения основывались главным образом на уравнении (16.16), т. е. на дифференциальном уравнении возмущающего движения без учета трения. Конечно, такого рода исследования не могли привести к вычислению критического числа Рейнольдса они только позволяли судить о том, устойчиво или неустойчиво ламинарное течение, в той мере, в какой это вообще возможно сделать при введенном допущении о независимости возмущающего движения от вязкости. Лишь спустя много времени удалось найти способы исследования полного дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14). Однако потребовалось много усилий, сначала сопровождавшихся неудачами, прежде чем удалось достигнуть успеха в теоретическом вычислении критического числа Рейнольдса. [c.428]

Вязкую неустойчивость можно обнаружить только посредством использования полного дифференциального уравнения возмущающего движения 1(16.14), поэтому ее исследование сложнее, чем исследование невязкой неустой- [c.429]

Следовательно, составляющая и скорости возмущающего течения, параллельная стенке, при ее определении из дифференциального уравнения возмущающего течения без учета трения имеет в критическом слое бесконечно большое значение, за исключением того случая, когда кривизна профиля скоростей в критическом слое равна нулю. Эта математическая особенность дифференциального уравнения возмущающего течения без учета вязкости показывает, что в критическом сдое должно учитываться влияние трения на возмущающее движение. Только введение в расчет влияния трения устраняет указанную, не имеющую физического смысла особенность дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения. Эта поправка, вносимая в решение дифференциального уравнения возмущающего движения без учета] трения, играет при исследовании устойчивости фундаментальную роль. [c.430]

Для того чтобы иметь возможность сформулировать краевую задачу для полного дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14) с граничными условиями (16.15), необходимо сначала найти фундаментальную систему ф1, ф2, Фз, ф4 решений этого уравнения. Так как отыскание четырех частных решений общего дифференциального уравнения возмущающего движения (16.14) весьма затруднительно, то поступают следующим образом первую пару решений ф1 и фг определяют из дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16), а вторую пару решений фз и ф4 находят из уравнения, получающегося из полного уравнения (16.14) путем отбрасывания всех членов, зависящих от вязкости, за исключением одного, наибольшего по величине. [c.432]

Для нейтральных возмущений суш ествует, как было показано на стр. 430, такое расстояние от стенки (критический слой), на котором U — Сг = О, Обозначим это расстояние через у = Укр В окрестности точки у = i/кр пару решений ф1 и фг дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16) можно представить в виде [c.432]

Поправка на трение. Для того чтобы вычислить поправку на трение для решения фг и найти другую пару решений фз, Ф4, упростим дифференциальное уравнение возмущающего движения (16.14), а именно сохраним в нем только наибольшие по величине члены, зависящие от вязкости. Введя переменную ц посредством равенства [c.433]

Задача на собственные значения. Найдя решения фь фг, Фз, мы можем сформулировать задачу на собственные значения следующим образом. Пусть основным течением II (у) является течение в пограничном слое, которое при у = б смыкается с постоянным внешним течением. Следовательно, решение дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения при г/ > б имеет вид (16.19), поэтому при у Ь должно выполняться условие [c.434]

Общее решение полного дифференциального уравнения возмущающего движения получается из трех частных интегралов ф1, фг, фз в виде суммы [c.434]

Теперь предположим, что после разрешения задачи, содержащейся в дифференциальных уравнениях п. 3, путем полного интегрирования этих уравнений, возникает вопрос о разрешении той Же задачи, но с прибавлением новых сил, приложенных к той же системе, причем эти силы направлены к неподвижным центрам или же к центрам, движущимся каким угодно образом, и пропорциональны функциям расстояний от этих центров. Эти новые силы, которые можно рассматривать как силы, возмущающие движение системы, и которые имеют природу, подобную силам Р, Q, R,, от которых зависит функция V, прибавят к этой функции аналогичную функцию, которую мы обозначим через — Q. Таким образом надо будет подставить только V — 1 вместо V в уравнениях п. 10 (предыдущего отдела) и, следовательно, Z — Q вместо Z в соответствующих членах уравнений п. 3, содержащих частные дифференциалы Z по 5, Ф. > >—чтобы получить уравнения новой задачи, которые, таким образом, будут иметь следующий вид [c.419]

С целью получения приближенных формул для распределения давления в потоках, изображенных на рис. 252 и 254, можно воспользоваться дифференциальным уравнением (35) из 9. Как там было указано, любая функция вида дает возможное возмущающее движение, налагающееся на основной поток Ио. Примем, что [c.403]

Вынужденные колебания при наличии сопротивления. Рассмотрим движение точки, на которую действуют восстанавливающая сила Р, сила сопротивления R, пропорциональная скорости (см. 124), и возмущающая сила Q, определяемая формулой (78). Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид [c.311]

П. А. Кузьмин (1957) рассмотрел вопрос об устойчивости при параметрических возмущениях, когда возмущающие силы имеют структуру, полностью определенную полем основных сил невозмущенных движений, и физическое происхождение возмущающих сил связывается с возмущением разнообразных физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения движения любой материальной системы. Изложим кратко несколько более общую постановку задачи о параметрических возмущениях, принадлежащую Н. Н. Красовскому (1959). Пусть дана система уравнений возмущенного движения [c.53]

При пользовании вторым методом допускаются только такие возмущающие движения, которые совместимы с гидродинамическими уравнениями движения, и исследуется развитие во времени возмущающего движения на основе этих же дифференциальных уравнений. Такой метод, называемый методом малых колебаний, привел в настоящее время к полному успеху. [c.423]

Общее решение линейного дифференциального уравнения (2) слагается, как известно, из частного решения этого уравнения и из общего решения однородного уравнения, соответствующего движению системы при отсутствии возмущающей силы (свободные колебания). [c.210]

В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных постоянных. Приводятся различные формы уравнений для различных систем оскулирующих элементов. Рассмотрены случаи потенциальных и непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений возмущенного движения. Приведенные формы уравнений движения используются как в классической небесной механике, так и в астродинамике. Различные способы выводов этих уравнений даются в [1] — [7]. [c.332]

Дифференциальное уравнение неустановившегося движения ротора под действием возмущающей силы Q и сил трения, в векторной форме в неподвижных осях, записывается как уравнение равновесия всех сил [c.365]

Гауссом был предложен метод, при использовании которого эта работа значительно сокращается. Суть метода состоит в том, что для элементов орбиты составляются дифференциальные уравнения, куда входят три взаимно перпендикулярные компоненты возмущающего ускорения. Следует заметить, что в небесной механике и астродинамике правая часть уравнения относительного движения [c.208]

Основная операция. Чтобы получить дифференциальные уравнения относительно переменных 8, Жр, нужно продифференцировать по времени уравнения (4.42) и из полученных равенств исключить производные координат. Выведем общее правило перехода от уравнений (4.42) к уравнениям, связывающим производные оскулирующих элементов с проекциями возмущающей силы. Уравнения (4.42) являются интегралами дифференциальных уравнений возмущенного движения (4.41) и выражают соотношения между переменными [c.99]

Вынужденные коле.бания при отсутствии сопротивления. Рассмотрим движение точки, на которую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действует только возмущающая сила Q. Дифференциальное уравнение движения в этом случае будет [c.241]

Если на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы F, пропорциональной расстоянию х, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости и, действует еще некоторая периодически изменяющаяся сила F, которую назовем возмущающей силой (рис. 156), то дифференциальное уравнение движения точки запишется так [c.275]

Если на систему действуют внешние возмущающие силы в течение всего процесса колебаний, то возникают сложные колебания, являющиеся результатом наложения вынужденных и свободных колебаний системы. Дифференциальные уравнения движения системы могут быть составлены применением уравнений Лагранжа [c.602]

Общее решение дифференциальных уравнений (4) складывается из общего решения этих уравнений без правой части и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение системы однородных уравнений было найдено в задаче 454. Складывая это решение с частным решением (5) и учитывая (7), находим уравнения движения нижнего конца ротора под действием возмущающей силы вызванной неуравновешенностью [c.618]

Влияние сопротивления на вынужденные колебания. Если на точку, кроме восстанавливающей и возмущающей сил, действует также и сила R сопротивления, то движение точки описывается дифференциальным уравнением (135) и его решением (138). [c.285]

Часть обобщенной силы получается от так называемых вынуждающих, или возмущающих, сил, зависящих прежде всего от времени. Ниже рассмотрен случай гармонической возмущающей силы, когда Q изменяется с течением времени по синусоидальному закону. В общем случае зависимости от времени ее можно разложить в ряд Фурье и рассматривать дифференциальные уравнения движения для каждого из синусоидальных слагаемых. [c.413]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

Тем не менее еще Рэйли удалось получить некоторые важные выводы об устойчивости ламинарного профиля скоростей на основе дифференциального уравнения возмущающего движения без учета вязкости. Эти выводы впоследствии были подтверждены и для случая, когда влияние вязкости учитывается, т. е. для полного дифференциального уравнения (16.14). [c.428]

С целью определения критического числа Рейнольдса как предела устойчивости для профилей скоростей неустойчивого типа (рис. 16.9, в и 16.9, г) Титьенс сохранил в полном дифференциальном уравнении возмущающего движения (16.14) также наибольшие по величине члены, зависящие от вязкости, и ожидал, что их сохранение позволит обнаружить демпфирующее действие трения. Влияние вязкости на возмущающее движение при сохранении этих членов проявлялось только на очень небольшом отрезке профиля скоростей, расположенном в непосредственной близости от стенки (выполнение условия прилипания). Однако расчеты привели к совершенно неожиданному [c.431]

Решения без учета вязкости. В качестве основного течения U (у) возьмем пограничный слой (рис. 16.9), смыкающийся на конечном расстоянии б от стенки с внешним течением U = Um = onst. Для области внешнего течения у > б) можно сразу указать частное решение дифференциального уравнения возмущающего движения без учета трения (16.16) это решение, если удовлетворить граничному условию при г/ = оо, принимает вид [c.432]

Устойчивость ламинарного пограничного слоя на теле вращения, обтекаемом в осевом направлении, исследована И. Пречем Выяснилось, что если отношение толщины пограничного слоя к радиусу кривизны стенки меньше единицы, то для пограничного слоя на теле вращения получается такое же дифференциальное уравнение возмущающего движения, как и для плоского случая. Следовательно, все результаты, полученные для плоских пограничных слоев, могут быть перенесены на обтекание тел вращения. [c.493]

Свободные колебания без сопротивления. Точка, движущаяся по пря- Предположим, что на материальную точкой, совершает под дейст- у д/f [g2 на стр. 274) действует вием восстанавливающей г t /Го1ч силы гармоническое колеба- ТОЛЬКО восстанавливающая сила (131), сила ние же сопротивления (132) и возмущающая сила (133) равны нулю. Пусть начальная скорость точки М направлена по прямой МО или равна нулю. В таком случае точка М будет двигаться по прямой ОМ (по оси Ох), дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы получим, положив в (135) и в (138) п и h равными нулю. В самом деле, если сила сопротивления / = 0, то, следовательно, а —О, потому что / =—О.Х и X переменная величина. Если же а=0, то равно нулю и п, которое согласно (134) равно . Аналогично, равенство нулю возмущающей силы означает, что равны нулю Hah. [c.276]

Дифференциальное уравнение (6), полученное для данной электрической цепи, тождественно уравнению, описывающему движение материальной точки массы т, которая движется вдоль оси х (рис. б) под действием силы упругости F, силы сопротивления движению R и возмущающей силы S. Проекции этих сил на ось х равны = — сх, Rx = —Px,Sx = Н sin pt. Действительно, дифференциальное уравнение движения мвтериэльной точки имеет вид [c.134]

Возмущения в какой-либо момент времени обусловливаются исключительно начальными возмущениями, возникающими вследствие неизбежных ошибок при определении начальных данных либо вследствие некоторой мгновенной посторонней силы. Иными словами, и невозмущенное и всякое возмущенное движения определяются одними и теми же дифферен-Щ1альными уравнениями, только с различными начальными условиями. Эффект посторонней, т. е. не учтенной при составлении дифференциальных уравнений, возмущающей силы проявляется только в том, что в некоторый момент, который мы принимаем за начальный, изменяются начальные условия, соответствующие невозмущенному движению. [c.73]

Дифференциальные уравнения. Мы исходим из дифференциальных уравнений относительного движения, изученных в предшествуюп их главах, рассматривая для простоты одну возмущаемую планету и одну возмущающую планету, так как эти рассуждения легко обобщить на большее число тел. Пусть требуется найти возмущения планеты с массой т, движущейся относительно Солнца, масса которого равна единице, и возлгущаемой другой планет011 с массой т. Полагая ц вместо [c.325]

При = 0 уравнения вырождаются в уравнения кеплерова движения. Решение уравнений ищем в виде разложений по степеням малого параметра I . Нелинейные члены уравнений (проекции возмущающих сил) определены с точностью до малых первого порядка включительно поэтому мы ограничиваемся отысканием первого приближения, т. е. в разложениях искомых функций отбрасываем члены с р. в степени выше первой. Чтобы получить дифференциальные уравнения первого приближения, подставляем в нелинейные члены уравнений (5.5), (5.6) вместо искомых функций, их значения из формул кеплерова эллиптического движения. В первом уравнении системы (5.5) [c.109]

Из (5) следует, что при условии (4), функция (со) не обращается в нуль, если l -j- С2 Ч и со 0. Найденные в предыдущей задаче значения a , b и при условии (4) удовлетворяют исходным дифференциальным уравнениям движения. Значит, в этом случае мы имеем те же резонансные колебания и критические угловые скорости, которые уже определены уравнением (3). На этом основании можно заключить, что при воздействии на ротор возмущающих сил, вызванных его статической и динамической неуравновещенностью, резонансных колебаний, соответствующих обращению в нуль, функции /i (ш) возникнуть не могут. Однако при действии других возмущающих сил, изменяющихся с частотой, равной угловой скорости ротора ш, резонансные колебания, соответствующие обращению в нуль/j (to), могут возникнуть. Доказательство этого утверждения приводится в следующей задаче. [c.639]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...